《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（6/7）

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符梯度、散度、旋度g11.6场是从大量物理现象中抽象出来的物理概念.分两类：向量场和数量场向量场刻画的是那些既有大小又有方向的量.如引力场、流速场、电场磁场等数量场刻画的是只有大小没有方向的量，如电位场、温度场在数学上我们用向量表示既有大小又有方向的量：因此，空间区域V中的向量场，可以看成是定义在V上的一个三元向量值函数π=(M)(M E V).数量场只有大小,在数学上可以用三元函数 u = u(M)(M E V)表示.选定了空间坐标系，点M就可以用三元坐标（c,y,z）表示.向量场和数量场就可分别表示成 π= (c,y,z)和 u= u(α,,z). 选择不同的坐标系一般场的表达形式也不一样，但不会改变场的物理特性返回全屏关闭退出+1/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ §11.6 FÝ!ÑÝ!^Ý |´lŒþÔny¥ÄÑ5ÔnVg. ©üa: •þ|Úêþ|. •þ|x´@ QkŒqk•þ. XÚå|!6„|!>|! ^|. êþ|x´kŒvk•þ. X> |!§Ý|. 3êÆþ·‚^•þL«QkŒqk•þ. Ïd, m« V ¥•þ|, Œ±w¤´½Â3 V þ‡n•þŠ¼ê ~r = ~r(M) (M ∈ V ). êþ|kŒ, 3êÆþŒ±^n¼ê u = u(M) (M ∈ V ) L«. À½ m‹IX, : M Ҍ±^n‹I (x, y, z) L«. •þ|Ú êþ|Ҍ©OL«¤ ~r = ~r(x, y, z) Ú u = u(x, y, z). ÀJØÓ‹IX, „|Lˆ/ªØ, جUC|ÔnA5. 1/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符11.6.1数量场的梯度对于DCR3上定义的一个光滑数量场f =f(α,y,z),其三个偏导数组成的向量grad f = fi + f3 +fkara8.称为f 的梯度.设e= cosαi+ cosβi+ cosk是一个用方向余弦表示的单位方向,函数f(α,y,z)沿该方向的导数为% = % cos a + % cos β+ I cos = grad f .=8-由此可知，沿梯度方向函数值的变化最快梯度实际上是一个从数量场到向量场的映射grad：f →gradf,满足1° grad(ciu1 + C2u2) = Ci grad u1 + C2 grad u2, 其中 ci, C2 是任意常数2° grad(uiu2) = ui grad u2 + u2 grad ui3° grad f(u) = f'(u) grad u返回全屏关闭退出1I4I2/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ 11.6.1 êþ|FÝ éu D ⊂ R3 þ½Â‡1wêþ| f = f(x, y, z), Ùn‡ ê |¤•þ grad f = ∂f ∂x ~i + ∂f ∂y ~j + ∂f ∂z ~k ¡ f FÝ.  ~e = cos α~i + cos β~j + cos γ~k ´‡^•{uL«ü  •, ¼ê f(x, y, z) ÷T•ê ∂f ∂~e = ∂f ∂x cos α + ∂f ∂y cos β + ∂f ∂z cos γ = grad f · ~e. ddŒ, ÷Fݐ•¼êŠCz¯. FÝ¢Sþ´‡lêþ|•þ|N grad : f 7−→ grad f, ÷v 1 ◦ grad(c1u1 + c2u2) = c1 grad u1 + c2 grad u2, Ù¥ c1, c2 ´?¿~ê. 2 ◦ grad(u1u2) = u1 grad u2 + u2 grad u1. 3 ◦ grad f(u) = f 0 (u) grad u. 2/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符例1求数量场等值面的法向解设 =f(c,y,z)是一个光滑数量场.对于常数 c,方程f(c,y,z) = c表示一个等值面.假设这个等值面的参数方程为r(u, v) = (αc(u, v),y(u, v), z(u, v)), (u, v) E D,则在等值面上有f(c(u, v), y(u, v), z(u, v)) = c.