《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第13章 广义积分和含参变量积分（5/5）

加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式13.4.2T函数B函数及其性质定义1含参变量的积分tr-le-tdt,r(c) =所定义的一个关于 的函数,称为 T 函数(Gamma 函数)通过含参变量&,y的积分B(c,y) =tr-1(1 - t)y-1dt,所定义的一个关于α,y的二元函数,称为B函数(Beta函数)因为这两个函数是由Euler在求解偏微分方程时引入的，所以又被称为Euler函数或Euler积分，返回全屏关闭退出1/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª 13.4.2 Γ ¼ê B ¼ê9Ù5Ÿ ½Â 1 ¹ëCþ x È© Γ(x) = Z +∞ 0 t x−1e −tdt, ¤½Â‡'u x ¼ê, ¡ Γ ¼ê (Gamma ¼ê). ÏL¹ëCþ x, y È© B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt, ¤½Â‡'u x, y ¼ê, ¡ B ¼ê (Beta ¼ê). Ϗùü‡¼ê´d Euler 3¦) ‡©§žÚ\, ¤±q¡ Euler ¼ê½ Euler È©. 1/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Weierstrass公式定理1 T(α)的定义域是(0，+),而且是(0，+）上连续函数证明把积分分成两部分te-1-tdtr(α) = tt-dt+对任意的β>α>0,当α≤≤β,时有ta-le-t ≤tα-le-t,0α是任意的两个正数,所以I(α)在(0,+)有定义而且连续I-I返回全屏关闭退出2/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 1 Γ(x) ½Â´ (0, +∞), …´ (0, +∞) þëY¼ê. y² rÈ©©¤üÜ©, Γ(x) = Z 1 0 t x−1e −tdt + Z +∞ 1 t x−1e −tdt. é?¿ β > α > 0,  α 6 x 6 β, žk t x−1e −t 6 t α−1e −t , 0 α ´?¿ü‡ê, ¤± Γ(x) 3 (0, +∞) k½Â …ëY. 2/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式定理2T函数有任意阶导数证明设&E[α,β].我们需要观察被积函数对α求k次导数后的积分+ta-1e-t(lnt)^dt =tr-le-t(lnt)*dt +tr-le-t(lnt)*dt.00利用定理1中同样的方法，有[ta-1e-(ln t) 0慢.而当 t→+o时,ta-1(lnt)趋于无穷的速度,远比不上et.所以可以证明上述积分在[α,β]上是一致收敛的，故定理成立，且r(k)(c) =tr-le-t(lnt)*dt.返回全屏关闭退出I3/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 2 Γ ¼êk?¿ê. y²  x ∈ [α, β]. ·‚I‡* ȼêé x ¦ k gê￾È© Z +∞ 0 t x−1e −t (ln t) kdt = Z 1 0 t x−1e −t (ln t) kdt + Z +∞ 1 t x−1e −t (ln t) kdt. |^½n 1 ¥Ó{, k |t x−1e −t (ln t) k | 6 (−1)k (ln t) k t 1−α t ∈ (0, 1], t x−1e −t (ln t) k 6 t β−1e −t (ln t) k t ∈ [1, +∞). þ¡ü‡Øªm>Ñ´ŒÈ, Ϗ t → 0 + ž, (ln t) k ªuá„ Ý, '?Û t γ , γ > 0 ú.  t → +∞ ž, t x−1 (ln t) k ªuá„Ý, ' Øþ e t . ¤±Œ±y²þãÈ©3 [α, β] þ´Âñ, ½n¤á, … Γ (k) (x) = Z +∞ 0 t x−1e −t (ln t) kdt. 3/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式定理3(函数递推公式）(+1)=(),>0证明由分部积分法得+8t'e-tdt = -t'e-tdtr(αc + 1) =+Jo100= ar(α).重复应用上面的递推公式便得(α +1) = a(α - 1) .. (c - n+1)r(α - n + 1), n - 1 1 的 r 函数值的计算总可以归结为计算0<<1的r函数值特别当=n（n为自然数）时就有r(n + 1) = n(n - 1) .. 1 . r(1) = n!,这是因为 r(1) = J+e-tdt = 1.返回全屏关闭退出I4/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 3 (Γ ¼ê4íúª) Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0. y² d©ÜÈ©{ Γ(x + 1) = Z +∞ 0 t xe −tdt = −t xe −t     +∞ 0 + x Z +∞ 0 t x−1e −tdt = xΓ(x). ­EA^þ¡4íúªB Γ(x + 1) = x(x − 1)· · ·(x − n + 1)Γ(x − n + 1), n − 1 1  Γ ¼êŠOŽoŒ± 8(OŽ 0 < x < 1  Γ ¼êŠ. AO x = n (n g,ê) žÒk Γ(n + 1) = n(n − 1)· · · 1 · Γ(1) = n!, ù´Ï Γ(1) = R +∞ 0 e −tdt = 1. 4/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

