《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（2/8）

多元函数极限无穷小连续性$9.2多元函数及其连续性多元函数，向量值函数9.2.1函数就是量与量之间的一种关系（或一种对应）.可以将函数看成是映射1°映射设有两个集合X，Y，及一个规则f.若任意给定X中一个元素c都可以按照规则 f,找到Y中唯一确定的元素 y(记成 = f(α))与 α对应则称f 是 X到Y的一个映射,记成f: X→Y.y称为是α在f下的像，α称为y的原像.记f(X) = (f(α)/ E X)称为X的像集.显然，f(X）CY返回全屏关闭退出II1/15

õ¼ê 4 á ëY5 §9.2 õ¼ê9ÙëY5 9.2.1 õ¼ê, •þŠ¼ê ¼êÒ´þ†þƒm«'X (½«éA). Œ±ò¼êw¤´N. 1 ◦ N kü‡8Ü X, Y, 9‡5K f. e?¿‰½ X ¥‡ƒ x, ь±Uì5K f, é Y ¥(½ƒ y (P¤ y = f(x)) † x éA, K¡ f ´ X  Y ‡N, P¤ f : X → Y. y ¡´ x 3 f e, x ¡ y . P f(X) = {f(x)| x ∈ X} ¡ X 8. w, f(X) ⊂ Y. 1/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

多元函数极限无穷小连续性如果映射是一个单射，即，一个像只有一个原像，那么可以定义一个从f(X) 到 X 的映射:f-1 : f(X) → X.它的映射规则 f-1 是:任给 y E f(X), 必有唯一 E X 使 y = f(α). 这个 α就是 y在 f-1 下的象. 即是说如果 y = f(α),则 α = f-l(y).这时称 f 为可逆映射，f-1称为f的逆映射.它相当于一元函数的反函数f返回全屏关闭退出2/15

õ¼ê 4 á ëY5 XJN´‡ü, =, ‡k‡, @oŒ±½Â‡l f(X)  X Nµ f −1 : f(X) → X. §N5K f −1 ´: ?‰ y ∈ f(X), 7k x ∈ X ¦ y = f(x). ù‡ x Ò´ y 3 f −1 e. =´`XJ y = f(x), K x = f −1 (y). ùž¡ f Œ _N, f −1 ¡ f _N. §ƒu¼ê‡¼ê. X Y f 2/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限多元函数无穷小连续性2°多元函数设DCRn则从D到实数集R的映射f：DR称为一个n元函数因为Rn中的点有坐标（α1,a2，·.·&n)，所以可以写成z=f(ci,·.·,an).因为 Rn 的点对应一个 n维向量=aiéi +.·+anen所以多元函数是向量到数量的一个映射（对应关系)，这里éi，.：，én为Rn的坐标向量特别，当n=2时，就是二元函数(a,y) E D C R2.z = f(c,y),把 z所在的数轴的原点与（α,y)平面 R2的原点放在一起，并垂直于平面，这样我们就有了一个三维空间，而点集E = {(c,y, f(c, y))l (α,y) E D)就是一张空间曲面.这张曲面也可看成有三个自由度的三维空间中的点(c,y,z)受到一个约束 z= f(α,y) 所形成的返回全屏关闭退出3/15

õ¼ê 4 á ëY5 2 ◦ õ¼ê  D ⊂ Rn. Kl D ¢ê8 R N f : D → R ¡ ‡ n ¼ê. Ϗ Rn ¥:k‹I (x1, x2, · · · xn), ¤±Œ±¤ z = f(x1, · · · , xn). Ϗ Rn :éA‡ n ‘•þ ~x = x1~e1 + · · · + xn~en, ¤±õ¼ê´•þêþ‡N (éA'X), ùp ~e1, · · · , ~en  Rn ‹I•þ. AO,  n = 2 ž, Ò´¼ê z = f(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R 2 . r z ¤3ê¶:† (x, y) ²¡ R2 :3å, ¿R†u²¡, ù·‚Ò k ‡n‘m, :8 E = {(x, y, f(x, y))| (x, y) ∈ D} Ò´Üm­¡. ùÜ­¡Œw¤kn‡ gdÝn‘m¥: (x, y, z) ɇ å z = f(x, y) ¤/¤. x y z D E 3/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限多元函数无穷小连续性3°向量值函数向量值函数是一个从 n 维空间 Rn 到 m维空间 Rm 的映射f: D→Rm, DCRn即a = aiei +... + anen → y= f(a) = yiei +... + ymem或者记为(c1, a2, ..· , an) → (y1, y2, ... , Ym),这里Yi = fi(a1,... , an),Ym = fm(a1,... ,&n)都是 n元函数,yi称为向量值函数的第 i个分量函数.当 m = n时向量值函数也可称为变换返回全屏关闭退出I4/15

