《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（5/8）

隐表示存在性隐映射逆映射二元隐函数$9.5隐函数和反函数的微商函数的隐表示9.5.1形如y=f(α）的变量 y与变量α的关系是通过函数f来建立,就称为显函数，在很多情形各变量之间的关系是通过一个或多个方程来建立的定义 1 设 F(c,y) 在区域 D C R2 上有定义,方程 F(c,y)= 确定了平面上一条曲线.如果在曲线上某一点（co,yo）E D（即 F(co,yo)= ）的邻域 I × J C D内,对于任一 E I 都有唯一的 y E J, 使 F(α,y)=o, 则由此对应关系确定的 I上的函数 y = f(α)称为在（αo,yo）的邻域中由方程F(c,y)=0所确定的隐函数如果一个α有多个y使得F(c,y)=0,则这个方程确定了多个隐函数有时能通过方程解出它表示的隐函数，但在很多情形是无法解出隐函数的我们要讨论方程所确定的隐函数的可微性，以及求隐函数的微分的方法返回全屏关闭退出II1/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N §9.5 Û¼êڇ¼ê‡û 9.5.1 ¼êÛL« /X y = f(x) Cþ y †Cþ x 'X´ÏL¼ê f 5ïá, Ò¡ w¼ê. 3éõœ/ˆCþƒm'X´ÏL‡½õ‡§5ïá. ½Â 1  F(x, y) 3« D ⊂ R2 þk½Â, § F(x, y) = 0 (½ ²¡þ^­‚. XJ3­‚þ,: (x0, y0) ∈ D £= F(x0, y0) = 0¤  I × J ⊂ DS, éu? x ∈ I Ñk y ∈ J, ¦ F(x, y) = 0, K ddéA'X(½ I þ¼ê y = f(x) ¡3 (x0, y0) ¥d§ F(x, y) = 0 ¤(½Û¼ê. XJ‡ x kõ‡ y ¦ F(x, y) = 0, Kù‡§(½ õ‡Û¼ê. kžUÏL§)ѧL«Û¼ê, 3éõœ/´Ã{)ÑÛ¼ê. ·‚‡?ؐ§¤(½Û¼êŒ‡5, ±9¦Û¼ê‡©{. 1/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

存在性二元隐函数隐映射逆映射隐表示Vy(r0,30)XX0 - y?+ siny= 0ay++y-1=0y(o,yo)X0-X022? + y? = 12a°+sin a+re-y - y = 0返回全屏关闭退出I2/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N O x y O x y O x y O x y xy + x + y − 1 = 0 x 2 2x2+sin x+1e −y − y = 0 x − y 2 + sin y = 0 x 2 + y 2 = 1 (x0, y0) (x0, y0) 2/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

存在性隐映射逆映射隐表示二元隐函数隐函数的存在性和微商9.5.2分析假如方程F(α,y) = 0确定了Oay平面上一条曲线，而且能够在曲线上一点（co,yo)的邻域内解出方程所确定的隐函数y = f(α),因而在(αo,yo)附近有F(α, f(α)) 三 0.对此恒等式两边利用复合函数的链式法则求导，得F + F'f(αc) = 0,因为dyf'(α)dcI返回全屏关闭退出-3/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N 9.5.2 Û¼ê35ڇû ©Û bX§ F(x, y) = 0 (½ Oxy ²¡þ^­‚, …U 3­‚þ: (x0, y0) S)Ñ §¤(½Û¼ê y = f(x), Ï 3 (x0, y0) NCk F(x, f(x)) ≡ 0. édðªü>|^Eܼêóª{K¦,  F 0 x + F 0 y f 0 (x) = 0, Ϗ f 0 (x) = dy dx , 3/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

