《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（7/7）

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式微分形式的积分和恰当微分形式$11.7三维空间微分形式的积分11.7.11. 设有区域 D C R2,连续向量场 F =(P,Q,R)：D → R3.又设L D是一条有向光滑曲线,其参数方程为 π=T(t),α≤t≤ β,并且参数增加的方向为L的方向，则有F. dr=(F oT) . T(t)dt.Pd + Qdy + Rdz :TI记w=Pdc+Qdy+Rdz，它是定义在D上的一个一次微分形式.上式可以写成(F o) . r(t) dt.(11.1)返回全屏关闭退出1/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª §11.7 ‡©/ªÈ©ÚT‡©/ª 11.7.1 n‘m‡©/ªÈ© 1. k« D ⊂ R3 , ëY•þ| F~ = (P, Q, R) : D → R3 . q L ⊂ D ´^k•1w­‚, Ùëꐧ ~r = ~r(t), α 6 t 6 β, ¿…ëê O\• L •, Kk ✂ L P dx + Qdy + Rdz = ✂ L F~ · d~r = ✂ β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. P ω = P dx + Qdy + Rdz, §´½Â3 D þ‡g‡©/ª. þªŒ ±¤ ✂ L ω = ✂ β α (F~ ◦ ~r) · ~r0 (t) dt. (11.1) 1/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式2.设有区域VC R3,连续向量场F=(P,Q,R)：V→R3.又设S C V 是一片有向光滑曲面,其参数方程为 π=r(u,u), (u,u) E D,并且参数增加的方向为S的方向协调，则有Pdy ^ dz + Qdz ^ dc + Rda ^ dy :F.ndsSa(a,y)a(z, α)o(y, z)dudv.H(u,)a(u, v)a(u, v)记w=Pdy^dz+ Qdz^da + Rdc ^dy,它是定义在V上的一个二次微分形式。上面的积分可以写成a(c,y)o(z, α)o(y, z)0m,w=P dudv. (11.2)Ro(u, v)a(u, v))a(u,v)返回全屏关闭退出2/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª 2. k« V ⊂ R3 , ëY•þ| F~ = (P, Q, R) : V → R3 . q S ⊂ V ´¡k•1w­¡, Ùëꐧ ~r = ~r(u, v), (u, v) ∈ D, ¿…ë êO\• S •N, Kk ☎ S P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ☎ S F~ · ~ndS = ☎ D  P ∂(y, z) ∂(u, v) + Q ∂(z, x) ∂(u, v) + R ∂(x, y) ∂(u, v)  dudv. P ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, §´½Â3 V þ‡g‡©/ª. þ¡È©Œ±¤ ✂ S ω = ☎ D  P ◦ ~r ∂(y, z) ∂(u, v) + Q ◦ ~r ∂(z, x) ∂(u, v) + R ◦ ~r ∂(x, y) ∂(u, v)  dudv. (11.2) 2/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式3.设有区域VCR,连续函数P：V→R3.又设aCV是V中有向立体（体表面法向朝外），其参数方程为r= r(u,v,w), (u, ,w) E D,并且参数增加的方向与的方向协调，则有o(α, y, z)Pda ^ dy ^ dz =dudvdw.a(u, v, w)J2D记w = Pdc ^dy ^dz,它是定义在V上的一个三次微分形式，上面的积分可以写成o(α, y, z)(11.3)dudvdw.(u, v, w)2D返回全屏关闭退出I3/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª 3. k« V ⊂ R3 , ëY¼ê P : V → R3 . q Ω ⊂ V ´ V ¥k• áN (NL¡{•Š ), Ùëꐧ ~r = ~r(u, v, w), (u, v, w) ∈ D, ¿…ëêO\•† Ω •N, Kk ✝ Ω P dx ∧ dy ∧ dz = ✝ D P ◦ ~r ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) dudvdw. P ω = P dx ∧ dy ∧ dz, §´½Â3 V þ‡ng‡©/ª. þ¡È©Œ±¤ ✂ Ω ω = ✝ D P ◦ ~r ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) dudvdw. (11.3) 3/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式11.7.2n维空间微分形式的积分在 n 维空间 Rn 中, 记向量 a =(ac1, ac2,·,an),称(11.4)ai..,p(a)daiΛ...