《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第13章 广义积分和含参变量积分（1/5）

无穷积分柯西准则 第二积分中值定理 Dirichlet 判别法 Abel判别法 暇积分 第13章广义积分和含参变量积分 §13.1广义积分 13.1.1无穷区间上积分的收敛性 设 f(x) 在 [a,+∞) 的任何闭子区间上 Riemann 可积，则 f(x) 在无穷区 间[a,+∞)上积分的收敛性定义为如下极限 +∞ slenidie lim.sturdse 或者说定义为函数 F()=I furder. 的收敛性.类似数项级数，我们希望探讨广义积分收敛性的判别方法. 返回全屏关闭退出 1/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© 1 13 Ù 2ÂÈ©Ú¹ëCþÈ© §13.1 2ÂÈ© 13.1.1 á«mþÈ©Âñ5  f(x) 3 [a, +∞) ?Û4f«mþ Riemann ŒÈ, K f(x) 3á« m [a, +∞) þÈ©Âñ5½ÂXe4 Z +∞ a f(x)dx = lim b→+∞ Z b a f(x)dx ½ö`½Â¼ê F(b) = Z b a f(x)dx, Âñ5. aqê‘?ê, ·‚F"&?2ÂÈ©Âñ5O{. 1/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法根据函数极限，limF(b)的Cauchy收敛准则，可得到关于广义积分的b-→++8Cauchy收敛准则定理1（Cauchy 准则）设 f(c）在[a,+oo）的任何闭子区间上可积,则f+f(α)da 收敛的充分必要条件是对于任给的正数 e,存在 B>a,只要b1,b2 >B,就有[F(b2) - F(b1)[=f()da<E.t注意,+8an 收敛lim an = 0山n-8n=0但是+8f(α)da 收敛lim f(α) = 0.古→+II4-返回全屏关闭退出2/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© Šâ¼ê4 lim b→+∞ F(b)  Cauchy ÂñOK, Œ'u2ÂÈ© Cauchy ÂñOK. ½n 1 (Cauchy OK)  f(x) 3 [a, +∞) ?Û4f«mþŒÈ, K R +∞ a f(x)dx Âñ¿©7‡^‡´éu?‰ê ε, 3 B > a, ‡ b1, b2 > B, Òk |F(b2) − F(b1)| =     Z b2 b1 f(x)dx     < ε. 5¿, X +∞ n=0 an Âñ =⇒ lim n→∞ an = 0 ´ Z +∞ a f(x)dx Âñ =6⇒ lim x→+∞ f(x) = 0. 2/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法进一步，类比正项级数的收敛性以，对于非负函数，我们有如下结果定理 2 设在[a,+o)上 f(α)≥ 0,f(α)在[a,+o)的任何子区间上可积则无穷积分f+f(ac)dc收敛的充分必要条件是，存在M>0使对任何b>a都有f(α)d < M.即 f(b)= r f(α)da对于任何 b有界类比级数的绝对收敛和条件收敛，有定理 3 设 f(α)在[a,+)的任何闭子区间上可积,如果l+α1f(α)[da 收敛，则无穷积分+f(α)dac收敛上面这个定理可从Cauchy收敛准则直接得到返回全屏关闭退出II3/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© ?Ú, a'‘?êÂñ5±, éušK¼ê, ·‚kXe(J: ½n 2 3 [a, +∞) þ f(x) > 0, f(x) 3 [a, +∞) ?Ûf«mþŒÈ, Káȩ R +∞ a f(x)dx Âñ¿©7‡^‡´, 3 M > 0 ¦é?Û b > a Ñk Z b a f(x)dx < M. = f(b) = R b a f(x)dx éu?Û b k. a'?êýéÂñÚ^‡Âñ, k ½n 3  f(x) 3 [a, +∞) ?Û4f«mþŒÈ, XJ R +∞ a |f(x)|dx  ñ, Káȩ R +∞ a f(x)dx Âñ. þ¡ù‡½nŒl Cauchy ÂñOK†. 