《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第3章 一元函数的微分学 §3.5 凹凸性和曲率

3.5.1 3.5.2 Jensen 不等式 Holder 不等式 凸点 §3.5凹凸性和曲率 3.5.1函数的凹凸性 y y T1 1+x2 工2 2 图3.1下凸 图3.2上凸 如果曲线L作为区间I上函数f(x)的图象是下凸的（上凸的），就称 函数f(x)是是I上的凸函数（凹函数）. 11 返回 全屏 关闭 退出 1/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: §3.5 ]à5Ú­Ç 3.5.1 ¼ê]à5 ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x1 x2 x1+x2 2 ã 3.1 eà ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 3.2 þà XJ­‚ L Š«m I þ¼ê f(x) ã´eà£þà¤, Ò¡ ¼ê f(x) ´´ I þà¼ê£]¼ê¤. 1/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

凸点3.5.13.5.2Jensen不等式Holder不等式对于凸函数f(α)，以及它的图象L（一条凸曲线），任取L上的两点(α1,f(α1))和（2,f(α2))（不妨设1<2），连接这两点的直线方程是f(a2) - f(a1)(a - a1), α E [1, az2].y = g(α) = f(αi) +2—α1根据上述凸（凹）性的几何描述，该直线在曲线L的上方，即f(c2) - f(α1)(α - αi), E [αi, α2].f(α) ≤f(c1) +2—α1对I中的任意两点 1,2成立.由于 1与2之间的数可表示为 = αi + (1 - α)2,其中 α=二 E(0,1).将上面不等式中的换为 α1+(1-α)α2,可得f(αai + (1 一 α)c2) < αf(ci) + (1 - α)f(α2),因此我们给出如下定义返回全屏关闭退出I4-2/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: éuà¼ê f(x), ±9§ã L£^ୂ¤, ? L þü: (x1, f(x1)) Ú (x2, f(x2))£Ø x1 < x2¤, ëùü:†‚§´ y = g(x) = f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1), x ∈ [x1, x2]. Šâþãà£]¤5AÛ£ã, T†‚3­‚ L þ, = f(x) 6 f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1), x ∈ [x1, x2]. é I ¥?¿ü: x1, x2 ¤á. du x1 † x2 ƒmêŒL« x = αx1 + (1 − α)x2, Ù¥ α = x2−x x2−x1 ∈ (0, 1). òþ¡Øª¥ x † αx1 + (1 − α)x2, Œ f(αx1 + (1 − α)x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x2). Ïd·‚‰ÑXe½Â. 2/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

凸点3.5.13.5.2Jensen不等式Holder不等式定义1设f(α）是区间I上的函数，如果任给I中两点α1,C2,以及任意α E (0, 1) 有f (αCi + (1 -α)2) ≤ αf(i) + (1 -α)f(2):则称函数是区间I上的凸函数，当上式的不等号改为“<”时，就称f（α）为严格凸的注意，函数或者曲线的凸和凹，只是看图象的角度不同而已，不同的书上会出现不同的定义.往往甲书上定义的凸，却是乙书上定义的凹，没有一个相对统一的说法，因此，查阅文献时，首先要看文献中对凸凹性的定义返回全屏关闭退出3/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: ½Â 1  f(x) ´«m I þ¼ê, XJ?‰ I ¥ü: x1, x2, ±9?¿ α ∈ (0, 1) k f (αx1 + (1 − α)x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x2), K¡¼ê´«m I þà¼ê, þªØÒU/<0ž, Ò¡ f(x)  î‚à 5¿, ¼ê½ö­‚àÚ], ´wãÝØÓ ®, ØÓÖþ ¬ÑyØÓ½Â. `Öþ½Âà, %´¯Öþ½Â], vk‡ƒ éÚ`{. Ïd, ©zž, Äk‡w©z¥éà]5½Â. 3/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

