《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第10章 多变量函数的重积分（4/4）

定义累次积分换元公式n维单形n维球体810.4n重积分设I=[ai,bil （i=1,2,···,n)是n个一维闭区间,称F= Ii × I2 X... X In C Rn为n维区间或n维方体，其体积定义为2o(F) = II(b; - ai).i=1设f(a1,ac2，n）是定义在F上的n元函数.T是平行于Rn中坐标平面的超平面组成的分割，它将F分割成有限多个小n维方体Fi,F2，··，Fm，在每个小方体F，中取一点Pi，作Riemann和mS(f, T) = f(P)o(F).j=1若当分割T的宽度 Tll= max[diam(F)}趋于零时，上面的和式有极限<i<m返回全屏关闭退出II1/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N §10.4 n ­È©  Ii = [ai, bi ] (i = 1, 2, · · · , n) ´ n ‡‘4«m, ¡ F = I1 × I2 × · · · × In ⊂ R n  n ‘«m½ n ‘N, ÙNȽ σ(F) = Y n i=1 (bi − ai).  f(x1, x2, · · · , xn) ´½Â3 F þ n ¼ê. T ´²1u Rn ¥‹I²¡ ‡²¡|¤©, §ò F ©¤kõ‡ n ‘N F1, F2, · · · , Fm, 3z‡N Fj ¥: Pj, Š Riemann Ú S(f, T ) = X m j=1 f(Pj)σ(Fj). e© T °Ý kT k = max 16j6m {diam(Fj)} ªu"ž, þ¡Úªk4 1/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形n维球体A.则称f在F上可积A称为f的积分记为f(ai,...,an)dai...dan,简记为fdo.设 f 是定义在一般有界区域 D C Rn上的函数.fp 是 f 在 Rn上的零延拓,若 fp 在 n 维方体 F D 上可积,则称 f 在 D 上可积.积分记为f(ai,..., an) dai...dan,简记为fda.也可以定义n维零测集和n维有体积的集返回全屏关闭退出I42/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N A, K¡ f 3 F þŒÈ, A ¡ f È©, P Z · · · Z F f(x1, · · · , xn) dx1 · · · dxn, {P Z F fdσ.  f ´½Â3„k.« D ⊂ Rn þ¼ê. fD ´ f 3 Rn þ" òÿ, e fD 3 n ‘N F ⊃ D þŒÈ, K¡ f 3 D þŒÈ. È©P Z · · · Z D f(x1, · · · , xn) dx1 · · · dxn, {P Z D fdσ. Œ±½Â n ‘"ÿ8Ú n ‘kNÈ8. 2/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形n维球体定义1设VC Rn是一个集合.如果对任意给定的ε>0,存在有限个或一列n维区间Ik.kEN使得XVcU Is, o(I) <e,kENk=1这里α(I）表示Ik的体积),那么称V为（n维）零测度集，简称零测集.若上面的I只需要有限个，则V称为零体积集定理1（1）至多可数集是零测集，至多可数个零测集的并集还是零测集(2）有限个零体积集的并集还是零体积集③）B是零体积集等价于B是零体积集(4)设BCR"是有界闭集.则B是零测集等价于B是零体积集(5)Rn中n-1维光滑体是零体积集定理2（Lebesgue定理）设f(ai，·.·，an）是n维闭区间I上的有界函数那么f在I上可积的充分必要条件是：f的间断点全体是一个零测集返回全屏关闭退出II3/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N ½Â 1  V ⊂ Rn ´‡8Ü. XJé?¿‰½ ε > 0, 3k‡ ½ n ‘«m {Ik, k ∈ N} ¦ V ⊂ [ k∈N Ik, X ∞ k=1 σ(Ik) 6 ε, (ùp σ(Ik) L« Ik NÈ), @o¡ V  (n ‘) "ÿÝ8, {¡"ÿ8. e þ¡ Ik I‡k‡, K V ¡"NÈ8. ½n 1 (1) õŒê8´"ÿ8, õŒê‡"ÿ8¿8„´"ÿ8; (2) k‡"NÈ8¿8„´"NÈ8; (3) B ´"NÈ8du B ´"NÈ8; (4)  B ⊂ Rn ´k.48. K B ´"ÿ8du B ´"NÈ8; (5) Rn ¥ n − 1 ‘1wN´"NÈ8. ½n 2 (Lebesgue ½n)  f(x1, · · · , xn) ´ n ‘4«m I þk.¼ê, @o f 3 I þŒÈ¿©7‡^‡´: f mä:N´‡"ÿ8. 3/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义n维球体累次积分换元公式n维单形所谓n重积分，除了更加繁琐一点之外本质上与二重、三重积分没有区别.n维方体F上的有界函数f可积的充分必要条件是f的间断点全体是一个n维零测集因此连续函数在方体上总是可积的.