《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第6章 微分方程 §6.3 可降阶的二阶微分方程

6.3.1 6.3.2 6.4.1 刘维尔公式 6.4.2 6.4.3 6.4.4 §6.3可降阶的二阶微分方程 一般的二阶微分方程的形式是 F(x,y,y',y")=0. 这一节要讲两种特殊类型的二阶方程，通过代换，它们能够化为一阶方程. 6.3.1不显含未知函数的二阶方程 若二阶方程中不显含y,则这种方程可写成 F(x,y',y")=0. (1) 引入新的函数p=y',则y=.这时(1)化为了一阶方程 F(x,p,)=0. (2) 若能求出(2)的通积分（或通解）， p=(x,C1), ‖‖返回全屏关闭退出 1/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 §6.3 Œü‡©§ „‡©§/ª´ F(x, y, y0 , y00) = 0. ù!‡ùü«AÏa.§, ÏL†, §‚U z§. 6.3.1 Øw¹™¼ê§ e§¥Øw¹ y, Kù«§Œ¤ F(x, y0 , y00) = 0. (1) Ú\#¼ê p = y 0 , K y 00 = dp dx. ùž (1) z § F  x, p, dp dx = 0. (2) eU¦Ñ (2) ÏÈ© (½Ï)), p = ϕ(x, C1), 1/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.4.26.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.36.4.4则将这个通积分（或通解）中的p换成，这产生另一个一阶方程dy=p(α, Ci).da求出了这个一阶方程的解y = b(ac,Ci, C2)也就求出了（1）的解，这一方法，实际上是将一个二阶方程，化为两个一阶方程来解决返回全屏关闭退出I42/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 Kòù‡ÏÈ© (½Ï)) ¥ p †¤ dy dx, ù),‡§: dy dx = ϕ(x, C1). ¦Ñ ù‡§): y = ψ(x, C1, C2). Ò¦Ñ (1) ). ù{, ¢Sþ´ò‡§, zü‡ §5)û. 2/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.4.46.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.3例1求解二阶方程y+y=4(α≠0)解这是不显含未知函数的方程.令p=y，则方程化为p' + p = 4c.这是一阶非齐次线性方程，可以用标准的方法求解，但更简单地，是将这个方程变形为d(cp)4c.da于是cp=2α2+C1,即C1dy2 +daa积分后，得方程的通解为y = α2 + Ci ln [αl + C2,其中C1,C2是（独立的）常数.注意，我们前面提到过，二阶方程的通积分（或通解）中，包含着两个（独立）常数返回全屏关闭退出I3/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 1 ¦)§ xy00 + y 0 = 4x (x 6= 0). ) ù´Øw¹™¼ê§. - p = y 0 , K§z xp0 + p = 4x. ù´šàg‚5§, Œ±^IO{¦). {ü/, ´òù‡ §C/ d(xp) dx = 4x. u´ xp = 2x 2 + C1, = dy dx = 2x + C1 x . È©￾, §Ï) y = x 2 + C1 ln |x| + C2, Ù¥ C1, C2 ´ (Õá) ~ê. 5¿, ·‚c¡JL, §ÏÈ© (½ Ï)) ¥, ¹Xü‡ (Õá) ~ê. 3/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.46.3.16.3.2例 2 求解二阶方程 y"+, (α≠0).c解这是不显含未知函数的方程令p=y',则方程化为Pp'=+&,a即,p.积分可得卫=&+C1,即y' = α? + Cia.再积分，就得到1C1α3 +222+C2y23因此该方程的通解为1+ Cia?2+ C2y=3返回全屏关闭退出I4/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 2 ¦)§ y 00 = y 0 x + x, (x 6= 0). ) ù´Øw¹™¼ê§. - p = y 0 , K§z p 0 = p x + x, =, p x 0 = 1. È©Œ p x = x + C1, =, y 0 = x 2 + C1x. 2È©, Ò y = 1 3 x 3 + C1 2 x 2 + C2. ÏdT§Ï) y = 1 3 x 3 + C1x 2 + C2. 4/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.46.3.2不显含自变量的方程若二阶方程中不显含，则方程可写为F(y, y', y") = 0.我们仍令p=y',但现在需用对y的导数来表示y":dp_dp dydp器y"=p-Pdydcdy da于是方程可写为dpF= 0.y,p,pdy我们把y看成自变量，则这是一个一阶方程，与前面的情形类似，求出这个方程的通积分（或通解）后，又将问题化为了另一个一阶方程求解返回全屏关闭退出二-5/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.3.2 Øw¹gCþ§ e§¥Øw¹ x, K§Œ F(y, y0 , y00) = 0. ·‚E- p = y 0 , y3I^é y ê5L« y 00: y 00 = dp dx = dp dy · dy dx = p dp dy . u´§Œ F  y, p, p dp dy = 0. ·‚r y w¤gCþ, Kù´‡§, †c¡œ/aq, ¦Ñù‡ §ÏÈ© (½Ï)) ￾, qò¯Kz ,‡§¦). 5/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.4.26.4.46.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.3例3求解定解问题1 + (y')?= 2yy"y(0) = 1, y(0) = 0解这是不显含α的二阶方程令p=y,则y"=pd方程化为dp1 + p = 2yP dy即,dy2pdp1+py积分得In(1+p2)=lnlyl +Co因为y(o)=1>0,所以y不能取负值因此1+p2= Ciy返回全屏关闭退出II6/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 3 ¦)½)¯K    1 + (y 0 ) 2 = 2yy00 y(0) = 1, y0 (0) = 0 ) ù´Øw¹ x §. - p = y 0 , K y 00 = p dp dy. §z 1 + p 2 = 2yp dp dy . =, 2p 1 + p2 dp = dy y . È© ln(1 + p 2 ) = ln |y| + C0. Ϗ y(0) = 1 > 0, ¤± y ØUKŠ. Ïd 1 + p 2 y = C1 6/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.4其中Ci是正常数.根据条件y(o)=1,y(o)=0可知Ci=1.因此1 +(y)?= y,即，dr两边积分，得±2Vy-1=α+C2再根据y(0)=1，y(0)=0可知C2=0.因此±2Vy-1=c.即，+1cy4返回全屏关闭退出?7/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 Ù¥ C1 ´~ê. Šâ^‡ y(0) = 1, y0 (0) = 0 Œ C1 = 1. Ïd 1 + (y 0 ) 2 = y, =, ± dy √ y − 1 = dx. ü>È©,  ±2 p y − 1 = x + C2. 2Šâ y(0) = 1, y0 (0) = 0 Œ C2 = 0. Ïd ±2 p y − 1 = x. =, y = 1 4 x 2 + 1. 7/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.3.16.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.46.3.2例4求方程y"- e2y = 0满足初始条件 y(0)= 0, y'(0) = 1 的特解解这是不显含α的二阶方程.令p=y,则y"=p.代入方程后，得dpe2y = 0.pdy分离变量，并积分，得出1.1-e2y + C1.D22由 y(0) = 0, p(0) = y'(0) = 1, 得 Ci = 0. 故 p2 = e2y, 所以dyey.dac分离变量，再积分，得出-e-y =c+C.由 y(0)= 0, 得 C = -1, 故所求特解为 1-e-y = c.I返回全屏关闭退出8/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 ~ 4 ¦§ y 00 − e 2y = 0 ÷vЩ^‡ y(0) = 0, y0 (0) = 1 A). ) ù´Øw¹ x §. - p = y 0 , K y 00 = p dp dy. \§￾,  p dp dy − e 2y = 0. ©lCþ, ¿È©, Ñ 1 2 p 2 = 1 2 e 2y + C1. d y(0) = 0, p(0) = y 0 (0) = 1,  C1 = 0.  p 2 = e 2y , ¤± dy dx = e y . ©lCþ, 2È©, Ñ −e −y = x + C. d y(0) = 0,  C = −1, ¤¦A) 1 − e −y = x. 8/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.3.16.4.26.4.46.3.26.4.1刘维尔公式6.4.3$6.4二阶线性微分方程的一般理论在实际问题中最常见的线性微分方程是二阶的，它的一般形式是(6.1)y" + p(α)y' + q(α)y = f(c),相应的齐次方程是(6.2)y" +p(α)y' + q(α)y = 0其中 p(c),g(α)及f(α)都是给定的函数定理1（初值问题解的存在唯一性）如果函数 p(α),g(αc)在区间I上连续CoEI，则对任何初值α,β,初值问题y" +p(αc)y' +q(αc)y = f(ac)y(co) = α, y(co) = β在 o 的邻域内存在惟一的解y(aα)I返回全屏关闭退出9/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 §6.4 ‚5‡©§„nØ 3¢S¯K¥~„‚5‡©§´, §„/ª´ y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f(x), (6.1) ƒAàg§´ y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0, (6.2) Ù¥ p(x), q(x) 9 f(x) Ñ´‰½¼ê. ½n 1 (Њ¯K)35) XJ¼ê p(x), q(x) 3«m I þëY, x0 ∈ I, Ké?ÛЊ α, β, Њ¯K    y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f(x) y(x0) = α, y0 (x0) = β 3 x0 S3Ž) y(x). 9/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

