《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第7章 无穷级数 §7.2 函数项级数

基本概念 一致收敛 Cauchy 准则 Weierstrass判别法 Dirichlet 判别法 Abel判别法 Dini 定理 §7.2函数项级数 7.2.1基本概念 设u1(x),u2(x),·,un(x),··是定义在E上的一列函数.称和式 ∑un(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…. n=1 为E上的函数项级数.对x0∈E,1un(x0)就是一个数项级数.如果收 敛，则称x0为收敛点，如果发散，则称为发散点. 不妨设函数项级数的收敛点集全体为[a,b],所以 x∈|a,b],xun(x)=S(x) n=1 定义了一个函数.或者，记 Sn(x)=u1(x)+u2(x)+·.+un(x), ‖‖返回全屏关闭退出 1/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n §7.2 ¼ê‘?ê 7.2.1 ÄVg  u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · ´½Â3 E þ¼ê. ¡Úª X ∞ n=1 un(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x) + · · · .  E þ¼ê‘?ê. é x0 ∈ E, P∞ n=1 un(x0) Ò´‡ê‘?ê. XJ ñ, K¡ x0 Âñ:, XJuÑ, K¡uÑ:. ؼê‘?êÂñ:8N [a, b], ¤± x ∈ [a, b], x −→ X ∞ n=1 un(x) = S(x) ½Â ‡¼ê. ½ö, P Sn(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x), 1/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Dini定理Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法为函数项级数的前 n项的部分和，如果存在函数 S(α),使得对任意 o E[a,b],数列 Sn(aco)收敛到 S(aco),则称函数项级数n=1 un(a)在区间[a,b]上逐点收敛于函数 S(ac). 称 S(α)为级数 n=1un(α) 的和函数从定义中我们得到，函数项级数的收敛.就是部分和所构成的函数列的收敛问题例 1 讨论 αn 的收敛性n=0解级数n=oan 在（一α0,+oo）上都有定义(对于固定的 c,就是一个几何级数），但只在（一1,1）上收敛并有81Zan1-cn=0而当lc≥1时,级数发散I返回全屏关闭退出I2/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ¼ê‘?êc n ‘Ü©Ú, XJ3¼ê S(x), ¦é?¿ x0 ∈ [a, b], ê Sn(x0) Âñ S(x0), K¡¼ê‘?ê P∞ n=1 un(x) 3«m [a, b] þÅ:Âñu¼ê S(x). ¡ S(x) ?ê P∞ n=1 un(x) Ú¼ê. l½Â¥·‚, ¼ê‘?êÂñ, Ò´Ü©Ú¤¤¼ê Âñ¯K. ~ 1 ?Ø P ∞ n=0 x n Âñ5. ) ?ê P∞ n=0 x n 3 (−∞, +∞) þÑk½Â (éu½ x, Ò´‡ AÛ?ê), 3 (−1, 1) þÂñ¿k X ∞ n=0 x n = 1 1 − x .  |x| > 1 ž, ?êuÑ. 2/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Dini定理Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法在有限求和过程中，函数的连续性，以及可导、可积等解析性质都保持对于无限求和.和函数是否也能继承这些性质？即问题1通项un(α）都连续，是否S(α）连续？问题2通项unα）都可导，是否S(α）可导？如果可导，是否有Xun(a) =u'n(a)?S'(α) =-n=1n=1问题3通项un(α）都可积，是否→>S(α）可积？如果可积，是否有XXF7un(a) ) da =S(α) da =Un(c)dc?0n=1n=1有很多例子表明如果不加条件，那么上面的问题的回答都是否定的.为了得到肯定的结果我们需要添加某些条件返回全屏关闭退出13/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n 3k¦ÚL§¥, ¼êëY5, ±9Œ!