在进行累次积分时只要认真分析清楚区域的特点，一步一步地降低积分重数，逐次进行积分，例如对于 n 维方体 F = Ii × I2×··× In 上连续函数 f(α1,，an), 它的积分可以化为累次积分f(ai,... ,an)dai... danF-b1b2bdcidc2f(Ci,... , n)dcnala2an等式右边的积分的顺序可以是任意的返回全屏关闭退出4/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N ¤¢ n ­È©, Ø \„¡:ƒ , Ÿþ†­!n­È©vk «O. n ‘N F þk.¼ê f ŒÈ¿©7‡^‡´ f mä:N ´‡ n ‘"ÿ8. ÏdëY¼ê3Nþo´ŒÈ. 3?1\gÈ©ž, ‡@ý©ÛÙ«A:, ÚÚ/ü$È©­ê, Åg?1È©. ~ Xéu n ‘N F = I1 × I2 × · · · × In þëY¼ê f(x1, · · · , xn), §È ©Œ±z\gÈ© Z · · · Z F f(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn = Z b1 a1 dx1 Z b2 a2 dx2 · · · Z bn an f(x1, · · · , xn)dxn. ªm>È©^SŒ±´?¿. 4/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形维球体定理3（累次积分）设VCRn是有体积的有界闭集，f是V上连续函数.对于V中的点 =(ai,·,an)(1) 如果当 (a1,·., an-1) E D C Rn-1 时, 有Pi(a1,..,an-1)≤Cn≤P2(Ci,..,an-1),其中1，42是D上的连续函数，那么有42(a1,",En-1)fda =dai... dan-1f(ai,*,n-1,an)danJpi(ri,"",En-1)D(2)如果当 an E[a,b] 时,有(a1,,an-1) E Dan C Rn-1,那么有[. fdo = /' dan /f(ai,..., &n-1, an)dai... dan-1..DE返回全屏关闭退出-5/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N ½n 3 (\gÈ©)  V ⊂ Rn ´kNÈk.48, f ´ V þëY¼ ê. éu V ¥: x = (x1, · · · , xn) (1) XJ (x1, · · · , xn−1) ∈ D ⊂ Rn−1 ž, k ϕ1(x1, · · · , xn−1) 6 xn 6 ϕ2(x1, · · · , xn−1), Ù¥ ϕ1, ϕ2 ´ D þëY¼ê, @ok Z V fdσ = Z · · · Z D dx1 · · · dxn−1 Z ϕ2(x1,··· ,xn−1) ϕ1(x1,··· ,xn−1) f(x1, · · · , xn−1, xn)dxn. (2) XJ xn ∈ [a, b] ž, k (x1, · · · , xn−1) ∈ Dxn ⊂ Rn−1 , @ok Z V fdσ = Z b a dxn Z · · · Z Dxn f(x1, · · · , xn−1, xn)dx1 · · · dxn−1. 5/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形n维球体定理4（n重积分换元公式）设是Rn中的开集，集合AC2有体积映射P: i=ai(ui, u2,..., un), (i=1, 2, ...,n)在 △ 上是正则的, 即 在 △ 是 CI 的, 且 ( 0, 那么对于定义在o(ui,..unn=(A)上的连续函数f,有f(ai,...,an)dai...danP(4)o(r1,"",an)f op(ui,...,un)dui...dun.o(ui,",un)返回全屏关闭退出6/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N ½n 4 (n ­È©†úª)  Ω ´ Rn ¥m8, 8Ü ∆ ⊂ Ω kNÈ, N ϕ : xi = xi(u1, u2, · · · , un), (i = 1, 2, · · · , n) 3 ∆ þ´K, = ϕ 3 ∆ ´ C1 , … ∂(x1,··· ,xn) ∂(u1,··· ,un) 6= 0, @oéu½Â3 Ω = ϕ(∆) þëY¼ê f, k Z · · · Z ϕ(∆) f(x1, · · · , xn)dx1 · · · dxn = Z · · · Z ∆ f ◦ ϕ(u1, · · · , un)    ∂(x1,··· ,xn) ∂(u1,··· ,un)    du1 · · · dun. 6/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形n维球体(1）n维单形的体积所谓n维单形是空间IRn中这样的点集Sn(a)={(ci,...,an):i,...,an≥0; ai+...