对此求偏导数，得afau+gu+%2= 0,ara',+%u +%,= 0,COa~也就是grad f.r, = 0,grad f .r, = 0.x平行因此梯度gradf与法向π=FXT返回全屏关闭退出I-3/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ ~ 1 ¦êþ|Š¡{•. )  ϕ = f(x, y, z) ´‡1wêþ|. éu~ê c, § f(x, y, z) = c L«‡Š¡. bù‡Š¡ëꐧ ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D, K3Š¡þk f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = c. éd¦ ê,  ∂f ∂xx 0 u + ∂f ∂yy 0 u + ∂f ∂z z 0 u = 0, ∂f ∂xx 0 v + ∂f ∂yy 0 v + ∂f ∂z z 0 v = 0, Ò´ grad f · ~r0 u = 0, grad f · ~r0 v = 0. ÏdFÝ grad f †{• ~n = ~r0 u×~r0 v |~r0 u×~r0 v | ²1. 3/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符例 2 设 r = (α, y, z), r = [rl = Vα2 + y2 + z2. 求 grad rT，=,=,所以解 因为器=C1r，dy2+2+zrgrad r =r例3放置在原点的电荷g产生的电位场是=%,这里r是点π=(αc,y,z) 到原点的距离, 即, r = Vα2 +y2 + z2. 求 在空间任意一点 (不是原点）处的梯度及沿方向π的变化率解由梯度的运算性质得rgrad p = q grad =grad r =qm3agradr返回全屏关闭退出4/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ ~ 2  ~r = (x, y, z), r = |~r| = p x2 + y2 + z 2 . ¦ grad r. ) Ϗ ∂r ∂x = √ x x2+y2+z 2 = x r , ∂r ∂y = y r , ∂r ∂z = z r , ¤± grad r = ~r r . ~ 3 3:>Ö q )> |´ ϕ = q r , ùp r ´: ~r = (x, y, z) :ål, =, r = p x2 + y2 + z 2 . ¦ ϕ 3m?¿: (Ø´ :) ?FÝ9÷• ~r CzÇ. ) dFÝ$Ž5Ÿ grad ϕ = q grad 1 r = q · (− 1 r 2 ) grad r = −q ~r r 3 . ∂ϕ ∂~r = grad ϕ · ~r r = −q 1 r 2 . 4/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符11.6.2向量场的散度设F=（P,Q,R)是空间中一个光滑向量场，不妨认为是流速场，S是场中一个封闭曲面，方向指向外侧，则通量N =db F.ndsJs表示在流速场的作用下，单位时间内流过曲面S的流体的流量.设（V）表示S所围成的区域V的体积，则m#is表示单位时间内单位体积上流过体表面的流量当S缩成一点M时：若极限工db F.ndslimAVX1S-MAVAS存在,就称此极限为向量场F在M处的散度，记为divF(M)返回全屏关闭退出二、5/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ 11.6.2 •þ|ÑÝ  F~ = (P, Q, R) ´m¥‡1w•þ|, Ø@´6„|, S ´| ¥‡µ4­¡, •• ý, KÏþ N = ✍ S F~ · ~ndS L«36„|Š^e, ü žmS6L­¡ S 6N6þ.  σ(V ) L « S ¤Œ¤« V NÈ, K 1 σ(V ) ✍ S F~ · ~ndS L«ü žmSü NÈþ6LNL¡6þ.  S  ¤: M ž, e4  lim S→M 1 ∆V ✍ S F~ · ~ndS 3, Ò¡d4•þ| F~ 3 M ?ÑÝ, P div F~(M). 5/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符向量场F在一点的散度表示的是此点产生流体的能力.若divF（M）>0.