ŒÈ)Û5ŸÑ±. éuÁ¦Ú, Ú¼ê´ÄUU«ù 5Ÿ? = ¯K 1 ϑ un(x) ÑëY, ´Ä =⇒ S(x) ëYº ¯K 2 ϑ un(x) ь, ´Ä =⇒ S(x) ŒºXJŒ, ´Äk S 0 (x) = X ∞ n=1 un(x) !0 = X ∞ n=1 u 0 n(x)? ¯K 3 ϑ un(x) ьÈ, ´Ä =⇒ S(x) ŒÈºXJŒÈ, ´Äk Z b a S(x) dx = Z b a X ∞ n=1 un(x) ! dx = X ∞ n=1 Z b a un(x)dx? kéõ~fL²XJØ\^‡, @oþ¡¯K£‰Ñ´Ä½.  ’½(J·‚I‡V\, ^‡. 3/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Dini定理Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法例 2 设 ui(α) = a, un(α) = an - an-1, (n = 2,3,...), 则Sn(α) = cn (n = 1, 2, ... .)显然 Sn(α)都在[0,1] 上连续且可导.因为α E [0, 1];0.S(c) = lim Sn(c)n→r = 1,1所以S(α）在1不连续，当然也不可导此例说明连续函数列的极限不一定连续，也说明通项是连续函数的级数其和函数未必连续返回全屏关闭退出4/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ~ 2  u1(x) = x, un(x) = x n − x n−1 , (n = 2, 3, · · ·), K Sn(x) = x n (n = 1, 2, · · · .) w, Sn(x) Ñ3 [0, 1] þëY…Œ. Ϗ S(x) = lim n→∞ Sn(x) =    0, x ∈ [0, 1); 1, x = 1, ¤± S(x) 3 1 ØëY, ,ØŒ. d~`²ëY¼ê4Ø½ëY, `²Ï‘´ëY¼ê?ê, ÙÚ¼ê™7ëY. 4/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理例3设[r1,r2,}是[0,1] 上全体有理数.令1, ae[ri,r2,**,rnl;Sn(α) =0, @ [ri,r2,.,rn],则1,α是[0,1] 中有理数;1S(α) = lim Sn(α) =n-→80，α是[0,1]中无理数显然 Sn(α)在[0,1 可积,但 S(α)在[0,1 不可积此例说明可积函数列的极限不一定可积，也说明通项都可积的函数项级数的和函数不一定可积返回全屏关闭退出二5/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ~ 3  {r1, r2, · · · } ´ [0, 1] þNknê. - Sn(x) =    1, x ∈ {r1, r2, · · · , rn}; 0, x 6∈ {r1, r2, · · · , rn}, K S(x) = lim n→∞ Sn(x) =    1, x ´ [0, 1] ¥knê; 0, x ´ [0, 1] ¥Ãnê, w, Sn(x) 3 [0, 1 ŒÈ, S(x) 3 [0, 1 ،È. d~`²ŒÈ¼ê4Ø½ŒÈ. `²Ï‘ьȼê‘? êÚ¼êؽŒÈ. 5/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理-例 4 设 Sn(a) = 2n2ce-n2" (n = 1, 2, ..), a E [0, 1]. 则有S(α) = lim Sn(α) = 0.n-7x显然Sn（c）和S（αc）都在[0,1]上可积，但?1/ (-e-n'a")'da = 1 - e-n2 → 1, (n → ),Sn(a)da =JoS(α) dc = 0.此例说明即便Sn（α）和它的极限函数S(c）都在区间[a,b]可积，一般也不一定有nblimS(a)daSn(α) dc =n→8返回全屏关闭退出6/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ~ 4  Sn(x) = 2n 2xe−n 2x 2 (n = 1, 2, · · ·), x ∈ [0, 1]. Kk S(x) = lim n→∞ Sn(x) = 0. w, Sn(x) Ú S(x) Ñ3 [0, 1] þŒÈ, Z 1 0 Sn(x) dx = Z 1 0 (−e −n 2x 2 ) 0dx = 1 − e −n 2 → 1, (n → ∞), Z 1 0 S(x) dx = 0. d~`²=B Sn(x) Ú§4¼ê S(x) Ñ3«m [a, b] ŒÈ, „ ؽk lim n→∞ Z b a Sn(x) dx = Z b a S(x) dx. 6/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理sinna例5设Sn(ac)(n=1,2,..), E(-00,+80),则VnS(α) = lim Sn(α) = 0.n-8显然 Sn(α)和S(αc)都在（-80,+8）上可导，且 S(α)=0,但S,(α) = Vncos na 0 = S'(α) (n → ).