õ¼ê 4 á ëY5 3 ◦ •þŠ¼ê •þŠ¼ê´‡l n ‘m Rn  m ‘m Rm N f~ : D → R m, D ⊂ R n = ~x = x1~e1 + · · · + xn~en 7−→ ~y = f~(~x) = y1~e1 + · · · + ym~em ½öP (x1, x2, · · · , xn) 7−→ (y1, y2, · · · , ym), ùp y1 = f1(x1, · · · , xn), · · · ym = fm(x1, · · · , xn) Ñ´ n ¼ê, yi ¡•þŠ¼ê1 i ‡©þ¼ê.  m = n ž, •þŠ ¼êŒ¡C†. 4/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限无穷小多元函数连续性如果分量函数都是线性的，即Yi = a11ai + a12a2 +..: + ainCnsy2 = a211 +a22C2 +.++ a2nang.....Ym = am11+ am22 +...+amnCn其中αii都是常数，则映射是线性的a11 a122...aina21 a22 ..a2nA = (aij)mxn =:(aml am2:.. amn)就是线性映射的矩阵．记a=（a1,a2,··，an)T,y=(y1,y2，··，ym)T，（这里T表示转置），则线性映射可以简单表为y = Ar.返回全屏关闭退出-5/15

õ¼ê 4 á ëY5 XJ©þ¼êÑ´‚5, =, y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn, y2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn, · · · · · · ym = am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn, Ù¥ aij Ñ´~ê, KN´‚5, A = (aij)m×n =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn   Ò´‚5NÝ . P x = (x1, x2, · · · , xn) T , y = (y1, y2, · · · , ym) T , (ù p T L«=), K‚5NŒ±{üL y = Ax. 5/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限多元函数无穷小连续性9.2.2多元函数的极限设z=f（acy）是定义在平面点集D上的二元函数，Mo=（aco,o）是D的聚点如果存在实数a,使得对任何>0,存在>0,当0<p(M,Mo)<8,且M=(c,y)ED时,有If(M) - al <e,就说当M趋于M时f（M）以a为极限，记成lim, f(M) = a.M-Mo也可以写成limf(c,y)=a或limf(c,y)=a.(a,y)→(co,yo)y-yo这就是二元函数极限的定义，从中看出，只是把一元函数极限定义中的绝对值（直线上点的距离）换成平面上点的距离即可：一般n元函数的极限的定义是类似的返回全屏关闭退出6/15

õ¼ê 4 á ëY5 9.2.2 õ¼ê4  z = f(x, y) ´½Â3²¡:8 D þ¼ê, M0 = (x0, y0) ´ D à:, XJ3¢ê a, ¦é?Û ε > 0, 3 δ > 0,  0 < ρ(M, M0) < δ, … M = (x, y) ∈ D ž, k |f(M) − a| < ε, Ò` M ªu M0 ž f(M) ± a 4, P¤ lim M→M0 f(M) = a. Œ±¤ lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = a ½ lim x→x0 y→y0 f(x, y) = a. ùÒ´¼ê4½Â. l¥wÑ, ´r¼ê4½Â¥ ý銣†‚þ:ål¤†¤²¡þ:ål=Œ. „ n ¼ê4 ½Â´aq. 6/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限多元函数无穷小连续性二元函数极限也可以称为二重极限如果用“增量”的语言（即设Aac，Ay是两个增量），则函数在Mo=（co,yo）极限就是limf(co+Aa,yo+△y)=aAC-0Ay-0因为p=VAa2+Ay?满足[Aal,[Ayl≤p≤Aa/+[Ayl所以，极限也可以表示成limf(co+Aa,yo+Ay)=a00虽然二元函数的极限的定义在形式上与一元函数一样，但是因为维数增加了，二元函数的极限讨论起来要复杂一些，例如，不大好讨论二元函数的单调性（因为平面中的点没有“序”）以及函数的左右极限问题，还有在二元函数的极限过程中，两个自变量的变化方式具有更大的自由度，它们在M。的附近可以用任意方式（直线的、螺旋的、曲线的等等）去接近M返回全屏关闭退出7/15

