《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第3章 一元函数的微分学 §3.2 微分

§3.2微分 3.2.1微分的定义 定义1设y=f(x)在给定一点x的附近有定义.如果存在数A=A(x) 使得 f(x+Δx)-f(x)=A·Ax+o(Ax),(当Δx→0时) 则称f在x可微，线性部分A·△x称为函数y=f(x)在x处的微分，记为 dy=A·△x,或 df(x)=A·△x. 函数f(x)在x可微，就是说在x处，函数的增量Δy=f(x+△x)-f(x) 与微分 A·Δx只差一个关于自变量增量Δx的高阶无穷小量. ‖返回全屏关闭退出 1/20

§3.2 ‡© 3.2.1 ‡©½Â ½Â 1  y = f(x) 3‰½: x NCk½Â. XJ3ê A = A(x) ¦ f(x + ∆x) − f(x) = A · ∆x + o(∆x), (  ∆x → 0 ž) K¡ f 3 x Œ‡, ‚5Ü© A · ∆x ¡¼ê y = f(x) 3 x ?‡©, P dy = A · ∆x, ½ df(x) = A · ∆x. ¼ê f(x) 3 x Œ‡, Ò´`3 x ?, ¼êOþ ∆y = f(x+∆x)−f(x) †‡© A · ∆x ‡'ugCþOþ ∆x páþ. 1/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定理1 函数y=f(a)在α可微的充分必要条件是f(a)在可导,这时dy=f'(α)△a.因此函数在一点可导有时也称为在一点可微证明 如果函数f在α可微,即Ay=A·△a+o(a),则f(α +Aα) - f(α)Ayo(△c)limlimlimAA+AcAcAa-0 AA-0Aa-→0也就是，函数在这一点可导.反之，如果f在处可导，则Ay - f'(α)Ac(f(α + α) - f(α)f'(α) = 0.limlimAaAcAa-0AT-0这说明Ay - f'(α)AaE=Aa是当 Aα → 0 时的无穷小量: ε = o(1). 所以 Ay = A·△α + o(△α)其中A=f'(α).因此函数在α处可微返回全屏关闭退出I42/20

½n 1 ¼ê y = f(x) 3 x Œ‡¿©7‡^‡´ f(x) 3 x Œ, ùž dy = f 0 (x)∆x. Ïd¼ê3:Œkž¡3:Œ‡. y² XJ¼ê f 3 x Œ‡, = ∆y = A · ∆x + o(∆x), K lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x) ∆x = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0  A + o(∆x) ∆x  = A Ò´, ¼ê3ù:Œ. ‡ƒ, XJ f 3 x ?Œ, K lim ∆x→0 ∆y − f 0 (x)∆x ∆x = lim ∆x→0 (f(x + ∆x) − f(x)) ∆x − f 0 (x) = 0. ù`² ε = ∆y − f 0 (x)∆x ∆x ´ ∆x → 0 žáþ: ε = o(1). ¤± ∆y = A · ∆x + o(∆x), Ù¥ A = f 0 (x). Ïd¼ê3 x ?Œ‡. 2/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

注意,函数y=f(α)在一点的微分是一个与相关的线性映射它将△a映到f'()A，而不是另一个的函数.特别，当我们考察函数y = f(α)= α 时,就得到dy =dc = (α)△a=Ac.此时自变量的微分与自变量的改变量相等.于是函数 y=f(c)在点 α的微分又可记成dy = df(α) = f(α)da.现在,da与dy都有完全确定的意义，它们分别是自变量a和函数y的微分并且dydf(α)f'(α).dada即函数在一点的导数是其因变量的微分和自变量的微分的商，以往我们把d当作一个完整记号来表示微商，而现在可以将它看成是“两个微分的商”这也是“微商”这个名词的来由返回全屏关闭退出3/20

5¿, ¼ê y = f(x) 3: x ‡©´‡† x ƒ'‚5N, §ò ∆x N f 0 (x)∆x, Ø´,‡ x ¼ê. AO, ·‚ ¼ê y = f(x) = x ž, Ò dy = dx = (x) 0∆x = ∆x. džgCþ‡©†gCþUCþƒ. u´¼ê y = f(x) 3: x ‡ ©qŒP¤ dy = df(x) = f 0 (x)dx. y3, dx † dy Ñk(½¿Â, §‚©O´gCþ x Ú¼ê y ‡©, ¿… dy dx = df(x) dx = f 0 (x). =¼ê3:ê´ÙÏCþ‡©ÚgCþ‡©û. ± ·‚r dy dx Š‡PÒ5L«‡û, y3Œ±ò§w¤´/ü‡‡©û0. ù´/‡û0ù‡¶c5d. 3/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