3/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法如果If(α)|dc 收敛,则称f(c)da 绝对收敛+上面这个定理说明f(α)da在无穷区间上绝对收敛意味着该积分本身也收敛注意，在对于常义积分（即有限区间上的积分），这个结论并不成立，例如当为有理数：f(α) =-1, 当 α 为无理数该函数在[0,1] 区间上绝对可积,但是本身不可积F如果f(α)dac 收敛, 但[f(α)lda 发散, 则称f(c)dc条件收敛.例如+8sin &daJo条件收敛返回全屏关闭退出74/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© XJ Z +∞ a |f(x)|dx Âñ, K¡ Z +∞ a f(x)dx ýéÂñ. þ¡ù‡½n`² Z +∞ a f(x)dx 3á«mþýéÂñ¿›XTÈ© Âñ. 5¿, 3éu~ÂÈ© (=k«mþÈ©), ù‡(ؿؤá, ~X f(x) =    1,  x knê; −1,  x Ãnê, T¼ê3 [0, 1] «mþýéŒÈ, ´،È. XJ Z +∞ a f(x)dx Âñ, Z +∞ a |f(x)|dx uÑ, K¡ Z +∞ a f(x)dx ^ ‡Âñ. ~X, Z +∞ 0 sin x x dx ^‡Âñ. 4/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法类似无穷级数的比较判别法，也有定理 4(比较判别法）设 f(α)和 g(α)在[a,+)上有定义,对任意 b>a,f(α)和 g(α)在[a,b] 可积.如对充分大的α,成立不等式0 ≤f(α)≤g(α);则+8+81°若g(ac)dac收敛,则f(αc)dc 收敛;O+8+α2°若f(αc)dac发散,则g(α)d 发散返回关闭退出全屏5/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© aqá?ê'O{, k ½n 4 ('O{)  f(x) Ú g(x) 3 [a, +∞) þk½Â, é?¿ b > a, f(x) Ú g(x) 3 [a, b] ŒÈ. Xé¿©Œ x, ¤áت 0 6 f(x) 6 g(x), K 1 ◦ e Z +∞ a g(x)dx Âñ, K Z +∞ a f(x)dx Âñ; 2 ◦ e Z +∞ a f(x)dx uÑ, K Z +∞ a g(x)dx uÑ. 5/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法直接利用无穷积分的定义可以证明+8d当p>1时(α > 0) 收敛,acp+dc当p0) 发散.apa对于一个在[a,+o）上连续的函数f(c)，将它与比较，可得1°若对充分大的α,有If(α)/%，>1,C为常数，则+αf(a)da绝对收敛2°若对充分大的α,有f(α）≥%，p≤1,C为正常数+f(a)dac(a>0)发散a返回全屏关闭退出-6/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© †|^áȩ½ÂŒ±y²  p > 1 ž Z +∞ a dx xp (a > 0) Âñ,  p 6 1 ž Z +∞ a dx xp (a > 0) uÑ. éu‡3 [a, +∞) þëY¼ê f(x), ò§† 1 xp ', Œ 1 ◦ eé¿©Œ x, k |f(x)| 6 C xp , p > 1, C ~ê, K Z +∞ a f(x)dx ýéÂñ. 2 ◦ eé¿©Œ x, k f(x) > C xp , p 6 1, C ~ê, Z +∞ a f(x)dx (a > 0) uÑ. 6/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法定理5（Cauchy判别法）如果f(c）在[1,+oo）上有定义的非负且单调减少函数,那么积分J+f(ac)da与级数n=f(n)同敛散证明由f(α）的单调性可知，当k≤≤k+1时有f(k+1)≤f(α)<f(k),于是ck+1f(k+1)≤f(c)da ≤ f(k).k将上述不等式对k=1,2,..，n相加，就得知，对任何nEN有n+1en+1f(k) ≤f(a)da≤ f(k).11k=2k=1若+f(a)dc收敛，则由上式左半可知n-f(k）有界，因而=f(n）收敛.若+fc）dc发散则由上式右半可知h=f(k）无界，故n=f(n）发散.