B函数等价定义Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理Weierstrass公式B函数与T函数此外，I（）的值亦可定出.这只须在积分t-ze-tdt中作变量代换t=2即得到1e-""da = V元.C 2(2)Jo由此又可定出当为半整数n+的函数的值1131...=r·21nn+n-22222(2n - 1)!!V元.2n返回全屏关闭退出-5/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª d , Γ ￾ 1 2
Š½Œ½Ñ. ùL3È© Γ  1 2  = Z +∞ 0 t −1 2e −tdt ¥ŠCþ† t = x 2 = Γ  1 2  = 2 Z +∞ 0 e −x 2 dx = √ π. ddqŒ½Ñ x Œê n + 1 2  Γ ¼êŠ Γ  n + 1 2  =  n − 1 2  n − 3 2  · · · 1 2 Γ  1 2  = (2n − 1)!! 2 n √ π. 5/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

加倍公式对数凸性B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式对数导数登乘定理Weierstrass公式定理 4 B(α,y) 在 I = (0,+oo) × (0, +oo) 上连续, 且 B(α,y) = B(y,α).证明在B函数的定义式tr-1(1 -t)u-1dtB(a,y) =中，如果0时收敛返回全屏关闭退出-6/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 4 B(x, y) 3 I = (0, +∞) × (0, +∞) þëY, … B(x, y) = B(y, x). y² 3 B ¼ê½Âª B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt ¥, XJ x 0 žÂñ; 6/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式当t→1时tt-1(1 - t)g-1 ~ (1 - t)u-1所以第二个积分当y>o时收敛.就是说,B(c,y的定义域为>0,y>0对于区间I上任取一点（co,yo),取o>i>0,o>yi>0,则当α≥a1,y≥yi时，无论t是区间（0,1)上怎样的数值，都有tr-1(1 - t)u-1 ≤ t"i-1(1 - t)u1-1由于积分t1-1(1-t)u-1dt收敛，因而积分te-1(1-t)y-1dt在[c1,+oo）×[y1,+oo）上一致收敛，故B(a,y)在（co,yo)连续，由（aco,yo)的任意性可知，B（c，y）在其定义域上连续作变换t=1-u,即可得到B(c,y)=B(yc).返回全屏关闭退出7/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª  t → 1 ž, t x−1 (1 − t) y−1 ∼ (1 − t) y−1 , ¤±1‡È© y > 0 žÂñ. Ò´`, B(x, y) ½Â x > 0, y > 0. éu«m I þ?: (x0, y0),  x0 > x1 > 0, y0 > y1 > 0, K x > x1, y > y1 ž, ÃØ t ´«m (0, 1) þNêŠ, Ñk t x−1 (1 − t) y−1 6 t x1−1 (1 − t) y1−1 , duÈ© R 1 0 t x1−1 (1 − t) y1−1dt Âñ, Ï È© R 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt 3 [x1, +∞) × [y1, +∞) þÂñ,  B(x, y) 3 (x0, y0) ëY, d (x0, y0)  ?¿5Œ, B(x, y) 3ٽþëY. ŠC† t = 1 − u, =Œ B(x, y) = B(y, x). 7/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式定理5(B函数无穷积分表示）对任意的α>0,y>0,有z9-1+αB(, y) =-dz(1 + z)r+y证明由定义知tar-1(1 - t)y-1dt,B(c,y) =1.2令t=,即有1-t=,dt={142)，代入后就有29-1+8B(α,y) =-dz ( > 0, y>0)(1 + z)r+y返回全屏关闭退出I8/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 5 (B ¼êáȩL«) é?