Λdaipi1,-,ip为一个p次微分形式,ail.…i(α)是n元函数,标号 i,·,ip中的每一个都独立地从1取到n.上式可以简记为a(a)da1,(11.5)T这里I =(i,···，ip)它的每个分量从1 取到 n.约定dai ^ da, = -da, ^ dai(11.6)dci ^dai = 0.返回全屏关闭退出I4/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª 11.7.2 n ‘m‡©/ªÈ© 3 n ‘m Rn ¥, P•þ x = (x1, x2, · · · , xn), ¡ X i1,··· ,ip ai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip (11.4) ‡ p g‡©/ª, ai1,··· ,ip (x) ´ n ¼ê, IÒ i1, · · · , ip ¥z‡Ñ Õá/l 1  n. þªŒ±{P X I aI(x)dxI, (11.5) ùp I = (i1, · · · , ip) §z‡©þl 1  n. ½    dxi ∧ dxj = −dxj ∧ dxi dxi ∧ dxi = 0. (11.6) 4/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式因此，（1）可以写成w=aii,(a)dainA..Λdaip(11.7)这里的求和是对一切适合条件1≤i<i<···<ip≤n的指标进行设Rn中的p维曲面S有参数表示i = i(ui, ...,up)d:人·Cn = n(ui,·, up)其中 u=(ui,·,up)E E C RP,E 称为 S 的参数域,并且ci = ci(ui,.,up) (i= l, .,n)有一阶连续偏导数.所以S就是从ECRP→Rn的CI向量值函数返回全屏关闭退出-5/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª Ïd, (1) Œ±¤ ω = Xai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip (11.7) ùp¦Ú´éƒ·Ü^‡ 1 6 i1 < i2 < · · · < ip 6 n I?1.  Rn ¥ p ‘­¡ S këêL« Φ :    x1 = x1(u1, · · · , up) · · · · · · xn = xn(u1, · · · , up) Ù¥ u = (u1, · · · , up) ∈ E ⊂ Rp , E ¡ S ëê, ¿… xi = xi(u1, · · · , up) (i = 1, · · · , n) këY ê. ¤± S Ò´l E ⊂ Rp → Rn  C1 •þŠ¼ê. 5/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式设w是（4）中p次微分形式= Eai..i;(a)dai A.. A daip.定义在S上的积分为o(ii,.·,Cip)8=(11.8)ai,..,ip((u)dui...dupO(u1,..., up)Ei,,ipS它是E上的一个p重积分当p分别取1，2和3时，我们就得到第二型曲线积分，第二型曲面积分的计算公式，和三重积分换元公式返回全屏关闭退出6/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª  ω ´ (4) ¥ p g‡©/ª: ω = Xai1,··· ,ip (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxip . ½Â ω 3 S þÈ© ✂ S ω = ✂ E X i1,··· ,ip ai1,··· ,ip (Φ(u)) ∂(xi1 , · · · , xip ) ∂(u1, · · · , up) du1 · · · dup (11.8) §´ E þ‡ p ­È©.  p ©O 1, 2 Ú 3 ž, ·‚Ò1.­‚È©, 1.­¡È© OŽúª, Ún­È©†úª. 6/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式11.7.3Stokes公式一般形式若有向曲线L是空间区域V中有向曲面S的边界，即.L=aS.w=Pda+Qdy+Rdz是V上光滑一次微分形式，则根据Stokes公式，有ORQQbPda+Qdy+RdzdyΛdz+二dy0z.SasapORQQapdz^da+da Λdy,ozorray这可以写成dw.as2返回全屏关闭退出7/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª 11.7.3 Stokes úª„/ª ek•­‚ L ´m« V ¥k•­¡ S >., =, L = ∂S, ω = P dx + Qdy + Rdz ´ V þ1wg‡©/ª, KŠâ Stokes úª, k ☞ ∂S P dx + Qdy + Rdz = ☎ S  ∂R ∂y − ∂Q ∂z  dy ∧ dz+  ∂P ∂z − ∂R ∂x  dz ∧ dx +  ∂Q ∂x − ∂P ∂y  dx ∧ dy, ùŒ±¤ ☞ ∂S ω = ☎ Ω dω. 7/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式若有向曲面s是空间区域V中有向立体α的边界，即，S=a2,w= Pdy ^dz+ Qdz^ da + Rdc ^dy是V上光滑二次微分形式，则根据Gauss公式，有Pdy^dz+Qdz^da+Rda^dy0aR)aPQQd ΛdyΛdz.aaazay2这可以写成dw802在n维空间中,我们有如下一般的 Stokes 公式(11.9)dw,02这里w是p次微分形式, 是 p+1 (p≤ n-1)维曲面II返回全屏关闭退出8/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª ek•­¡ S ´m« V ¥k•áN Ω >., =, S = ∂Ω, ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ´ V þ1wg‡©/ª, KŠâ Gauss úª, k ✍ ∂Ω P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ✝ Ω  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂Z dx ∧ dy ∧ dz. ùŒ±¤ ✍ ∂Ω ω = ✝ Ω dω. 3 n ‘m¥, ·‚kXe„ Stokes úª: ✂ ∂Ω ω = ✂ Ω dω, (11.9) ùp ω ´ p g‡©/ª, Ω ´ p + 1 (p 6 n − 1) ‘­¡. 8/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式11.7.4恰当微分形式p次(p≥1)微分形式w称为恰当微分形式（或全微分形式),若存在p一1次微分形式,使得w=d，即,恰当微分形式是另一个微分形式的外微分.根据Poincaré引理，微分形式做两次外微分运算所得为零，因此，w为恰当微分形式的必要条件是：dw三0在三维空间中，一次微分形式w=Pdac+Qdy+Rdz是否是恰当微分形式，等价于向量场F=（P,Q,R)是否有势函数；二次微分形式w=Pdy^dz+Qdz^da+Rda^dy是否是恰当微分形式，等价于向量场F=(P,Q,R)是否有向量势从上一节的讨论可知，微分形式是否是恰当微分形式的问题与向量场所在空间的结构有关，并不能仅从必要条件dw三0来判断返回全屏关闭退出-9/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª 11.7.4 T‡©/ª p g (p > 1) ‡©/ª ω ¡T‡©/ª (½‡©/ª), e3 p − 1 g‡©/ª θ, ¦ ω = dθ, =, T‡©/ª´,‡‡©/ª ‡©. Šâ Poincar´e Ún, ‡©/ª‰üg ‡©$Ž¤", Ïd, ω T ‡©/ª7‡^‡´: dω = 0. 3n‘m¥, g‡©/ª ω = P dx + Qdy + Rdz ´Ä´T ‡©/ª, du•þ| F = (P, Q, R) ´Äk³¼ê; g‡©/ª ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ´Ä´T‡©/ª, du•þ | F = (P, Q, R) ´Äk•þ³. lþ!?،, ‡©/ª´Ä´T‡©/ª¯K†•þ|¤ 3m(k', ¿ØU=l7‡^‡ dω = 0 5ä. 9/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三维情形n维情形Stokes公式恰当微分形式在cy平面上，若微分形式w=P(a,y)da +Q(a,y)dy是恰当的，则称微分方程(11.10)P(a,y)da + Q(c, y)dy = 0称为全微分方程此时存在势函数p(a,)，使得dp = P(, y)da + Q(c, y)dy因此上面的方程就是d=0.故，方程的解是p(c, y) = C,aP =0 时,方程的通积QQ其中C是任意常数.当P,Q在区域中光滑，且ary分就是r(,y)P(a, y)dc + Q(c, y)dy = C.(ro,yo)返回全屏退出关闭II10/14

n‘œ/ n ‘œ/ Stokes úª T‡©/ª 3 xy ²¡þ, e‡©/ª ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy ´T, K¡‡©§ P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (11.10) ¡‡©§. dž3³¼ê ϕ(x, y), ¦ dϕ = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Ïdþ¡§Ò´ dϕ = 0. , §)´ ϕ(x, y) = C, Ù¥ C ´?¿~ê.  P, Q 3«¥1w, … ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 0 ž, §ÏÈ ©Ò´ ✂ (x,y) (x0,y0) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = C. 10/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