《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第5章 单变量函数的积分学 §5.3 微元法

面积 弧长 立体体积 变力做功 引力 §5.3微元法 定积分所表达的量都有两个共同点：第一，所求的未知量Q具有整体性， 它依赖于某个区间 [a,b]上的变量x,Q(x)=Q([a,x]);第二，未知量Q在区 间上具有可加性，即，对a<c<b,有 Q([a,c])+Q([c,b])=Q([a,b]). 换句话说，就是当区间 [a,b]被分成几个不重迭的区间之并时，总量Q([a,b]) 等于相应于各子区间的局部量的和. 在具体求这种未知量时，可以分两个步骤： 第一步，在区间 [a,b]上任取一个长度为 dx 的小区间 [x,x+dx],求出 局部量 △Q=Q(x+dx)-Q(x) 的一个近似值 f(x)dx,其中 f(x)是某个函数，使得 ΔQ - f(x)dx 是较 dx ‖‖返回全屏关闭退出 1/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå §5.3 ‡{ ½È©¤LˆþÑkü‡
Ó:: 1, ¤¦™þ Q äkN5, §6u,‡«m [a, b] þCþ x, Q(x) = Q([a, x]); 1, ™þ Q 3« mþäkŒ\5, =, é a < c < b, k Q([a, c]) + Q([c, b]) = Q([a, b]). †é{`, Ò´«m [a, b] ©¤A‡Ø­S«mƒ¿ž, oþ Q([a, b]) uƒAuˆf«mÛÜþÚ. 3äN¦ù«™þž, Œ±©ü‡Ú½: 1Ú, 3«m [a, b] þ?‡ݏ dx «m [x, x + dx], ¦Ñ ÛÜþ ∆Q = Q(x + dx) − Q(x) ‡CqŠ f(x)dx, Ù¥ f(x) ´,‡¼ê, ¦ ∆Q − f(x)dx ´ dx 1/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长引力面积立体体积变力做功更高阶的无穷小，即Q = f(α)da + o(dc);因而f(c)da是函数Q(α)的微分.我们也将f(α)d称为整体量Q的微元第二步，将所得的微元在区间[a,b]上“无限累加"积分，则由Newton-Leibniz公式得Q'(α)da = Q(α)I = Q(b) - Q(a)f(α)d == Q(b) = Q.即量Q可以表示为积分f(α)da微元法的关键在于确定微元因为量Q是待求的，部分量Q（αc）是未知的.因此，一般而言，求出Q(α)的微分，即△Q的线性主要部分，是一件相当困难的事返回全屏关闭退出II2/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå pá, = ∆Q = f(x)dx + o(dx), Ï f(x)dx ´¼ê Q(x) ‡©. ·‚ò f(x)dx ¡Nþ Q ‡. 1Ú, ò¤‡3«m [a, b] þ“Á\\”——È©, Kd Newton– Leibniz úª Z b a f(x)dx = Z b a Q0 (x)dx = Q(x)     b a = Q(b) − Q(a) = Q(b) = Q. =þ Q Œ±L«È© Q = Z b a f(x)dx. ‡{'…3u(½‡. Ϗþ Q ´¦, Ü©þ Q(x) ´™ . Ïd, „ ó, ¦Ñ Q(x) ‡©, = ∆Q ‚5̇ܩ, ´‡ƒ (J¯. 2/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长面积立体体积变力做功引力平面图形的面积5.3.1直角坐标系下面积公式设f(α)在[a,bl上连续.则f(α)的图像与轴,以及垂直直线α=aα和α=b所围成的区域的面积为16If(c)I dc.0yVy = f(α)-X+X0ab0aby=f(α)返回全屏关闭退出II3/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå 5.3.1 ²¡ã/¡È †‹IXe¡Èúª  f(x) 3 [a, b] þëY. K f(x) ㆠx ¶, ± 9R††‚ x = a Ú x = b ¤Œ¤«¡È Z b a |f(x)| dx. O a b x y y = f(x) O a b x y y = f(x) 3/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积弧长立体体积变力做功引力设 f(α) 和 g() 在[a,b] 上连续. 