则在M点产生流体，此点就称为“源”，若divF（M）<0,则在M点吸收流体此点就称为“漏”或“汇”，当divF处处为零时.F就称为无源场由Gauss公式和积分中值定理F.nds = l (%+% + ) dV = ((%+%+0)(M)0(V),-ar其中M'是S内一点，它随S收缩到M而趋于M.因此有（%++%+%QQdiv F(M) =)(M)dy0z这样就得到散度的计算公式apQQQQ++divF=(11.1)Iay02arGauss公式也可以表示为 F.nds =divFdv.(11.2)返回全屏 关闭 退出II6/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ •þ| F~ 3:ÑÝL«´d:)6NUå. e div F~(M) > 0, K3 M :)6N, d:Ò¡/ ’0 , e div F~(M) < 0, K3 M :á Â6N, d:Ò¡/¦0½/®0.  div F~ ??"ž, F~ Ò¡Ã |. d Gauss úªÚÈ©¥Š½n, ✍ S F~ · ~ndS = ✝ V  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z  dV =  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z  (M0 )σ(V ), Ù¥ M0 ´ S S:, §‘ S   M ªu M. Ïdk div F~(M) =  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z  (M). ùÒÑÝOŽúª: div F~ = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂Q ∂z . (11.1) Gauss úªŒ±L« ✍ ∂V F~ · ~ndS = ✝ V div F dV. ~ (11.2) 6/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符由前面这个式子，可以得到Gauss公式的物理解释：单位时间内流过物体表面的流量等于物体内所有“源”或“汇”的代数和因此.Gauss公式也称为散度公式div：F→divF是向量场到数量场的一个映射，它满足以下运算法则1°div(cF+CF）=CidivF+C2divF2,C1,C2是任意常数2°divuF）=udivF+gradu·F其中u是一个数量场例4求电场强度E=%的散度，其中π=（cyz)，=解qqTdivE=divdiv+grad1r3r33qqgradr.r+r3r33q力3q=0.r3r4T返回全屏关闭退出7/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ dc¡ù‡ªf, Œ± Gauss úªÔn)º: ü žmS6LÔ NL¡6þuÔNS¤k/ 0½/®0êÚ. Ïd, Gauss úª¡ ÑÝúª. div : F~ → div F~ ´•þ|êþ|‡N, §÷v±e$Ž{K: 1 ◦ div(c1F~1 + c2F~2) = c1 div F~1 + c2 div F~2, c1, c2 ´?¿~ê. 2 ◦ div(uF~) = u div F~ + grad u · F~, Ù¥ u ´‡êþ|. ~ 4 ¦>|rÝ E~ = q r 3~r ÑÝ, Ù¥ ~r = (x, y, z), r = |~r|. ) div E~ = div  q r 3 ~r = q r 3 div ~r + grad  q r 3  · ~r = 3q r 3 +  q r 3 0 grad r · ~r = 3q r 3 − 3q r 4 ~r r · ~r = 0. 7/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符向量场的旋度11.6.3设 F = (P,Q,R)是空间 V 中一个光滑n向量场,Po E V,π是任意单位向量.以 Po为圆心，充分小的正数e为半径作一个垂直于π的小圆盘D。CV.aD。是D的边界.设De表示D。上沿正向（即与亢协调的方向）的X单位切向量，则积分F.tdsF.dr=(JaDeJaD为向量场F在圆周aD。上的环量.因此1F.dsd(De) JaDe反映了向量场 F在 Ds上的平均旋转状态,这里 d(D）是 D。的面积返回全屏关闭退出8/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ 11.6.3 •þ|^Ý  F~ = (P, Q, R) ´m V ¥‡1w •þ|, p0 ∈ V, ~n ´?