《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第3章 一元函数的微分学 §3.1 导数

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 第3章一元函数的微分学 63.1 导数 3.1.1导数的定义 1°曲线的切线 首先要明确什么是“曲线上一点的切线”.在初等几何中，通常将只与圆 周有一个交点的直线，定义为圆的切线.然而，对于一般曲线来说，这种定义 方式就不适合了.例如对于抛物线（图3.1），显然交于抛物线一点A的直线 有多条，其中有的明显就不是切线.而对于图3.2，直线交图示曲线于两点，显 然在交点A处，直线应该是“切线”.对于图3.3中的曲线在A点有一个尖 点.在尖点处，与曲线相交一点的切线却有多条. 11 返回 全屏 关闭 退出 1/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 1 3 Ù ¼ê‡©Æ §3.1 ê 3.1.1 ê½Â 1 ◦ ­‚ƒ‚ Äk‡²(Ÿo´/­‚þ:ƒ‚0. 3ÐAÛ¥, Ï~ò† ±k‡:†‚, ½Âƒ‚. , , éu„­‚5`, ù«½Â ªÒØ·Ü . ~XéuԂ£ã 3.1¤, w,uԂ: A †‚ kõ^, Ù¥k²wÒØ´ƒ‚. éuã 3.2, †‚ã«­‚uü:, w ,3: A ?, †‚AT´/ƒ‚0. éuã 3.3 ¥­‚3 A :k‡k :. 3k:?, †­‚ƒ:ƒ‚%kõ^. 1/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.43.1.73.1.13.1.23.1.33.1.53.1.6图3.1图3.2图3.3那么，如何定义一般曲线的切线呢？一个可行的途径是从割线开始，连接曲线C上两点M和M.作一条割线L（图3.4）：当点M沿着曲线C滑动到M。时如果L有一个“极限位置”，我们便将这个“极限位置”的直线定义为曲线在一点的M。的切线平面上过一点的直线可由直线与轴的正向的夹角α来表征.这个夹角α是指正&轴绕原点沿逆时针方向转动，并在首次变得与该直线平行时所扫过的角度，因此满足0≤α≤元.角度的正切tanα称为直线的斜率返回全屏关闭退出2/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y A ã 3.1 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y A ã 3.2 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y A ã 3.3 @o, X۽„­‚ƒ‚Q? ‡Œ1å»´l‚m©, ë ­‚ C þü: M0 Ú M, Š^‚ L£ã 3.4¤, : M ÷X­‚ C w Ä M0 ž, XJ L k‡/4 0 , ·‚Bòù‡/4 0†‚, ½Â­‚3: M0 ƒ‚. ²¡þL:†‚Œd†‚† x ¶•Y α 5L. ù‡Y  α ´ x ¶7:÷_ž•=Ä, ¿3ÄgC†T†‚²1ž ¤×LÝ, Ïd÷v 0 6 α 6 π. ݃ tan α ¡†‚Ç. 2/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.53.1.63.1.73.1.13.1.23.1.33.1.44设α(M)是割线 MM 与轴的夹y=f(r)角,如果Mlim, α(M) = αM-MoAy则极限值α应该是Mo点处切线与Mo轴的夹角.现在假设曲线C由函数---aT0y=f(α)表示（或者说曲线是函数图3.4f(α）的图象），点 M。的坐标是Mo(co，f(ao)),动点 M 的坐标是 M(c，f(α)),所以割线的斜率是tan α(M) = f(a) - f(co)-o故上述求极限的过程就是f(α) - f(αo)limlim tan α(M) = tan α-oT→To→T0如果左边的极限存在的话，该极限就是切线的斜率返回全屏关闭退出III3/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7  α(M) ´‚ M0M † x ¶Y , XJ lim M→M0 α(M) = α K4Š α AT´ M0 :?ƒ‚† x ¶Y. y3b­‚ C d¼ê y = f(x) L«£½ö`­‚´¼ê f(x) ã¤, : M0 ‹I´ ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ❄ ✻ ∆y x0 x α L ` y = f(x) M0 M ã 3.4 M0(x0, f(x0)), Ä: M ‹I´ M(x, f(x)), ¤±‚Ç´ tan α(M) = f(x) − f(x0) x − x0 þã¦4L§Ò´ lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 = lim x→x0 tan α(M) = tan α XJ†>43{, T4Ò´ƒ‚Ç. 3/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.13.1.23.1.33.1.43.1.53.1.63.1.72°直线运动质点的瞬间速度考察沿直线作变速运动的一个质点，设质点所运动的距离与时间之间的关系为S=S(t).