隐表示存在性隐映射逆映射二元隐函数所以，隐函数的导数应该是如下形式dyF'(α,y)(F(c, y) = 0).dFy(c,y)"由此分析可看出第一，一般情况下，方程F(c,y) = 0在（aCo,yo）附近所确定的隐函数y = f(αc)存在的充分条件应该是函数 F(ac,)的偏导数 F,(α,y)在(aco,yo)处不等于零.对称地,若确定的隐函数是 a = f(y),则充分条件应该是 F(α,y) 的偏导数F'(c,y)在(aCo,yo)处不等于零第二，如果隐函数 y = f(α)存在，它的微商，应该就是上面推导出来的形式.返回全屏关闭退出4/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N ¤±, Û¼êêAT´Xe/ª dy dx = − F 0 x (x, y) F0 y (x, y) , (F(x, y) = 0). dd©ÛŒwÑ: 1, „œ¹e, § F(x, y) = 0 3 (x0, y0) NC¤(½Û¼ê y = f(x) 3¿©^‡AT´¼ê F(x, y)  ê F 0 y (x, y) 3 (x0, y0) ?Øu ". é¡/, e(½Û¼ê´ x = f(y), K¿©^‡AT´ F(x, y)   ê F 0 x (x, y) 3 (x0, y0) ?Øu". 1, XJÛ¼ê y = f(x) 3, §‡û, ATÒ´þ¡íÑ5 /ª. 4/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

逆映射隐表示存在性二元隐函数隐映射定理1（隐函数存在定理）设区域 D C R2，Mo(co,yo)E D.如果 F(ac,y)在D中有定义并满足：1°F(αc,y)ECl(D),即在区域上有连续的偏导函数；2°F(aco,yo）=0,即点Mo在方程确定的曲线上；3° F;(co, yo) ± 0.则存在M。的邻域I×JCD,使得：1)对 I 中任意 a, 有 J 中唯一 y使 F(α,y)= ; 即在过 M。的一小段曲线可以确定一个隐函数y=f(α），且yo=f(aco）：2)由1)所确定的隐函数=f(α）有连续的微商，而且它的微商是dy-_Fl(a,y)(F(α, y) = 0).da-Fy(a,y)"如果条件3°改为F(aco,yo)≠0,则隐函数是a=f(y)关闭退出返回全屏5/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N ½n 1 (Û¼ê3½n) « D ⊂ R2 , M0(x0, y0) ∈ D. XJ F(x, y) 3 D ¥k½Â¿÷vµ 1 ◦ F(x, y) ∈ C1 (D), =3«þkëY ¼ê¶ 2 ◦ F(x0, y0) = 0, =: M0 3§(½­‚þ¶ 3 ◦ F 0 y (x0, y0) 6= 0. K3 M0  I × J ⊂ D, ¦µ 1) é I ¥?¿ x, k J ¥ y ¦ F(x, y) = 0¶=3L M0 ã­ ‚Œ±(½‡Û¼ê y = f(x) , … y0 = f(x0) . 2) d 1) ¤(½Û¼ê y = f(x) këY‡û, …§‡û´ dy dx = − F 0 x (x, y) F0 y (x, y) , (F(x, y) = 0). XJ^‡ 3 ◦ U F 0 x (x0, y0) 6= 0, KÛ¼ê´ x = f(y). 5/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

隐表示存在性二元隐函数隐映射逆映射证明关键是要证明隐函数的存在性，证明过程中，将反复利用所涉及函数的连续性.不妨设F(co,yo）>0.则由F(ac,y）的连续性，可知存在一个以（αo,yo）为中心的矩形I'×J使得F)(a,y) >0, (a,y) E I'× J所以F(c,y在I'×J上关于y严格单调增.记J=[c,dl,则F(co,c)0在上面的过程中总可以选J使得J|<.而且可以取区间I适当小使得当EI时，fα)EJ.因而If(c)一f(co)<J<e.这说明f(a)在co连续返回全屏关闭退出6/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N y² '…´‡y²Û¼ê35. y²L§¥, ò‡E|^¤9 ¼êëY5. Ø F 0 y (x0, y0) > 0. Kd F 0 y (x, y) ëY5, Œ3 ‡± (x0, y0) ¥%Ý/ I 0 × J, ¦ F 0 y (x, y) > 0, (x, y) ∈ I 0 × J ¤± F(x, y) 3 I 0 × J þ'u y î‚üNO. P J = [c, d], K F(x0, c) 0 3þ¡L§¥oŒ±À J ¦ |J| < ε. …Œ±«m I ·, ¦ x ∈ I ž, f(x) ∈ J. Ï |f(x) − f(x0)| < |J| < ε. ù`² f(x) 3 x0 ëY. 6/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