凸点3.5.13.5.2Jensen不等式Holder不等式定理1设f(α）在区间I上连续，如果任给I中两点1,2,有f(ac1) + f(c2)1+α222则f(c）是区间I上的凸函数2, y2 =3+24,则证明 对于 C1, 2, 3, 4 E I, 记 1 =22C1 + 2 + 3 + 4Y1 + y242因此,f(yi) + f(y2)1 + y21+ C2 + 3 + C42241f(α1) + f(c2)f(c3) + f(α4)222f(ci) + f(c2) + f(α) + f(c4)4I返回全屏关闭退出-4/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: ½n 1  f(x) 3«m I þëY, XJ?‰ I ¥ü: x1, x2, k f  x1 + x2 2  6 f(x1) + f(x2) 2 , K f(x) ´«m I þà¼ê. y² éu x1, x2, x3, x4 ∈ I, P y1 = x1+x2 2 , y2 = x3+x4 2 , K x1 + x2 + x3 + x4 4 = y1 + y2 2 . Ïd, f  x1 + x2 + x3 + x4 4  = f  y1 + y2 2  6 f(y1) + f(y2) 2 6 1 2  f(x1) + f(x2) 2 + f(x3) + f(x4) 2  = f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) 4 . 4/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

凸点3.5.13.5.2Jensen不等式Holder不等式按此方法，并利用归纳原理，可知对型如m=2n的自然数，有f(ci) +f(c2) +...+f(cm)1+C2+...+Cm(3.1)mm令a1++m-1Co=m-1则C1+.·+m-1+CoCo=m因此，从上式得到f(ci) +... + f(cm-1) + f(co)f(aco) ≤m即，f(αi) +f(ac2) +.. +f(am-1)i +C2+..+ m-1m-1m-1所以从定理的条件可知，对任意自然数m，不等式（3.1）成立返回全屏关闭退出二5/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: Ud{, ¿|^8Bn, Œé.X m = 2n g,ê, k f  x1 + x2 + · · · + xm m  6 f(x1) + f(x2) + · · · + f(xm) m . (3.1) - x0 = x1 + · · · + xm−1 m − 1 , K x0 = x1 + · · · + xm−1 + x0 m . Ïd, lþª f(x0) 6 f(x1) + · · · + f(xm−1) + f(x0) m , =, f  x1 + x2 + · · · + xm−1 m − 1  6 f(x1) + f(x2) + · · · + f(xm−1) m − 1 . ¤±l½n^‡Œ, é?¿g,ê m, ت (3.1) ¤á. 5/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式现设c,yEI及任意自然数n,m（n<m）,在（3.1）中令ci=.=an=,an+1=..·=m=y得到n"α+(1-"))≤"f(a)+(1-")f()fmm即,对任意有理数rE(0,1),有f(ra+(1-r)y)≤rf(α)+(1-r)f(y)对于任意实数αE(0,1),可取趋于α的有理数列rnE(0,1).将上式中的r换成rn，并令n→o，根据f的连续性，就得到f (aa+ (1-α)y)≤αf(α)+(1-a)f(y)这就证明了f是I上的凸函数.证毕返回全屏关闭退出6/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: y x, y ∈ I, 9?¿g,ê n, m (n < m), 3 (3.1) ¥- x1 = · · · = xn = x, xn+1 = · · · = xm = y,  f  n m x + (1 − n m )y  6 n m f(x) + (1 − n m )f(y). =, é?¿knê r ∈ (0, 1), k f (rx + (1 − r)y) 6 rf(x) + (1 − r)f(y). éu?¿¢ê α ∈ (0, 1), Œªu α knê rn ∈ (0, 1). òþª¥  r †¤ rn, ¿- n → ∞, Šâ f ëY5, Ò f (αx + (1 − α)y) 6 αf(x) + (1 − α)f(y). ùÒy² f ´ I þà¼ê. y. 6/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