õ¼ê 4 á ëY5 ¼ê4Œ±¡­4. XJ^/Oþ0Šó (= ∆x, ∆y ´ü‡Oþ), K¼ê3 M0 = (x0, y0) 4Ò´ lim ∆x→0 ∆y→0 f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = a Ϗ ρ = p ∆x2 + ∆y2 ÷v |∆x|, |∆y| 6 ρ 6 |∆x| + |∆y| ¤±, 4Œ±L«¤ lim ρ→0 f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = a. ,¼ê4½Â3/ªþ†¼ê, ´Ï‘êO \ , ¼ê4?Øå5‡E, . ~X, ،Ð?ؼêü N5£Ï²¡¥:vk/S0¤±9¼ê†m4¯K. „k3¼ ê4L§¥, ü‡gCþCzªäkŒgdÝ, §‚3 M0  NCŒ±^?¿ª£†‚!Ú^!­‚¤C M0. 7/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限多元函数无穷小连续性cy?例 1 求证lim=0.(c,9)-(0,0) 24+y2证明利用不等式[2ayl≤a4+y2可得cy?slyl0c4 + y2所以, 对任意的 ε > 0, 取 = 2e, 当 0 < lαl < , 0 < lyl < 时, 有P-<<e.根据极限的定义知rylim0二(z,)→(0,0) a4 + y2返回全屏关闭退出8/15

õ¼ê 4 á ëY5 ~ 1 ¦y lim (x,y)→(0,0) x 2y 2 x4+y2 = 0. y² |^ت |2x 2y| 6 x 4 + y 2 Œ 0 6 x 2y 2 x4 + y2 6 1 2 |y|,  ¤±, é?¿ ε > 0,  δ = 2ε,  0 < |x| < δ, 0 < |y| < δ ž, k   x 2y 2 x4+y2    < 1 2 δ < ε. Šâ4½Â lim (x,y)→(0,0) x 2y 2 x4 + y2 = 0. 8/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限多元函数无穷小连续性ay例 2 求证不存在lim(μ,9)-→(0,0) 24+y2证明取 y= kα2（(α,y)平面中的抛物线）,则有ka4kc"ylimlim1+k2-→0α4+k2α4#-→0, a4 + y2y=kr2即当（c，y)沿着不同的抛物线趋向（0,0）时，函数有不同的极限，所以极限不存在。但是c"yalimlimlimlim=0.:0,y-0 α4 + y?+y29-0-0420y这种先取一个极限，再取另一个极限的做法叫累次极限.极限和累次极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系，但是当极限和累次极限都存在时，它们必然相等返回全屏关闭退出I49/15

õ¼ê 4 á ëY5 ~ 2 ¦y lim (x,y)→(0,0) x 2y x4+y2 Ø3. y²  y = kx2£(x, y) ²¡¥Ԃ¤, Kk lim x→0 y=kx2 x 2y x4 + y2 = lim x→0 kx4 x4 + k2x4 = k 1 + k2 , = (x, y) ÷XØÓԂª• (0, 0) ž, ¼êkØÓ4, ¤±4Ø 3. ´ lim y→0  lim x→0 x 2y x4 + y2  = 0, lim x→0  lim y→0 x 2y x4 + y2  = 0. ù«k‡4, 2,‡4‰{\g4. 4Ú\g4´ ü‡ØÓVg, §‚35vk7,%¹'X, ´4Ú\g4 Ñ3ž, §‚7,ƒ. 9/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

极限多元函数无穷小连续性无穷小函数的阶9.2.3如果当→o,y→yo时，函数f(a,y）的极限值是零，则称函数f(c,y)是当 α → ao,y→ yo 时的无穷小量.此时,如果对于充分小的p= V(α- o)2 + (y - yo)2, 有f(a,y)≤Cp则称 f(α,y)当 →co,→yo(等价于 p→O)时与 p至少有相同的阶记为 f(c,y) = O(p). 如果f(c,y)C（非零常数）limpkP-0则称f(α,y）当p→0时是与pk同阶的无穷小量，特别当C=1时，记为f(,y)～ pk.如果极限是零,则说 f(c,y)当 p→0 时是比 pk更高阶的无穷小量，记为f(α,y)=o(ph）.同样，我们可以讨论两个极限为零的函数之间的比较，这些概念与一元函数时类似，不再赘述返回退出全屏关闭IIV10/15

õ¼ê 4 á ëY5 9.2.3 á¼ê XJ x → x0, y → y0 ž, ¼ê f(x, y) 4Š´", K¡¼ê f(x, y) ´ x → x0, y → y0 žáþ. dž, XJéu¿© ρ = p (x − x0) 2 + (y − y0) 2 , k     f(x, y) ρ     6 C K¡ f(x, y)  x → x0, y → y0 (du ρ → 0) ž† ρ kƒÓ, P f(x, y) = O(ρ). XJ lim ρ→0 f(x, y) ρk = C£š"~ê¤ K¡ f(x, y)  ρ → 0 ž´† ρ k Óáþ, AO C = 1 ž, P f(x, y) ∼ ρ k . XJ4´", K` f(x, y)  ρ → 0 ž´' ρ k pà ¡þ, P f(x, y) = o(ρ k ). Ó, ·‚Œ±?Øü‡4"¼êƒm ', ù Vg†¼êžaq, Ø2Kã. 10/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