隐表示存在性二元隐函数隐映射逆映射f(α)在I连续:对iEI,设yi=f(ai),则(ai,yi)EI×J.因为F(ai,yi)=0,%(ai,yi)>0,所以F在点(ai,yi)满足与(ao,yo)同样的条件.因此由前面的证明可知，存在包含（aci,yi）的开矩形Ii×JiCI×J.当cEIi时，方程F(αy）=0在Ji有唯一解gα)，且g在i连续由解的唯一性知：当aEI时，fc）=g(a).这说明f在ai也连续f(α）在I可导：设aEI.取h充分小,使得a+hEI.令y=f(α)，k=f(c+h）-f(a).由F的可微性，有0 = F(c + h,y+k) - F(c,y) =(a,y)h+(c,y)k + r,(9.1)kTh其中满足=0.令α=，β=Vh2+k2Vh2+k2h4则 limα=0,lim β=0,αh +βk = r.将此代入(9.1),可得h-0h40%(a, y) +akf(a+h)-f(α)%(a, ) +βhhar(a,y).令h→0, 即得 f(a)=-%(a,)an返回全屏关闭退出7/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N f(x) 3 I ëY: é x1 ∈ I,  y1 = f(x1), K (x1, y1) ∈ I × J. Ϗ F(x1, y1) = 0, ∂F ∂y (x1, y1) > 0, ¤± F 3: (x1, y1) ÷v† (x0, y0) Ó^ ‡. Ïddc¡y²Œ, 3¹ (x1, y1) mÝ/ I1 × J1 ⊂ I × J.  x ∈ I1 ž, § F(x, y) = 0 3 J1 k) g(x), … g 3 x1 ëY. d) 5:  x ∈ I1 ž, f(x) = g(x). ù`² f 3 x1 ëY. f(x) 3 I Œ:  x ∈ I.  h ¿©, ¦ x + h ∈ I. - y = f(x), k = f(x + h) − f(x). d F Œ‡5, k 0 = F(x + h, y + k) − F(x, y) = ∂F ∂x (x, y)h + ∂F ∂y (x, y)k + r, (9.1) Ù¥ r ÷v lim h→0 √ r h2+k2 = 0. - α = √ h h2+k2 · √ r h2+k2 , β = √ k h2+k2 · √ r h2+k2 , K lim h→0 α = 0, lim h→0 β = 0, αh + βk = r. òd\ (9.1), Œ f(x + h) − f(x) h = k h = − ∂F ∂x (x, y) + α ∂F ∂y (x, y) + β . - h → 0, = f 0 (x) = −∂F ∂x (x, y) . ∂F ∂y (x, y). 7/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

隐表示存在性隐映射逆映射二元隐函数例1考虑方程（对应的曲线称为Descartes（笛卡尔)叶形线.F(c, y) = α3 + y3- 3acy = 0显然，要想直接求解方程，给出显式的函数表达式是相当困难的对函数F(a,y)=a3+y3-3ay的两个变量分别求导得Fi(c, y) = 3c2 - 3ay, F;(c, y) = 3y2 - 3ac注意到原点 (0,0) 虽然满足方程 F(0,0) =0, 但是 F(0,0) = 0, F,(0,0) = 0所以定理在(0,0)失效y从图形上看，曲线在（0,0）点自相交，在这一点的附近,任何给定的 (或 y),都无法做到单值的对应一个y（或).当然不存在显式的函数表达式（想想看，如果一个一般曲-X0线F(c,y)=0有自相交，则在自相交的点处F(α,y)的两个偏导数会如何？)返回全屏关闭退出8/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N ~ 1 Ч (éA­‚¡ Descartes ((k) /‚.) F(x, y) = x 3 + y 3 − 3axy = 0. w, ‡Ž†¦)§, ‰Ñwª¼êLˆª´ƒ(J. é¼ê F(x, y) = x 3 + y 3 − 3axy ü‡Cþ©O¦ F 0 x (x, y) = 3x 2 − 3ay, F0 y (x, y) = 3y 2 − 3ax 5¿: (0, 0) ,÷v§ F(0, 0) = 0, ´ F 0 x (0, 0) = 0, F0 y (0, 0) = 0. ¤±½n3 (0, 0) . lã/þw, ­‚3 (0, 0) :gƒ, 3 ù:NC, ?ۉ½ x (½ y), ÑÃ{ ‰üŠéA‡ y (½ x). ,Ø3 wª¼êLˆª (ŽŽw, XJ‡„­ ‚ F(x, y) = 0 kgƒ, K3gƒ:?, F(x, y) ü‡ ê¬XÛ?) x y O 8/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

