《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第5章 单变量函数的积分学 5.1.3 可积函数类 5.1.4 定积分的基本性质 5.1.5 微积分基本定理

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux和 上积分 充要条件 中值定理 Newton-Leibniz公式 5.1.3可积函数类 我们假定在区间[a,b]上的函数f(x)是有界的，并设它的上确界和下确 界分别是M和m,因此 m≤f(x)≤M,x∈[a,b]. 对于区间[a,b]的任意一个分割 T:a=xo<x1<..<xn=b, 设函数f(x)在区间[x1-1,x;]上的上、下确界分别为 M1=sup{f(x):x∈[xi-1,xi]}m=inf{f(x):x∈[x-1,xi]} 并记 w=M-m;wi=Mi-mi,i=1,…,n 分别称为函数f(x)在区间[a,b]和[xi_1,x;]上的振幅. 11 返回全屏关闭退出 1/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª 5.1.3 ŒÈ¼êa ·‚b½3«m [a, b] þ¼ê f(x) ´k., ¿§þ(.Úe( .©O´ M Ú m, Ïd m 6 f(x) 6 M, x ∈ [a, b]. éu«m [a, b] ?¿‡© T : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ¼ê f(x) 3«m [xi−1, xi ] þþ!e(.©O Mi = sup  f(x) : x ∈ [xi−1, xi ] mi = inf  f(x) : x ∈ [xi−1, xi ] ¿P ω = M − m; ωi = Mi − mi, i = 1, · · · , n ©O¡¼ê f(x) 3«m [a, b] Ú [xi−1, xi ] þÌ. 1/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.45.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.3Newton-Leibniz公式定义1 对于上面给定的有界函数 f(c)和区间[a,b] 的分割,和式nTS(T) =M;Aari, S(T) = miArii=1i=1分别称之为函数f(α）的“Darboux上和”与“Darboux下和”显然,对于任意的点siE[aci-1,cil,有m<mi<f(si)≤Mi≤M, i=l,,n因此函数f(α)的任意一个Riemann和S(T) =Z f(s)Ari=1一定介于它的Darboux上和与Darboux下和之间，而且三种和都是有界的m(b - a) ≤ S(T) ≤ S(T) ≤ (T) ≤ M(b - a)II4-I返回全屏关闭退出2/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª ½Â 1 éuþ¡‰½k.¼ê f(x) Ú«m [a, b] ©, Úª S(T ) = X n i=1 Mi∆xi, S(T ) = X n i=1 mi∆xi ©O¡ƒ¼ê f(x) /Darboux þÚ0†/Darboux eÚ0. w, éu?¿: ξi ∈ [xi−1, xi ], k m 6 mi 6 f(ξi) 6 Mi 6 M, i = 1, · · · , n Ïd¼ê f(x) ?¿‡ Riemann Ú S(T ) = X n i=1 f(ξi)∆xi ½0u§ Darboux þچ Darboux eڃm, …n«ÚÑ´k. m(b − a) 6 S(T ) 6 S(T ) 6 S(T ) 6 M(b − a) 2/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.3Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.45.1.5Newton-Leibniz公式Darboux上和与下和图示XabO返回全屏关闭退出3/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª Darboux þچeÚã«: O a b x y 3/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.45.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.3Newton-Leibniz公式现在考虑分割的变化对Darboux和的影响.注意到，如果T是分割T中增加一个分割点形成的分割，即T: a= Co<ai<...<Ck-1< k<...<&n =b,T': a = o < a1 <... < ak-1 < ah, <ak <...< an = b.则函数 f(αc)分别在两个子区间[αk-1,α,] 和[c,ak] 的上确界不会超过它在区间[αk-1,αk]上的上确界（部分的上确界不会超过整体的上确界）Mk ≥ M' = sup [f(α) : a E [ck-1, a,]]Mk ≥ M" = sup [f(α) : α E [ch, ak]]因此，我们有S(T) - S(T') = Mk(αk - k-1) - M'(c - k-1) - M"(αk - c')≥ Mk(ck - k-1) - Mk(c - k-1) - Mk(αk - s) = 0返回全屏关闭退出4/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª y3Ä©Czé Darboux ÚK. 5¿, XJ T 0 ´© T ¥ O\‡©: x 0 k /¤©, = T : a = x0 M0 k = sup  f(x) : x ∈ [xk−1, x0 k ] , Mk > M00 k = sup  f(x) : x ∈ [x 0 k , xk] Ïd, ·‚k S(T ) − S(T 0 ) = Mk(xk − xk−1) − M0 k (x 0 k − xk−1) − M00 k (xk − x 0 k ) > Mk(xk − xk−1) − Mk(x 0 k − xk−1) − Mk(xk − x 0 k ) = 0. 4/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