几何解释如图,过y = f(α)3的图象上一点(α,f(α))作切线y=f(a)L.易知，函数图象纵坐标的改变量（即函数的改变量）是△y，而L上点的纵坐标的改变量就是函数 y = f(α)在点 处的微分dy = f'(α)Aa由于 [Ay - dyl = o(Aα),故a+Aa当Aαl很小时，函数在点的图 3.1改变量与切线的改变量的差，相比自变量的改变量A来说，是高阶无穷小，因此在点&附近，可以用过(c，f(α)）的切线代替函数描述的曲线.这就是微积分中“以直代曲”的基本思路返回全屏关闭退出4/20

AÛ)º Xã, L y = f(x) ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ❄ ✻ ∆y x x + ∆x α L y = f(x) } dy ã 3.1 ãþ: (x, f(x)) Šƒ‚ L. ´, ¼êãp‹IUC þ£=¼êUCþ¤´ ∆y, L þ:p‹IUCþÒ´¼ ê y = f(x) 3: x ?‡© dy = f 0 (x)∆x. du |∆y − dy| = o(∆x),   |∆x| éž, ¼ê3: x  UCþ†ƒ‚UCþ, ƒ 'gCþUCþ ∆x 5`, ´pá. Ïd3: x NC, Œ±^L (x, f(x)) ƒ‚O¼ê£ã­‚. ùÒ´‡È©¥/±†­0Ä g´. 4/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

近似计算因为函数 sin,tan a,e",ln(1+a)在0点的导数是1所以在0附近有sina～ , tana～ , e"～1+, ln(1+α)～ .函数(1 + α)~在0 点的导数是 α,所以在 0 附近有(1 + α) ~ 1 + αc.例 11）1/211V101 = (100 + 1)/2 = 10～101+10.05,1++2100100,例 21/5212V245 = (243 + 2)1/55=3~31+1+2435243因为·～0.0016,所以V245 ~ 3.0048.返回全屏关闭退出II5/20

CqOŽ Ϗ¼ê sin x, tan x, ex , ln(1 + x) 3 0 :ê´ 1 ¤± 3 0 NCk sin x ≈ x, tan x ≈ x, ex ≈ 1 + x, ln(1 + x) ≈ x. ¼ê (1 + x) α 3 0 :ê´ α, ¤±3 0 NCk (1 + x) α ≈ 1 + αx. ~ 1 √ 101 = (100 + 1)1/2 = 10  1 + 1 1001/2 ≈ 10  1 + 1 2 · 1 100 = 10.05, ~ 2 √5 245 = (243 + 2)1/5 = 3  1 + 2 2431/5 ≈ 3  1 + 1 5 · 2 243 , Ϗ 1 5 · 2 243 ≈ 0.0016, ¤± √5 245 ≈ 3.0048. 5/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

微分运算的基本公式和法则3.2.2由微分的表达式dy=f'(c）d以及基本初等函数的求导公式，可以对应地给出基本初等函数地微分公式d(c)= 0 (c为常数);dsina=cosdc;dcos a=-sinada;dtana=secdadcot=-cscadcda;dcd arcsin =darccos =V1-2Vi-22A1Iaadac;d arctan a = + da;darccot =dlna=1da;der = er dc;1d;dar = arlnadc;dloga =lnadau = μau-1 da;返回全屏关闭退出6/20

3.2.2 ‡©$ŽÄúªÚ{K d‡©Lˆª dy = f 0 (x)dx ±9Äмê¦úª, Œ±é A/‰ÑÄмê/‡©úª: d(c) = 0 (c~ê); d sin x = cos x dx; d cos x = − sin x dx; d tan x = sec2 x dx; d cot x = − csc2 x dx; d arcsin x = √ 1 1−x2 dx; d arccos x = −√ 1 1−x2 dx; d arctan x = 1 1+x2 dx; darccot x = − 1 1+x2 dx; dex = e x dx; d ln x = 1 x dx; dax = a x ln a dx; d loga x = 1 x ln a dx; dxµ = µxµ−1 dx; 6/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