凸点3.5.13.5.2Jensen不等式Holder不等式证法2（反证法）若f(α）不是I上的凸函数，则存在a1,a2EI，及CoE（1,a2)使得f(aco) -f(i) f(c2) -f(α1)Co-Ci2-1即，f(c2) -f(1)f(co) >f(ci) +(ro - ci).C2—1构造线性函数g(z) = f(1) + f(a) - f(a1)(-i)C2-1它的图像是连接（a1,f(aci））和（a2,f(2））的弦，因此有g(ci) = f(aαi), g(α2) =f(α2), f(co)>g(co).令h(α) = f(α) -g(α)则h()=h(c2)=0, h(ao)>0.返回全屏关闭退出7/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: y{ 2 (‡y{) e f(x) Ø´ I þà¼ê, K3 x1, x2 ∈ I, 9 x0 ∈ (x1, x2) ¦ f(x0) − f(x1) x0 − x1 > f(x2) − f(x1) x2 − x1 , =, f(x0) > f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x0 − x1). E‚5¼ê g(x) = f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1). §ã´ë (x1, f(x1)) Ú (x2, f(x2)) u, Ïdk g(x1) = f(x1), g(x2) = f(x2), f(x0) > g(x0). - h(x) = f(x) − g(x). K h(x1) = h(x2) = 0, h(x0) > 0. 7/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式由于 h(a)是连续函数,存在 co 的邻域(a,b) C (a1,a2), ao E (a,b),使得h(a) = h(b) = 0, h(α) > 0, E (a, b)此时有a+ba+ba+b> 0,即,hC222因为9是线性函数，所以a+bg(a) + g(b)f(a) + f(b)9222因此a+bf(a) + f(b)T22这与条件矛盾！返回全屏关闭退出I8/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: du h(x) ´ëY¼ê, 3 x0  (a, b) ⊂ (x1, x2), x0 ∈ (a, b), ¦  h(a) = h(b) = 0, h(x) > 0, x ∈ (a, b). džk h  a + b 2  > 0, =, f  a + b 2  > g  a + b 2  . Ϗ g ´‚5¼ê, ¤± g  a + b 2  = g(a) + g(b) 2 = f(a) + f(b) 2 . Ïd f  a + b 2  > f(a) + f(b) 2 . ù†^‡gñ! 8/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式定理2设f(α)是区间I上的凸函数,1,2,是I三点,且 1<2<3.那么有f(α2) - f(c1) f(c3) f(c1)) f(c3) -f(a2)2—1α3—13—2月 令α=二翌,则证明C2 = αi + (1 - α)3.由f的凸性,知f(α2) ≤ αf(αi) + (1 - α)f(3)将α代入此式，经变形即得定理中的不等式.证毕I返回全屏关闭退出9/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: ½n 2  f(x) ´«m I þà¼ê, x1, x2, x3 ´ I n:, … x1 < x2 < x3. @ok f(x2) − f(x1) x2 − x1 6 f(x3) − f(x1) x3 − x1 6 f(x3) − f(x2) x3 − x2 . y² - α = x3−x2 x3−x1 , K x2 = αx1 + (1 − α)x3. d f à5,  f(x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x3). ò α \dª, ²C/=½n¥Øª. y. 9/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.5.1凸点3.5.2Jensen不等式Holder不等式定理3设f(α）是区间I上的凸函数,那么f(α)在I的内点是连续的证明 设 ao 是 I的一个内点.在 I 中选取四个点 ai,α2,yi,y2使得i < 2< o < i< y2. 根据定理 2, 当 E(a2, y1) 且 ≠ o 时, 有f(c2) -f(ci) f(α) -f(ao) f(y2) -f(yl)-oC2-C1y2- y1f(a)-f(ro)此式说明当 E（a2,yi)且 ≠ o时是有界的，即存在正数M，T-TOf(a)-f(ro)使得≤M.因而C-2OIf(α) -f(co)/≤ Mlα - ol, E (α2, yi)从此式便可得出f在o连续.证毕从以上定理的证明可看出若f（α）是开区间I上的凸函数，则f在I上连续，且当[a,b]是I中的有限闭区间时，f在[a,b]上是Lipschitz连续的返回全屏退出关闭-10/32

3.5.1 3.5.2 Jensen ت H¨older ت à: ½n 3  f(x) ´«m I þà¼ê, @o f(x) 3 I S:´ëY. y²  x0 ´ I ‡S:. 3 I ¥Ào‡: x1, x2, y1, y2 ¦ x1 < x2 < x0 < y1 < y2. Šâ½n 2,  x ∈ (x2, y1) … x 6= x0 ž, k f(x2) − f(x1) x2 − x1 6 f(x) − f(x0) x − x0 6 f(y2) − f(y1) y2 − y1 . dª`² x ∈ (x2, y1) … x 6= x0 ž,    f(x)−f(x0) x−x0    ´k., =3ê M, ¦    f(x)−f(x0) x−x0    6 M. Ï |f(x) − f(x0)| 6 M|x − x0|, x ∈ (x2, y1). ldªBŒÑ f 3 x0 ëY. y. l±þ½ny²ŒwÑe f(x) ´m«m I þà¼ê, K f 3 I þ ëY, … [a, b] ´ I ¥k4«mž, f 3 [a, b] þ´ Lipschitz ëY. 10/32 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