上积分5.1.35.1.45.1.5Darboux和充要条件中值定理Newton-Leibniz公式另一方面，有S(T) - S(T) ≤ M(αk - k-1) - m(c- Ck-1) - m(αk - ak= w(ck - αk-1) ≤ wTll.即S(T) ≥ S(T)≥ S(T)-wlITIl当分割T是通过将T增加多个分割点所得到的分割时，有类似的结果也可以考虑Darboux下和的情况定理1设T是通过对分割T添加1个分割点所得到的新的分割，则S(T) ≤ S(T) ≤ S(T) +lwTIlS(T) ≥ S(T) ≥ S(T) - lwITIl.定理1说明，在对分割加密（即分割点的密度增加）的过程中，上和不增下和不减，具有一种“单调性”返回全屏关闭退出二A5/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª ,¡, k S¯(T ) − S¯(T 0 ) 6 M(xk − xk−1) − m(x 0 k − xk−1) − m(xk − x 0 k ) = ω(xk − xk−1) 6 ωkT k. = S¯(T ) > S¯(T 0 ) > S¯(T ) − ωkT k. © T 0 ´ÏLò T O\õ‡©:¤©ž, kaq(J; Œ±Ä Darboux eÚœ¹. ½n 1  T 0 ´ÏLé© T V\ l ‡©:¤#©, K S (T ) 6 S (T 0 ) 6 S (T ) + lωkT k, S¯(T ) > S¯(T 0 ) > S¯(T ) − lωkT k. ½n 1 `², 3é©\£=©:ÝO\¤L§¥, þÚØO, eÚØ~, äk«/üN50. 5/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