证毕返回全屏关闭退出+7/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© ½n 5 (Cauchy O{) XJ f(x) 3 [1, +∞) þk½ÂšK…üN~ ¼ê, @oÈ© R +∞ 1 f(x) dx †?ê P∞ n=1 f(n) ÓñÑ. y² d f(x) üN5Œ,  k 6 x 6 k + 1 žk f(k + 1) 6 f(x) 6 f(k), u´ f(k + 1) 6 Z k+1 k f(x)dx 6 f(k). òþãتé k = 1, 2, · · · , n ƒ\, Ò, é?Û n ∈ N k X n+1 k=2 f(k) 6 Z n+1 1 f(x)dx 6 X n k=1 f(k). e R +∞ 1 f(x)dx Âñ, Kdþª†ŒŒ Pn+1 k=2 f(k) k., Ï P∞ n=1 f(n)  ñ. e R +∞ 1 f(x)dx uÑ, KdþªmŒŒ Pn k=1 f(k) Ã.,  P∞ n=1 f(n) uÑ. y. 7/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法例1证明存在[0,+o）上的正值函数f(α)使得FOf(α) daJo收敛，但对任意正数p1,(f(α))P daJo发散证明 若 p 1, 则令 β= 2 -p. 总有 0 < β< 1.取数列 an E (0,), n = 1,2,··,使得88Zaeak= a< +8,+8.k=1k=1这样的数列是存在的，如1ann(ln(n + 4)21I返回全屏关闭退出8/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© ~ 1 y²3 [0, +∞) þŠ¼ê f(x) ¦ Z +∞ 0 f(x) dx Âñ, é?¿ê p 6= 1, Z +∞ 0 (f(x))p dx uÑ. y² e p 1, K- β = 2 − p. ok 0 < β < 1. ê an ∈ (0, 1 2 ), n = 1, 2, · · · , ¦ X ∞ k=1 ak = a < +∞, X ∞ k=1 a β k = +∞. ùê´3, X an = 1 n(ln(n + 4))2 . 8/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法构造函数 f(α)如下:当 E [n -1,n) 时a2n-1<c<n-anf(α) =1n-a,<a<n.an显然有nf(α) dc = an(1 - az) + an < 2an,因而 +αf(α)dc 收敛。又rn-a,onn1(f(α))P d =apdadc +na anJn-1n21ap(112-Papan12１32由此可知 f+α(f(α)Pdac 发散返回全屏关闭退出I49/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© E¼ê f(x) Xe:  x ∈ [n − 1, n) ž, f(x) =    an, n − 1 6 x 1 2 a p n + a 2−p n > 1 2 a β n . ddŒ R +∞ 0 (f(x))p dx uÑ. 9/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

无穷积分柯西准则第二积分中值定理Dirichlet判别法Abel判别法暇积分+fxsinccOsrda和例 2 设p>1, 则da绝对收敛cp&p1+8e-"dc收敛例3对任意非负实数aJ1证明月由于lim °e-= 0,2→+故当&充分大时有~e-=~e-e-<e-.tx由e-da的收敛性就可推知原积分的收敛性返回全屏关闭退出?10/36

áȩ…ÜOK 1È©¥Š½n Dirichlet O{ Abel O{ aÈ© ~ 2  p > 1, K Z +∞ 1 sin x xp dx Ú Z +∞ 1 cos x xp dx ýéÂñ. ~ 3 é?¿šK¢ê α, Z +∞ 1 x αe −xdx Âñ. y² du lim x→+∞ x αe −x 2 = 0,  x ¿©Œžk x αe −x = x αe −x 2e −x 2 < e−x 2 . d Z +∞ 1 e −x 2dx Âñ5ҌíÈ©Âñ5. 10/36 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