隐表示存在性二元隐函数隐映射逆映射例 2 设方程 sin(α ＋y)＋ 2α ＋y = 确定了 y是 的函数.求y'(c), y"(c).解 设 F(α, y) = sin(α +y) + 2c + y. 则 F;(a,y) = cos(α + y) + 1. 当cos(α +y) +1 ≠ o 时, 有隐函数 y = y(α). 将 y = y(a) 代入方程, 得到sin(α + y(a)) + 2α + y(a) = 0.两边对求导，得cos(α + y(α)) (1 + y'(c) + 2 + y'(α) = 0于是1y(c)1 + cos(α + y)- sin(α + y) - (1 + y'(α)))(1 + cos(aα + y))2sin(c + y)(1 + cos(α + y))3I-I返回全屏关闭退出9/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N ~ 2 § sin(x + y) + 2x + y = 0 (½ y ´ x ¼ê. ¦ y 0 (x), y00(x). )  F(x, y) = sin(x + y) + 2x + y. K F 0 y (x, y) = cos(x + y) + 1.  cos(x + y) + 1 6= 0 ž, kÛ¼ê y = y(x). ò y = y(x) \§,  sin(x + y(x)) + 2x + y(x) = 0. ü>é x ¦,  cos(x + y(x)) · (1 + y 0 (x)) + 2 + y 0 (x) = 0. u´ y 0 (x) = −1 − 1 1 + cos(x + y) . y 00(x) = − sin(x + y) · (1 + y 0 (x)) (1 + cos(x + y))2 = sin(x + y) (1 + cos(x + y))3 9/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

隐表示存在性二元隐函数隐映射逆映射对于三维空间的一个方程F(c, y,z) = 0一般来说，它确定了三维空间的一个曲面.如果在曲面上一点（αco,yo,zo）附近，有隐函数z=f(c,y),则F(α,y, f(α,y) = 0.同样，对这个恒等式两边分别对和y求导，则有F+F'f=0;F+Ff=0.从中可以解得，隐函数z=f（α,y）的两个偏导数如下F)(a, y, z)F'(a, y,z)08zOrdyF'(α,y,z)F'(c, y, z)因此，这种情况下隐函数z=f(α,y）存在的条件是：F(α,y,z）有连续的偏导数, F(aco, yo, z0) = 0, 且F'(co, yo, zo) # 0.返回全屏退出关闭II10/22

ÛL« 35 Û¼ê ÛN _N éun‘m‡§ F(x, y, z) = 0 „5`, §(½ n‘m‡­¡. XJ3­¡þ: (x0, y0, z0) N C, kÛ¼ê z = f(x, y), K F(x, y, f(x, y)) ≡ 0. Ó, éù‡ðªü>©Oé x Ú y ¦, Kk F 0 x + F 0 z f 0 x = 0; F 0 y + F 0 z f 0 y = 0. l¥Œ±), Û¼ê z = f(x, y) ü‡ êXe ∂z ∂x = − F 0 x (x, y, z) F0 z (x, y, z) , ∂z ∂y = − F 0 y (x, y, z) F0 z (x, y, z) . Ïd, ù«œ¹eÛ¼ê z = f(x, y) 3^‡´: F(x, y, z) këY  ê, F(x0, y0, z0) = 0, … F 0 z (x0, y0, z0) 6= 0. 10/22 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