则 f(α) 的图像与 g(α) 的图像, 以及垂直直线 α = a和 = b 所围成的区域的面积为A=If(α) 一 g(α)/ dac.yy = f(α)A-X0aby = g(α)返回全屏关闭退出4/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå  f(x) Ú g(x) 3 [a, b] þëY. K f(x) ㆠg(x) ã, ±9R ††‚ x = a Ú x = b ¤Œ¤«¡È A = Z b a |f(x) − g(x)| dx. O a b x y A y = f(x) y = g(x) 4/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积弧长立体体积引力变力做功例 1 求由曲线 y=α2与 y=α,y=1围成的平面区域的面积yABy=c=叫>X021解对于这个例子来说，用y作为积分变量更简便些2314S = 2 / (2Vy - Vy)dy = 2 Vydy=2.y33910返回全屏关闭退出A5/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå ~ 1 ¦d­‚ y = x 2 † y = 1 4 x 2 , y = 1 Œ¤²¡«¡È. O x y A B 1 2 1 y = x 2 y = 1 4 x 2 ) éuù‡~f5`, ^ y ŠÈ©Cþ{B . S = 2 Z 1 0 (2√y − √y) dy = 2 Z 1 0 √y dy = 2 · 2 3 y 3 2    1 0 = 4 3 . 5/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引力面积弧长立体体积变力做功极坐标系下面积公式极坐标方程r=f(O)，（α≤≤β)所确定的曲线与射线0=α,0=β所围成的扇形的面积为PGf2(0)deA=2元给变量0一个小的增量de,在区间[0,+do]上,r=f(0近似为常数因此变量从增加到e+do时.得到的小扇形近似为一个夹角为de半径r=f(0)为f（O）的圆扇形，这个圆扇形的面积deS为所考虑问题的面积微元0二f2(dA=(0)deQXO对此微元积分就得到所求面积的计算公式返回全屏关闭退出6/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå 4‹IXe¡Èúª 4‹I§ r = f(θ), (α 6 θ 6 β) ¤(½­‚†‚ θ = α, θ = β ¤Œ¤÷/¡È A = 1 2 Z β α f 2 (θ) dθ. ‰Cþ θ ‡Oþ dθ, 3«m [θ, θ + dθ] þ, r = f(θ) Cq~ê, ÏdCþl θ O\ θ + dθ ž,  ÷/Cq‡Y dθ Œ»  f(θ) ÷/, ù‡÷/¡È ¤įK¡È‡: dA = 1 2 f 2 (θ)dθ, éd‡È©Ò¤¦¡ÈOŽ úª. O x r = f(θ) α β θ dθ 6/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积弧长立体体积变力做功引力例2计算双纽线（2+y)?=a(c2—y）（a>0）所围成的区域的面积?Xaa解所围成的区域在四个象限是对称的，只需计算第一象限的图形与轴所围成的区域的面积的4倍.在第一象限的极坐标方程是2=α2cos20(0≤≤）.所求面积是4唯12a22202decos20d=asin20=A=A4a2000返回全屏关闭退出7/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå ~ 2 OŽV݂ (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) (a > 0) ¤Œ¤«¡ È. x y −a a ) ¤Œ¤«3o‡´é¡. IOŽ1ã/† x ¶¤Œ¤«¡È 4 . 314‹I§´ r 2 = a 2 cos 2θ (0 6 θ 6 π 4 ). ¤¦¡È´ A = 4 Z π 4 0 1 2 r 2 dθ = 2a 2 Z π 4 0 cos 2θ dθ = a 2 sin 2θ    π 4 0 = a 2 . 