+an≤a)当n=1时，就是闭区间[0.al；当n=2时，就是0ay平面上以（0,0，（a,0)，(0,a）为顶点的三角形在三维空间中，单形就是位于第一象限并以（0,0,0)，(a,0,0)，(0,a,0)，(0,0,a)为顶点的四面体要计算它的体积α(Sn(a)),可以计算函数f三1在上面的积分doo(Sn(a)) =JSn(a)作径向伸缩变换Ci=ati,i=l,.,n则有O(α1,...,an)an,-o(ti,...,tn)返回全屏关闭退出7/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N (1) n ‘ü/NÈ ¤¢ n ‘ü/´m Rn ¥ù:8 Sn(a) = {(x1, · · · , xn) : x1, · · · , xn > 0; x1 + · · · + xn 6 a}  n = 1 ž, Ò´4«m [0, a]¶ n = 2 ž, Ò´ Oxy ²¡þ± (0, 0), (a, 0), (0, a) º:n/. 3n‘m¥, ü/Ò´ u1¿± (0, 0, 0), (a, 0, 0), (0, a, 0), (0, 0, a) º:o¡N. ‡OŽ§NÈ σ(Sn(a)), Œ± OŽ¼ê f ≡ 1 3þ¡È© σ(Sn(a)) = Z Sn(a) dσ Š»• C† xi = ati, i = 1, · · · , n, Kk ∂(x1, · · · , xn) ∂(t1, · · · , tn) = a n , 7/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形n维球体即把边长为α的单形缩成边长为1的单形，这里(ti, ... ,tn) E Sn(1)且doα(Sn(a)) =J sn(a)=andaJ Sn(1)= a"α(Sn(1))注意到,对于固定的 t E[0,1], Sn(1)与 tn = t 的截口是集合[(ti,...,tn-1)[ti ≥0, ...,tn-1 ≥0, ti +...+ tn-1<1-t)这是一个边长为 1 一 t 的 n 一 1维单形 Sn-1(1 -t)返回全屏关闭退出18/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N =r> a ü/ ¤> 1 ü/, ùp (t1, · · · , tn) ∈ Sn(1), … σ(Sn(a)) = Z Sn(a) dσ = a n Z Sn(1) dσ = a nσ(Sn(1)). 5¿, éu½ t ∈ [0, 1], Sn(1) † tn = t ´8Ü  (t1, . . . , tn−1)   t1 > 0, · · · , tn−1 > 0, t1 + · · · + tn−1 6 1 − t . ù´‡> 1 − t  n − 1 ‘ü/ Sn−1(1 − t). 8/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形n维球体因此作累次积分得dt(Sn(1))dtidt2...dtn-10Sn-i(1-t)α(Sn-1(1 - t))dt(1 - t)n-lo(Sn-1(1)dt(1 - t)n-ldt= α(Sn-1(1))1=α(Sn-1(1)n这样就得到一个递推公式.因为 α(Si(1))=1,所以an1α(Sn(1)) =α(Sn(a)) =n!'n!返回全屏关闭退出I49/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N ÏdŠ\gÈ© σ(Sn(1)) = Z 1 0 dt Z · · · Z Sn−1(1−t) dt1dt2 · · · dtn−1 = Z 1 0 σ(Sn−1(1 − t))dt = Z 1 0 (1 − t) n−1σ(Sn−1(1))dt = σ(Sn−1(1)) Z 1 0 (1 − t) n−1dt = 1 n σ(Sn−1(1)) ùÒ‡4íúª. Ϗ σ(S1(1)) = 1, ¤± σ(Sn(1)) = 1 n! , σ(Sn(a)) = a n n! . 9/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义累次积分换元公式n维单形n维球体(2）n维球的体积设Bn(a) =[(Ci,...,an) : α?+...α, < a"],称之为以原点为球心、以a为半径的n维球体对于 n =1,2,3,Bn(a)分别对应直线上的闭区间、平面上的圆盘和三维空间的球体，半径为1的球体称为单位球体类似单形体积的计算，有da = an(Bn(a)) =dg = a"α(Bn(1)JBn(a)JBn(1)注意到，对于固定的tn-1 = u, tn = v, u2 +2<1,它与球体 Bn(1)的截口是由满足 t +··+t-2≤ 1一u2一2 的点构成, 所以截口是一个n－2维球体Bn-2(V1-u2-2)返回全屏退出关闭=10/12

½Â \gÈ© †úª n ‘ü/ n ‘¥N (2) n ‘¥NÈ  Bn(a) = {(x1, · · · , xn) : x 2 1 + · · · x 2 n 6 a 2}, ¡ƒ±:¥%!± a Œ» n ‘¥N. éu n = 1, 2, 3, Bn(a) ©OéA†‚þ4«m!²¡þÚn ‘m¥N. Œ» 1 ¥N¡ü ¥N. aqü/NÈOŽ, k σ(Bn(a)) = Z Bn(a) dσ = a n Z Bn(1) dσ = a nσ(Bn(1)) 5¿, éu½ tn−1 = u, tn = v, u2 + v 2 6 1, §†¥N Bn(1) ´d÷v t 2 1 + · · · + t 2 n−2 6 1 − u 2 − v 2 :¤, ¤ ±´‡ n − 2 ‘¥N Bn−2( √ 1 − u2 − v 2). 10/12 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