上积分5.1.35.1.45.1.5Darboux和充要条件中值定理Newton-Leibniz公式定理2对于区间[a.b]的任意两个分割T和T.将两个分割的分割点合起来形成一个新的分割T，则T既是对T的加密，也是对T的加密，因此有S(T)≤ S(T) ≤ S(T) ≤ S(T2)这说明一个分割对应的下和，总是不超过另一个分割对应的上和我们现在观察Darboux上和与下和当IT→0时的极限.因为上和与下和都是有界的，而且具有某种单调性（定理1）：类比于“单调有界数列有极限，而且极限就是数列的上确界或下确界”的事实，所以对于函数f（），我们考虑所有上和（下和）组成的集合的下确界（上确界），记I = sup S(T), I= inf S(T)T分别称为函数f（）的下积分和上积分.作为定理2的直接推论，对于任意两个分割，有不等式S(T)≤IIS(T2)返回全屏关闭退出二-6/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª ½n 2 éu«m [a, b] ?¿ü‡© T1 Ú T2, òü‡©©:Ü å5/¤‡#© T , K T Q´é T1 \, ´é T2 \, Ïd k S(T1) 6 S(T ) 6 S(T ) 6 S(T2). ù`²‡©éAeÚ, o´Ø‡L,‡©éAþÚ. ·‚y3* Darboux þچeÚ kT k → 0 ž4. Ϗþچ eÚÑ´k., …äk,«üN5£½n 1¤, a'u/üNk.êk 4, …4Ò´êþ(.½e(.0¯¢, ¤±éu¼ê f(x), · ‚ĤkþÚ£eÚ¤|¤8Üe(.£þ(.¤, P I = sup T S(T ), I = inf T S(T ) ©O¡¼ê f(x) eÈ©ÚþÈ©. Š½n 2 †íØ, éu?¿ü ‡©, kت S(T1) 6 I 6 I 6 S(T2) 6/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.35.1.4Newton-Leibniz公式定理3对于任意一个有界函数f（α），有lim S(T) = I, lim S(T) = I.ITI-→0IT→0证明我们只证明第二个公式，第一个公式的证明是类似的，根据上确界的定义，对于任意给定的正数e，存在区间[a,b]的一个分割To:a=Co2lw+1对于任意分割T，只要T<时，将T和T的分割点合起来组成一个新的分割T这时T是在T的分割点基础上，至多增加了T的I个分割返回全屏关闭退出7/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª ½n 3 éu?¿‡k.¼ê f(x), k lim kT k→0 S(T ) = I, lim kT k→0 S(T ) = I. y² ·‚y²1‡úª, 1‡úªy²´aq. Šâþ( .½Â, éu?¿‰½ê ε, 3«m [a, b] ‡© T0 : a = x0 0, éu?¿© T , ‡ kT k < δ ž, ò T Ú T0 ©:Üå5|¤‡ #© T 0 , ùž T 0 ´3 T ©:Ä:þ, õO\ T0  l ‡© 7/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.5上积分充要条件中值定理5.1.35.1.4Darboux和Newton-Leibniz公式点（“至多”的含义是有可能分割点有重复），因此，由定理1可知S(T) ≥ S(T) -lwTIl ≥ S(T) -lw|TlEEw>I>I-E22lw +1注意到显然有S(T) ≤ I,所以S(T)-II≤.这就证明了lim S(T) = I.ITI-→0返回全屏关闭退出I8/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª :£/õ0¹Â´kŒU©:k­E¤. Ïd, d½n 1 Œ, S(T ) > S(T 0 ) − lωkT k > S(T0) − lωkT k > I − ε 2 − lω ε 2lω + 1 > I − ε 5¿w,k S(T ) 6 I, ¤± |S(T ) − I| 6 ε. ùÒy² lim kT k→0 S(T ) = I. 8/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.35.1.4Newton-Leibniz公式定理4有界函数f(a）的Darboux上和与下和的极限相等，等价于nlimWidri= 0ITI-→0i-1这个结果的证明是简单的，只要注意到于任意分割TZw;Ae; = S(T) - S(T)i=1即可,返回全屏关闭退出I4-9/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª ½n 4 k.¼ê f(x)  Darboux þچeÚ4ƒ, du lim kT k→0 X n i=1 ωi∆xi = 0 ù‡(Jy²´{ü, ‡5¿u?¿© T , X n i=1 ωi∆xi = S(T ) − S(T ) =Œ. 9/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

5.1.35.1.5Darboux和上积分充要条件中值定理5.1.4Newton-Leibniz公式定理5设函数f(α)在区间[a,b] 上有界,则函数f(α)在区间[a,b]上可积的充分必要条件是它的Darboux上和与下和的极限相等，或者说nlim wiAci = 0IT-→0i=1其中,w= M;一mi是函数 f(α)在区间[ci-1,cil,(i= 1,··n)上的振幅证明对于一个有界函数f(α），当ⅡT→0时，虽然并不知道它的任意Riemann 和 S(T)是否有极限，但它的 Darboux上和 S(T)与下和 S(T)的极限是存在的，由关于三种和的不等式S(T)≤ S(T)≤S(T)立刻可知，如果Darboux上和与下和的极限相等，则任意的Riemann和有相同的极限，即，f（α）可积反之，如果函数f(a）可积，即它的Riemann和有极限，即存在一个数I，关闭退出返回全屏10/38

5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿‡^‡ ¥Š½n Newton-Leibniz úª ½n 5 ¼ê f(x) 3«m [a, b] þk., K¼ê f(x) 3«m [a, b] þŒ È¿©7‡^‡´§ Darboux þچeÚ4ƒ, ½ö` lim kT k→0 X n i=1 ωi∆xi = 0 Ù¥, ωi = Mi − mi ´¼ê f(x) 3«m [xi−1, xi ], (i = 1, · · · n) þÌ. y² éu‡k.¼ê f(x),  kT k → 0 ž, ,¿Ø§?¿ Riemann Ú S(T ) ´Äk4, § Darboux þÚ S(T ) †eÚ S(T )  4´3. d'un«Úت S(T ) 6 S(T ) 6 S(T ) Ꮜ, XJ Darboux þچeÚ4ƒ, K?¿ Riemann Úk ƒÓ4, =, f(x) ŒÈ. ‡ƒ, XJ¼ê f(x) ŒÈ, =§ Riemann Úk4, =3‡ê I, 10/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