因此在从to到t这段时间间隔内，质点运动的平均速度是S(t) - S(to)=t-to显然，这个平均速度并不能完全反映质点在to到t这段时间内更具体的运动规律，如果要了解质点在某一时刻运动的变化规律（即速度）只要上述平均的时间间隔越来越短，特别，如果极限S(t) - S(to)lim = limt-→tot-→toot-to存在，则称为在时刻t时，质点运动的瞬时速度无论是几何上的从割线到切线，还是物理中的从平均速度到瞬时速度极限的形式都是一样的，抽象地说，都是刻划函数在一点的变化速率，或者说是在一点函数的变化量与自变量的变化量之间的比率，我们将其抽象出来就有了关于导数的定义返回全屏关闭退出二-4/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 2 ◦ †‚$ğ:]m„Ý  ÷†‚ŠC„$ćŸ:. Ÿ:¤$Äål†žmƒm 'X S = S(t). Ïd3l t0  t ùãžmm…S, Ÿ:$IJþ„Ý´ v¯ = S(t) − S(t0) t − t0 w, ù‡²þ„Ý¿ØU‡NŸ:3 t0  t ùãžmSäN$Ä 5Æ. XJ‡ )Ÿ:3,ž$ÄCz5Æ£=„ݤ, ‡þã²þ žmm…5á. AO, XJ4 lim t→t0 v¯ = lim t→t0 S(t) − S(t0) t − t0 3, K¡3ž t0 ž, Ÿ:$Ä]ž„Ý. ÃØ´AÛþl‚ƒ‚, „´Ôn¥l²þ„Ý]ž„Ý, 4/ªÑ´. Ä/`, Ñ´y¼ê3:Cz„Ç. ½ö` ´3:¼êCzþ†gCþCzþƒm'Ç. ·‚òÙÄÑ5, Òk 'uê½Â. 4/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.13.1.23.1.33.1.43.1.53.1.63.1.7定义1设y=f(α）在ao的邻域中有定义，如果极限f(α) - f(aco)limF→0c-o存在,就称它为 = f(c)在 co 的导数（或微商）,记成 f(ao)，碧l。或凯l,并称f(a)在 αo 可导从上面的第一个例子可知，函数的导数的几何意义，就是曲线在一点的切线的斜率，而从第二个例子可知，导数的物理意义就是在一个时刻的瞬时速度如果函数在一点的导数不存在，还包含了一种可能，就是极限等于无穷天对于这种情况的儿何解释是，函数的图象在一点的切线的斜率是无穷天也就是切线平行于y轴所以我们一般不考虑平行于y轴的切线返回全屏关闭退出-5/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ½Â 1  y = f(x) 3 x0 ¥k½Â, XJ4 lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 3, Ò¡§ y = f(x) 3 x0 ꣽ‡û¤, P¤ f 0 (x0), df dx   x0 ½ dy dx   x0 , ¿¡ f(x) 3 x0 Œ. lþ¡1‡~fŒ, ¼êêAÛ¿Â, Ò´­‚3: ƒ‚Ç, l1‡~fŒ, êÔn¿ÂÒ´3‡ž]ž „Ý. XJ¼ê3:êØ3, „¹ «ŒU, Ò´4uá Œ. éuù«œ¹AÛ)º´, ¼êã3:ƒ‚ǴáŒ, Ò´ƒ‚²1u y ¶. ¤±·‚„ØIJ1u y ¶ƒ‚. 5/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.13.1.73.1.23.1.33.1.43.1.53.1.6定义2设函数f(α)在点αo的右边近旁有定义,如果Aα>0.且f(co + △α) - f(co)limAaAa-0+存在,则称它为 f(α)在 ao 的右导数,记成 f'(αo),并称 f(α)在 ao右可导类似可定义 y= f(α)在 o 的左可导和它的左导数 f(co).显然，f(a）在ao可导的充分必要条件是f(α）在ao左、右可导，并有f'(αo)= f=(co).定义 3如果y=f(a)在区间 I的每一点都可导,则称f(α)在I上可导f'(c）是I上一个函数称为f(α）的导函数.如果区间I包含有端点，则在该端点处，f(α）只需有相应的单侧可导性y=f(c）的导函数，也可记成y,等返回全屏关闭退出6/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ½Â 2 ¼ê f(x) 3: x0 m>Ck½Â, XJ ∆x > 0, … lim ∆x→0+ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x 3, K¡§ f(x) 3 x0 mê, P¤ f 0 + (x0), ¿¡ f(x) 3 x0 mŒ. aqŒ½Â y = f(x) 3 x0 †ŒÚ§†ê f 0 −(x0). w, f(x) 3 x0 Œ¿©7‡^‡´ f(x) 3 x0 †!mŒ, ¿k f 0 + (x0) = f 0 −(x0). ½Â 3 XJ y = f(x) 3«m I z:ь, K¡ f(x) 3 I þŒ, f 0 (x) ´ I þ‡¼ê¡ f(x) ¼ê. XJ«m I ¹kà:, K3 Tà:?, f(x) IkƒAüýŒ5. y = f(x) ¼ê, ŒP¤ y 0 , dy dx . 6/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.63.1.73.1.13.1.23.1.33.1.43.1.5例1设y=c（常数）求y解y=lim=lim六=0Aa-0AAa-0Aa例2设y=an，aE（-o+),其中n是自然数求y解对于任意实数，由二项式定理得n(n-1)-an-2(Aa) +... + (Aa)nAy= (α + A)n-a" = nan-iA +2!