¿ x > 0, y > 0, k B(x, y) = Z +∞ 0 z y−1 (1 + z) x+y dz. y² d½Â B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt, - t = 1 1+z , =k 1 − t = z 1+z , dt = − dz (1+z) 2 , \￾Òk B(x, y) = Z +∞ 0 z y−1 (1 + z) x+y dz (x > 0, y > 0). 8/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与工函数B函数等价定义Weierstrass公式定理 6(B 函数递推公式）对任意的 > 0,y>1, 有y-1B(α,y) =B(c, y - 1).c+y-l证明从B函数的定义出发，由分部积分可得tr(1 -t)y-1jtyt(1 - t)y-2 dtB(, 2c&r0yy-1-t-1(1 - t)g-2 dt -tc-1(1 - t)y-1 dtcaJoy-B(c,y- 1) _ -B(α, y).ca因此,y-1B(a,y) = -B(α, y - 1).+y-1(m-1)!(n-1)!r(m)r(n)特别, 由于 B(1,1) = 1, 对于 m,n E N+ 有 B(m,n) =r(m+n)(m+n-1)!I返回全屏关闭退出-l9/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 6 (B ¼ê4íúª) é?¿ x > 0, y > 1, k B(x, y) = y − 1 x + y − 1 B(x, y − 1). y² l B ¼ê½ÂÑu, d©ÜÈ©Œ B(x, y) = Z 1 0 (1 − t) y−1d t x x = t x (1 − t) y−1 x     1 0 + y − 1 x Z 1 0 t x (1 − t) y−2 dt = y − 1 x Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−2 dt − y − 1 x Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1 dt = y − 1 x B(x, y − 1) − y − 1 x B(x, y). Ïd, B(x, y) = y − 1 x + y − 1 B(x, y − 1). AO, du B(1, 1) = 1, éu m, n ∈ N+ k B(m, n) = (m−1)!(n−1)! (m+n−1)! = Γ(m)Γ(n) Γ(m+n) . 9/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

B函数等价定义Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数Weierstrass公式定理7(B函数与T函数的关系,Dirichlet公式）对任意的>0,y>0,有r(α)r(y)B(a,y) = T(r +y)证明根据B函数和T函数的递推公式，只需对>1,y>1的情况证明结论成立.由T函数的定义x-Xvy-le-"dv,ur--uduI(c)r(y) =Jo10在上式中命三ut.再交换积分次序，就得到++8+u'ty-le-utdtur-lle-"dur(r)r(y) =Jo0+8+ur+y-le-(1+t)udu.ty-1dt(1)01上面交换积分次序是合理的，这只需注意到在α>1,y>1的假设下，有返回退出全屏关闭=10/38

B ¼ê† Γ ¼ê B ¼êd½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 7 (B ¼ê† Γ ¼ê'X, Dirichlet úª) é?¿ x > 0, y > 0, k B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) . y² Šâ B ¼êÚ Γ ¼ê4íúª, Ié x > 1, y > 1 œ¹ y²(ؤá. d Γ ¼ê½Â Γ(x)Γ(y) = Z +∞ 0 u x−1e −udu Z +∞ 0 v y−1e −vdv, 3þª¥· v = ut, 2†È©gS, Ò Γ(x)Γ(y) = Z +∞ 0 u x−1e −udu Z +∞ 0 u y t y−1e −utdt = Z +∞ 0 t y−1dt Z +∞ 0 u x+y−1e −(1+t)udu. (1) þ¡†È©gS´Ün, ùI5¿3 x > 1, y > 1 be, k 10/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