7/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引力面积弧长立体体积变力做功参数方程的图形所围成的区域的面积公式设平面区域由参数方程 = (t), y =(t), (α≤ t ≤β)所围.且当 t增加时,（a,y)在曲线上逆时针行走，其中 p(t),山(t)有连续的一阶导函数则所围区域的面积是(w'(t)p(t) - (t)b(t) dt.例3计算椭圆α=acost,y=bsint(o≤t≤2元）所围成的区域的面积解所求面积为271(b sint)'(a cost) - (a cost)'(b sin t)) dtA22元1ab1 dt = πab.210返回全屏关闭退出8/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå ëꐧã/¤Œ¤«¡Èúª ²¡«dëꐧ x = ϕ(t), y = ψ(t), (α 6 t 6 β) ¤Œ, … t O\ž, (x, y) 3­‚þ_ž1r, Ù¥ ϕ(t), ψ(t) këY ¼ê. K¤Œ«¡È´ A = 1 2 Z β α  ψ 0 (t)ϕ(t) − ϕ 0 (t)ψ(t)  dt. ~ 3 OŽý x = a cos t, y = b sin t (0 6 t 6 2π) ¤Œ¤«¡ È. ) ¤¦¡È A = 1 2 Z 2π 0  (b sin t) 0 (a cos t) − (a cos t) 0 (b sin t)  dt = 1 2 ab Z 2π 0 1 dt = πab. 8/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

面积弧长立体体积变力做功引力平面曲线的弧长5.3.2设L是平面上一条连续曲线，起点为A终点为B.在曲线上从A到B取一些分点得到一个分割T : A = Mo, Mi, .: , Mn-1, Mn = B.用直线段连接相邻的分点得到曲线的一条内折线.若当分割的宽度ⅡT：maxM,-M，趋于零时，折线的长度极限存在.就称曲线L是可求长的，并1<i<n且这个极限就定义为L的长度yMiBMM-XOI4返回全屏关闭退出-I9/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå 5.3.2 ²¡­‚l  L ´²¡þ^ëY­‚, å: A ª: B. 3­‚þl A  B  ©:‡©: T : A = M0, M1, · · · , Mn−1, Mn = B. ^†‚ã냩:­‚^Sò‚. e©°Ý kT k := max 16i6n Mi−1Mi ªu"ž, ò‚Ý43, Ò¡­‚ L ´Œ¦, ¿ …ù‡4Ò½Â L Ý. O x y A B M1 Mi−1 Mi 9/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长引力面积立体体积变力做功直角坐标方程表示的曲线的弧长设y=f(ac）是[a,bl上的连续可导函数则其图像曲线的弧长为Vi+ f'(a) da.-证明设函数f(c）的图像为曲线L.设dc>0.在L上任取两点M和M'.其横坐标分别为与+dac.则这两点的距离为/(da)2 + (f(α + da) - f(α) = V(da)2 + (f'(a)da +o(da)2我们由此得到弧长的微元（即弧长的微分）ds = 1+ (f(a)'da.将ds在区间[a，b]上积分，即得上述弧长公式上面的弧长微元公式也可写成ds? = da? + dy?.也就是说：弧长微元是微分三角形的斜边的长返回全屏退出关闭II10/20

¡È l áNNÈ Cå‰õ Úå †‹I§L«­‚l  y = f(x) ´ [a, b] þëYŒ¼ê. KÙ㭂l s = Z b a p 1 + f 0(x) dx. y² ¼ê f(x) ㏭‚ L.  dx > 0, 3 L þ?ü: M Ú M0 , Ùî‹I©O x † x + dx. Kùü:ål q (dx) 2 + ￾ f(x + dx) − f(x)
2 = q (dx) 2 + ￾ f 0(x)dx + o(dx)
2 . ·‚ddl‡ (=l‡©) ds = q 1 + ￾ f 0(x)
2 dx. ò ds 3«m [a, b] þÈ©, =þãlúª. þ¡l‡úªŒ ¤ ds2 = dx2 + dy2 . Ò´`: l‡´‡©n/>. 10/20 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