6.3.16.3.26.4.1刘维尔公式6.4.26.4.36.4.4线性齐次方程解的结构6.4.1对于齐次方程（6.2）很容易验证下面的结论定理 2设 yi(aα),2(α)是方程(6.2)的解,C1,C2是任意常数，则 yi(α)与y2(α)的线性组合y(α) = Ciyi(α) + C2y2(α)也是方程（6.2）的解先引入函数组线性无关、线性相关以及Wronski行列式的概念定义 1 设 i(a),P2(a),,Pm(α)是区间 I 上的 m个函数.如果存在 m 个不全为零的常数 ci,C2,·,Cm 使得对于区间 I 内的一切 a,有C1Pi(c) + C2p2(c) +....+Cmm(c) = 0,则称这m个函数在区间I上是线性相关的，否则就称它们在区间I上是线性无关的返回关闭退出全屏-10/37

6.3.1 6.3.2 6.4.1 4‘úª 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.1 ‚5àg§)( éuàg§ (6.2) éN´ye¡(Ø. ½n 2  y1(x), y2(x) ´§ (6.2) ), c1, c2 ´?¿~ê, K y1(x) † y2(x) ‚5|Ü y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ´§ (6.2) ). kÚ\¼ê|‚5Ã'!‚5ƒ'±9 Wronski 1ªVg. ½Â 1  ϕ1(x), ϕ2(x), · · · , ϕm(x) ´«m I þ m ‡¼ê. XJ 3 m ‡Ø"~ê c1, c2, · · · , cm ¦éu«m I Sƒ x, k c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + · · · + cmϕm(x) = 0, K¡ù m ‡¼ê3«m I þ´‚5ƒ', ÄKÒ¡§‚3«m I þ´‚ 5Ã'. 10/37 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