此例说明即便Sn（c）和它的极限函数S(a）都在区间[a,b]上可导时Sn（c）的导函数可能不一定收敛，即便收敛也不一定收敛到S(a）的导函数返回全屏关闭退出7/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ~ 5  Sn(x) = sin nx √ n (n = 1, 2, · · ·), x ∈ (−∞, +∞), K S(x) = lim n→∞ Sn(x) = 0. w, Sn(x) Ú S(x) Ñ3 (−∞, +∞) þŒ, … S 0 (x) = 0, S 0 n (x) = √ n cos nx 6→ 0 = S 0 (x) (n → ∞). d~`²=B Sn(x) Ú§4¼ê S(x) Ñ3«m [a, b] þŒž, Sn(x) ¼êŒUؽÂñ, =BÂñØ½Âñ S(x) ¼ê. 7/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Dini定理Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法7.2.2一致收敛性先从函数列的收敛来说函数列 fn(α) 在区间[a,b] 上收敛于函数 f(α) ao E [a,b],Ve> 0,3 N= N(co,e) EN, 当 n > N 时, 有Ifn(o) - f(co)I .因此，至少需要N=[].这样当越靠近1.N就越大.不存在共同的对所有点一致成立的N返回全屏关闭退出II8/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n 7.2.2 Âñ5 kl¼êÂñ5`. ¼ê {fn(x)} 3«m [a, b] þÂñu¼ê f(x) ⇐⇒ ∀ x0 ∈ [a, b], ∀ ε > 0, ∃ N = N(x0, ε) ∈ N,  n > N ž, k |fn(x0) − f(x0)| ln ε ln x . Ïd, I‡ N = ln ε ln x . ù x ‚ C 1, N ÒŒ. Ø3
Óé¤k:¤á N. 8/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Cauchy准则Weierstrass判别法Dirichlet判别法Abel判别法Dini定理函数列和函数项级数在收敛域上的收敛性，本质上是“点态”的收敛，在各个收敛点有不同的收敛速度，当收敛速度有某种整体的一致性时，称其为一致收敛，准确地说就有下面的定义定义1设函数列（fn(aα))在E上收敛于f(α),如果对任意正数ε,都存在N>0使得当n >N时,对所有 EE都有If(α) - fn(α)I <e,则称函数列（fn(α)在E上一致收敛于f(α）（或一致趋于f(α)）当定义中的函数列是函数项级数n=1un(a)的部分和时（即 fn(a)=Sn(α)=h=1uk(α))，上面的定义也就给出了函数项级数的一致收敛性的定义,返回全屏关闭退出-9/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ¼êÚ¼ê‘?ê3ÂñþÂñ5, Ÿþ´“:”Âñ. 3 ˆ‡Âñ:kØÓÂñ„Ý. Âñ„Ýk,«N5ž, ¡Ù Âñ, O(/`Òke¡½Â. ½Â 1 ¼ê {fn(x)} 3 E þÂñu f(x), XJé?¿ê ε, Ñ3 N > 0 ¦ n > N ž, é¤k x ∈ E Ñk |f(x) − fn(x)| < ε, K¡¼ê {fn(x)} 3 E þÂñu f(x)£½ªu f(x)¤. ½Â¥¼ê´¼ê‘?ê P∞ n=1 un(x) ܩڞ (= fn(x) = Sn(x) = Pn k=1 uk(x)), þ¡½ÂÒ‰Ñ ¼ê‘?êÂñ5½ Â. 9/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

基本概念一致收敛Cauchy准则Abel判别法Dini定理Weierstrass判别法Dirichlet判别法一致收敛的几何意义V >0, N(e), 当 n> N(e) 时. 方程y=fn(α), (n =1,2,..)表示的曲线都落入条形区域[(α,y) : a E[a,bl, yE (f(α) -e, f(α) +e))yy=f(c) +eiy=fn(a)y=f(c)y=f(α)-eX0ab返回全屏退出关闭10/36

ÄVg Âñ Cauchy OK Weierstrass O{ Dirichlet O{ Abel O{ Dini ½n ÂñAÛ¿Â ∀ ε > 0, ∃ N(ε),  n > N(ε) ž, § y = fn(x), (n = 1, 2, · · ·) L«­‚Ñá\^/« {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ (f(x) − ε, f(x) + ε)} O x y a b y = f(x) y = fn(x) y = f(x) − ε y = f(x) + ε 10/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