故Ayn(n- 1)nan-1 +-an-2Aα +...+(Ar)n-1=nan-1limy=lim2!Ar-0AAT0即y=an的导函数是y=nan-l,导函数的定义域也是（-oo,+o).特别当n=1时，函数y=c的导函数为常值函数y=1,即y=在每一点的切线的斜率都是1.返回全屏关闭退出7/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 1  y = c (~ê), ¦ y 0 . ) y 0 = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 0 ∆x = 0. ~ 2  y = x n, x ∈ (−∞, +∞), Ù¥ n ´g,ê. ¦ y 0 . ) éu?¿¢ê x, d‘ª½n ∆y = (x + ∆x) n − x n = nxn−1∆x + n(n − 1) 2! x n−2 (∆x) 2 + · · · + (∆x) n  y 0 = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0  nxn−1 + n(n − 1) 2! x n−2∆x + · · · + (∆x) n−1  = nxn−1 . = y = x n ¼ê´ y 0 = nxn−1 , ¼ê½Â´ (−∞, +∞). AO,  n = 1 ž, ¼ê y = x ¼ê~Š¼ê y = 1, = y = x 3z: ƒ‚ÇÑ´ 1. 7/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.53.1.63.1.73.1.13.1.23.1.33.1.4例 3 求函数 f(α)= ea 的导函数解因为er+AaalimezlimAaAaAc-→0Ar-→0e2=所以(e")"= e".返回全屏关闭退出II8/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 3 ¦¼ê f(x) = e x ¼ê. ) Ϗ lim ∆x→0 e x+∆x − e x ∆x = e x lim ∆x→0 e ∆x − 1 ∆x = e x ¤± (e x ) 0 = e x . 8/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.13.1.43.1.53.1.63.1.73.1.23.1.3例 4 求对数函数 y = logaα, E (o, +oo) 的导函数,这里 a > 0, 且a 1.Ina且解对于任意的α>0,有 logaa =naAc(1 +loga1InAy1cInaAcArAa利用极限ln(1 + α)lim= 1c→0a得110clna特别当a三e时，上面的结果为1Im& E (0.+)a由此可见，对于以e为底的自然对数的导数特别简单I返回全屏关闭退出9/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 4 ¦éê¼ê y = loga x, x ∈ (0, +∞) ¼ê, ùp a > 0, … a 6= 1. ) éu?¿ x > 0, k loga x = ln x ln a , … ∆y ∆x = loga ￾ 1 + ∆x x
∆x = 1 ln a ln ￾ 1 + ∆x x
∆x |^4 lim x→0 ln(1 + x) x = 1  (loga x) 0 = 1 x ln a . AO a = e ž, þ¡(J (ln x) 0 = 1 x , x ∈ (0, +∞) ddŒ„, éu± e .g,éêêAO{ü. 9/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.23.1.33.1.43.1.53.1.63.1.73.1.1例5求正弦函数和余弦函数的导函数解记 y= sin a，α E（一,+o).则对任意一点 a,ArAa&+sinAy=sin(a+Aa)-sin=2cos22由cos&的连续性以及基本极限sin&lim1-1-0得AasinAyAr2limlimlim十COSr二cOsAa2Aar-0Ar→0Ar-02即 (sin ) = cos .类似可得（cosa）=一sinac.返回退出全屏关闭10/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 5 ¦u¼êÚ{u¼ê¼ê. ) P y = sin x, x ∈ (−∞, +∞). Ké?¿: x, ∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 cos  x + ∆x 2  sin ∆x 2 d cos x ëY5±9Ä4 lim x→0 sin x x = 1  lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 cos  x + ∆x 2  lim ∆x→0 sin ∆x 2 ∆x 2 = cos x = (sin x) 0 = cos x. aqŒ (cos x) 0 = − sin x. 10/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