¿ü •þ. ± p0  %, ¿©ê ε Œ»Š‡R†u ~n  Dε ⊂ V, ∂Dε ´ Dε >.  ~τ L« ∂Dε þ÷• (=† ~n N•)  ü ƒ•þ, KÈ© ~n ~τ Dε ☞ ∂Dε F~ · d~r = ☞ ∂Dε F~ · ~τ ds •þ| F~ 3± ∂Dε þ‚þ. Ïd 1 d(Dε) ☞ ∂Dε F~ · ~τ ds ‡N •þ| F~ 3 Dε þ²þ^=G, ùp d(Dε) ´ Dε ¡È. 8/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符若→0 时,极限1F.dsQπ(po) = lime-0 d(De) JaDe存在，则此极限称为向量场F在po处绕亢的环流量（涡量）.它反映了F在Po点的旋转状态设想F是一个流速场，在 po处形成漩涡，在po放置一个小叶轮，小叶轮在F的作用下将旋转起来，改变小叶轮轴的角度，则叶轮旋转的速度也发生变化.存在一个轴的方向π,在这个方向上Q(po）达到最大值.根据 Stokes公式，有.nds,F.dr=JaDeD.aRapaQapOR aQ这里=由积分中值定理，存在一点pE82zaorayayDe使得. ndS = (i . n)(p')d(De).DI返回全屏关闭退出I9/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ e ε → 0 ž, 4 Ω~n(p0) = lim ε→0 1 d(Dε) ☞ ∂Dε F~ · ~τ ds 3, Kd4¡•þ| F~ 3 p0 ?7 ~n ‚6þ (µþ). §‡N F~ 3 p0 :^=G. Ž F~ ´‡6„|, 3 p0 ?/¤/µ, 3 p0 ‡Ó, Ó3 F~ Š^eò^=å5. UCÓ¶Ý, KÓ^=„ݏu )Cz. 3‡¶• ~n, 3ù‡•þ Ω~n(p0) ˆŒŠ. Šâ Stokes úª, k ☞ ∂Dε F~ · d~r = ☎ Dε ~Ω · ~ndS, ùp ~Ω =  ∂R ∂y − ∂Q ∂z , ∂P ∂z − ∂R ∂x , ∂Q ∂x − ∂P ∂y  . dÈ©¥Š½n, 3: p 0 ∈ Dε ¦ ☎ Dε ~Ω · ~ndS = (~Ω · ~n)(p 0 )d(Dε). 9/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度散度旋度保守场无源场Hamilton算符因而有Nn(po) = i(po) · π.由此式可知，当π取2(po）的方向时，元(po）达到最大值[2(po)l.于是，称2(p)为 F在p 点的旋度，记为rot F(p).即apORaQapORQQrot F =(11.3)22da，rdyay曲面S上的Stokes公式可以表为b F.dr=rotF.nds.(11.4)JJSLas当rotF处处为零时，F称为无旋场此时向量场F沿封闭曲线的环量为零旋度也可以看成是向量场到向量场的映射，它满足如下运算法则10rot(cFi+CF)=CirotFi+C2rotF2,C1,C2是常数2° rot(uF)=urot F+gradu× F,u是一个数量场div(F×)=·rotE-F·rotE3°返回全屏退出关闭II10/28

FÝ ÑÝ ^Ý Å| à | Hamilton ŽÎ Ï k Ω~n(p0) = ~Ω(p0) · ~n. ddªŒ,  ~n  ~Ω(p0) •ž, Ω~n(p0) ˆŒŠ |~Ω(p0)|. u´, ¡ ~Ω(p)  F~ 3 p :^Ý, P rot F~(p). =, rot F~ =  ∂R ∂y − ∂Q ∂z , ∂P ∂z − ∂R ∂x , ∂Q ∂x − ∂P ∂y  . (11.3) ­¡ S þ Stokes úªŒ±L ☞ ∂S F~ · d~r = ☎ S rot F~ · ~ndS. (11.4)  rot F~ ??"ž, F~ ¡Ã^|. dž•þ| F~ ÷µ4­‚‚þ". ^ݏŒ±w¤´•þ|•þ|N, §÷vXe$Ž{K: 1 ◦ rot(c1F~1 + c2F~2) = c1 rot F~1 + c2 rot F~2, c1, c2 ´~ê. 2 ◦ rot(uF~) = u rot F~ + grad u × F~, u ´‡êþ|. 3 ◦ div(F~1 × F~2) = F~2 · rot F~1 − F~1 · rot F~2. 10/28 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