《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第6章 微分方程 §6.3 可降阶的二阶微分方程

6.3.1 6.3.2 6.4.1 刘维尔公式 6.4.2 6.4.3 6.4.4 §6.3可降阶的二阶微分方程 一般的二阶微分方程的形式是 F(x,y,y',y")=0. 这一节要讲两种特殊类型的二阶方程，通过代换，它们能够化为一阶方程. 6.3.1不显含未知函数的二阶方程 若二阶方程中不显含y,则这种方程可写成 F(x,y',y")=0. (1) 引入新的函数p=y',则y=.这时(1)化为了一阶方程 F(x,p,)=0. (2) 若能求出(2)的通积分（或通解）， p=(x,C1), ‖‖返回全屏关闭退出 1/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 §6.3 Œü‡©§ „‡©§/ª´ F(x, y, y0 , y00) = 0. ù!‡ùü«AÏa.§, ÏL†, §‚U z§. 6.3.1 Øw¹™¼ê§ e§¥Øw¹ y, Kù«§Œ¤ F(x, y0 , y00) = 0. (1) Ú\#¼ê p = y 0 , K y 00 = dp dx. ùž (1) z § F  x, p, dp dx = 0. (2) eU¦Ñ (2) ÏÈ© (½Ï)), p = ϕ(x, C1), 1/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.4.26.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.36.4.4则将这个通积分（或通解）中的p换成，这产生另一个一阶方程dy=p(α, Ci).da求出了这个一阶方程的解y = b(ac,Ci, C2)也就求出了（1）的解，这一方法，实际上是将一个二阶方程，化为两个一阶方程来解决返回全屏关闭退出I42/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 Kòù‡ÏÈ© (½Ï)) ¥ p †¤ dy dx, ù),‡§: dy dx = ϕ(x, C1). ¦Ñ ù‡§): y = ψ(x, C1, C2). Ò¦Ñ (1) ). ù{, ¢Sþ´ò‡§, zü‡ §5)û. 2/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.4.46.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.3例1求解二阶方程y+y=4(α≠0)解这是不显含未知函数的方程.令p=y，则方程化为p' + p = 4c.这是一阶非齐次线性方程，可以用标准的方法求解，但更简单地，是将这个方程变形为d(cp)4c.da于是cp=2α2+C1,即C1dy2 +daa积分后，得方程的通解为y = α2 + Ci ln [αl + C2,其中C1,C2是（独立的）常数.注意，我们前面提到过，二阶方程的通积分（或通解）中，包含着两个（独立）常数返回全屏关闭退出I3/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 1 ¦)§ xy00 + y 0 = 4x (x 6= 0). ) ù´Øw¹™¼ê§. - p = y 0 , K§z xp0 + p = 4x. ù´šàg‚5§, Œ±^IO{¦). {ü/, ´òù‡ §C/ d(xp) dx = 4x. u´ xp = 2x 2 + C1, = dy dx = 2x + C1 x . È©￾, §Ï) y = x 2 + C1 ln |x| + C2, Ù¥ C1, C2 ´ (Õá) ~ê. 5¿, ·‚c¡JL, §ÏÈ© (½ Ï)) ¥, ¹Xü‡ (Õá) ~ê. 3/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.46.3.16.3.2例 2 求解二阶方程 y"+, (α≠0).c解这是不显含未知函数的方程令p=y',则方程化为Pp'=+&,a即,p.积分可得卫=&+C1,即y' = α? + Cia.再积分，就得到1C1α3 +222+C2y23因此该方程的通解为1+ Cia?2+ C2y=3返回全屏关闭退出I4/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 2 ¦)§ y 00 = y 0 x + x, (x 6= 0). ) ù´Øw¹™¼ê§. - p = y 0 , K§z p 0 = p x + x, =, p x 0 = 1. È©Œ p x = x + C1, =, y 0 = x 2 + C1x. 2È©, Ò y = 1 3 x 3 + C1 2 x 2 + C2. ÏdT§Ï) y = 1 3 x 3 + C1x 2 + C2. 4/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.46.3.2不显含自变量的方程若二阶方程中不显含，则方程可写为F(y, y', y") = 0.我们仍令p=y',但现在需用对y的导数来表示y":dp_dp dydp器y"=p-Pdydcdy da于是方程可写为dpF= 0.y,p,pdy我们把y看成自变量，则这是一个一阶方程，与前面的情形类似，求出这个方程的通积分（或通解）后，又将问题化为了另一个一阶方程求解返回全屏关闭退出二-5/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.3.2 Øw¹gCþ§ e§¥Øw¹ x, K§Œ F(y, y0 , y00) = 0. ·‚E- p = y 0 , y3I^é y ê5L« y 00: y 00 = dp dx = dp dy · dy dx = p dp dy . u´§Œ F  y, p, p dp dy = 0. ·‚r y w¤gCþ, Kù´‡§, †c¡œ/aq, ¦Ñù‡ §ÏÈ© (½Ï)) ￾, qò¯Kz ,‡§¦). 5/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