此外，由于微分和导数的对应关系，我们不难得到下列定理定理2设函数u和在处可微，则函数cu，u士u，u·，"（其中，对于最后的分式V0）在α处可微.且有d(cu)= cdu,其中 c为常数d(u±v)=du±dv;d(uv) = vdu + udv;d (c) = , 0 * 0.返回全屏关闭退出7/20

d , du‡©ÚêéA'X, ·‚ØJe½n. ½n 2 ¼ê u Ú v 3 x ?Œ‡, K¼ê cu, u ± v, u · v, u v£Ù¥, é u￾©ª, v 6= 0¤3 x ?Œ‡, …k d(cu) = cdu, Ù¥ c ~ê; d(u ± v) = du ± dv; d(uv) = vdu + udv; d ￾ u v
= vdu−udv v 2 , v 6= 0. 7/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定理 3 设 y = (α)定义在区间 I 上,z = f(y)定义在一个包含 (I)的区间 J 上. 如果 y = (α) 在 上可微, z = f(y) 在 y= (α) 处可微, 则复合函数=f(p(α))在α处也可微并有dz = f'(y)dy,其中dy='(a)da是函数y=(a)在a处的微分证明由微分表达式和复合函数求导的链式法则，有dz = (f(p(α)'dc = f'((α))p'(c)da= f'(y)dy.定理3说明,从形式上看无论y是自变量还是中间变量,z = f(y)的（一阶）微分具有相同的形式 df(y)= f'(y)dy.这种性质称为一阶微分形式不变性返回全屏关闭退出18/20

½n 3  y = ϕ(x) ½Â3«m I þ, z = f(y) ½Â3‡¹ ϕ(I)  «m J þ. XJ y = ϕ(x) 3 x þŒ‡, z = f(y) 3 y = ϕ(x) ?Œ‡, K Eܼê z = f(ϕ(x)) 3 x ?Œ‡, ¿k dz = f 0 (y)dy, Ù¥ dy = ϕ0 (x)dx ´¼ê y = ϕ(x) 3 x ?‡©. y² d‡©LˆªÚEܼê¦óª{K, k dz = (f(ϕ(x)))0dx = f 0 (ϕ(x))ϕ 0 (x)dx = f 0 (y)dy. ½n 3 `², l/ªþwÃØ y ´gCþ„´¥mCþ, z = f(y) £ ¤‡©äkƒÓ/ª df(y) = f 0 (y)dy. ù«5Ÿ¡‡©/ªØC 5. 8/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

例 3 求函数 y=ln(＋ 2+a)的微分,其中 a是常数解d(a+V2+a2)(ln(α + Vαc2 + a2)α+ Vα2+a21.024dac+ V2+a22Vc2+a21&dac1&+V2+aQ1da由此还可以得到该函数的导数1dyda2返回全屏关闭退出9/20

~ 3 ¦¼ê y = ln(x + √ x2 + a2) ‡©, Ù¥ a ´~ê. ) d  ln(x + p x2 + a2)  = d(x + √ x2 + a2) x + √ x2 + a2 = 1 x + √ x2 + a2  dx + d(x 2 + a 2 ) 2 √ x2 + a2  = 1 x + √ x2 + a2  1 + x √ x2 + a2  dx = 1 √ x2 + a2 dx. dd„Œ±T¼êê dy dx = 1 √ x2 + a2 . 9/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

例 4 设0< q<1,函数 y= y(c)满足下列方程y-c-qsiny=o.求函数y=y(c)的导数解我们不能从方程中解出y的显示表示，因此为了求y'(a），在上列等式的两端对&求微分，并利用一阶微分形式的不变性，得dy - da - q cos ydy = o.故dyy'(ac)da1-qcosy退出返回全屏关闭10/20

~ 4  0 < q < 1, ¼ê y = y(x) ÷ve§ y − x − q sin y = 0. ¦¼ê y = y(x) ê. ) ·‚ØUl§¥)Ñ y w«L«, Ïd ¦ y 0 (x), 3þ ªüàé x ¦‡©, ¿|^‡©/ªØC5,  dy − dx − q cos ydy = 0.  y 0 (x) = dy dx = 1 1 − q cos y . 10/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