《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第4章 原函数 §4.1 原函数及其基本的计算方法

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 第一换元法 第二换元法 分部积分法 第4章原函数 §4.1原函数及其基本的计算方法 4.1.1概念 定义1设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义.若对每个x∈I都有 F'(x)=f(x),或 dF(x)=f(x)dx, 则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数. 注意1，如果F(x)是f(x)(在区间I上)的一个原函数，则F(x)加上一 个任意常数后仍然是f(x)的一个原函数； 注意2，f(x)的任意两个原函数只相差一个常数. 11 返回 全屏 关闭 退出 1/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 1 4 Ù ¼ê §4.1 ¼ê9ÙÄOŽ{ 4.1.1 Vg ½Â 1 ¼ê F(x) † f(x) 3«m I þk½Â. eéz‡ x ∈ I Ñk F 0 (x) = f(x), ½ dF(x) = f(x)dx, K¡ F(x)  f(x) 3«m I þ‡¼ê. 5¿1, XJ F(x) ´ f(x)£3«m I þ¤‡¼ê, K F(x) \þ ‡?¿~ê￾E,´ f(x) ‡¼ê; 5¿2, f(x) ?¿ü‡¼êƒ‡~ê. 1/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法定义2称f(α)在区间I上的全体原函数F(α)+CI为函数f(α)在区间I上的不定积分，记为f(α) da = F(c) + C其中C是任意常数，称为积分常数：称为积分号：f（α）称为被积函数：f(α)dac称为被积表达式；a称为积分变量儿何上解释求函数f(α）的原函数的问题：在Ocy直角坐标系中找出一条曲线y=F(α),使其在横坐标为α 的点处的切线斜率为f(α).这样的一条曲线，称为f(α）的一条积分曲线，将它沿看着y轴的方向作平移，便得出所有其余（符合上述要求)的曲线.因此，在几何上，不定积分/f(α)dc表示包含上述全部积分曲线的曲线族返回全屏关闭退出I2/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ½Â 2 ¡ f(x) 3«m I þN¼ê {F(x) + C} ¼ê f(x) 3« m I þؽȩ, P Z f(x) dx = F(x) + C, Ù¥ C ´?¿~ê, ¡È©~ê; Z ¡È©Ò; f(x) ¡ȼê; f(x)dx ¡ÈLˆª; x ¡È©Cþ. AÛþ)º¦¼ê f(x) ¼ê¯K: 3 Oxy †‹IX¥éÑ ^­‚ y = F(x), ¦Ù3î‹I x :?ƒ‚Ǐ f(x). ù ^­‚, ¡ f(x) ^È©­‚, ò§÷X y ¶•Š²£, BѤ kÙ{ (ÎÜþ㇦) ­‚. Ïd, 3AÛþ, ؽȩ Z f(x)dx L« ¹þãÜÈ©­‚­‚x. 2/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法（1）什么样的函数有原函数（或者说什么样的被积函数有不定积分）？（2）如果一个函数f(α）有原函数，那么如何具体算出f(α)的原函数？（3）由于初等函数的导数仍然是初等函数，那么作为导数的逆运算一个初等函数的原函数（或者说不定积分）是否一定还能够表示成初等函数？根据Darboux定理可知，导函数满足介值定理，不可能有第一类间断点的函数.因此象符号函数y=sgnc这样的函数是不能表示成一个函数的导数的，因而没有原函数，然而，我们将在下一章中证明一个重要事实：对于给定区间上的连续函数，在这区间上必有原函数本章只考虑定义在一个区间上的连续函数的不定积分，并以求出不定积分作为主要目标.这里所谓的“求出不定积分”，是指可将不定积分表示为初等函数.但确实有这样的初等函数，它们的不定积分无法表示成初等函数.例如，可以证明下列积分『e-a"dac，「da，sina2dac等是不能表示成为初等函数的返回全屏关闭退出3/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ £1¤Ÿo¼êk¼ê£½ö`Ÿoȼêkؽȩ¤? £2¤XJ‡¼ê f(x) k¼ê, @oXÛäNŽÑ f(x)¼ê? £3¤duмêêE,´Ð¼ê, @oŠê_$Ž, ‡Ð¼ê¼ê£½ö`ؽȩ¤´Ä½„U L«¤Ð¼ê? Šâ Darboux ½nŒ, ¼ê÷v0Š½n, ،Uk1amä: ¼ê. ÏdÎÒ¼ê y = sgnx ù¼ê´ØUL«¤‡¼ê ê, Ï vk¼ê. , , ·‚ò3eÙ¥y²‡­‡¯¢: éu‰ ½«mþëY¼ê, 3ù«mþ7k¼ê. ِĽÂ3‡«mþëY¼êؽȩ, ¿±¦ÑØ½È ©ŠÌ‡8I. ùp¤¢/¦Ñؽȩ0 , ´ŒòؽȩL«Ð ¼ê. (¢kùмê, §‚ؽȩÃ{L«¤Ð¼ê. ~ X, Œ±y²eÈ© R e −x 2 dx, R 1 ln x dx, R sin x 2 dx ´ØUL«¤ мê. 3/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.34.1.5第一换元法分部积分法4.1.14.1.24.1.4第二换元法基本积分表4.1.2由前面的微分公式表，可得到下面的不定积分公式表0 d = C; da = ln |αl + C;(ii)αa+1+C, (α -1)r?daiiiα+1ar daar +C (a > 0,a1):1sin a d = - cos + C:cos cd = sin + C:sec? α d = tan a + C;csc2 d = - cot + C:d = arcsin + C = - arccos + Ci:VIda = arctan + C = -arccot +Ci1+c返回全屏关闭退出4/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 4.1.2 ÄÈ©L dc¡‡©úªL, Œe¡ؽȩúªL. (i) Z 0 dx = C; (ii) Z 1 x dx = ln |x| + C; (iii) Z x α dx = 1 α+1x α+1 + C, (α 6= −1); (iv) Z a x dx = 1 ln a a x + C (a > 0, a 6= 1); (v) Z sin x dx = − cos x + C; Z cos xdx = sin x + C; Z sec2 x dx = tan x + C; Z csc2 x dx = − cot x + C; (vi) Z √ 1 1−x2 dx = arcsin x + C = − arccos x + C1; Z 1 1+x2 dx = arctan x + C = −arccot x + C1. 4/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法4.1.3不定积分的线性性质(i)若a是常数(a≠0),则f(a)da=a.f(a)daa..(i) / (f(a) ± g(r)da = / f(a)da ± / g(r)dc.我们注意，关于不定积分的等式实际上是关于函数族的等式（即一个集合等式).等式i）的含义是，当a≠o时，a·f的原函数可由a乘f的原函数得到：而且a乘f的原函数也必是a·f的原函数.等式（i）具有类似的含义.（我们再次提一下，在函数连续的前提下，原函数的存在性已得到了保证等式（i）和（ii）是微分法则的显然推论（例如，由于（i）式两端中函数的微分都是af(αc)dac，从而(i)成立；类似地可得出(ii))：此外，易知(ii)对于多个函数的情形也成立由这两个等式，可以将一个较复杂的不定积分化为若干个已知的不定积分的和，进而得出结果.这种方法，称为分项积分法返回全屏关闭退出二5/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 4.1.3 ؽȩ‚55Ÿ (i) e a ´~ê (a 6= 0), K Z a · f(x)dx = a · Z f(x)dx; (ii) Z  f(x) ± g(x)  dx = Z f(x)dx ± Z g(x)dx. ·‚5¿, 'uؽȩª¢Sþ´'u¼êxª (=‡8 ܪ). ª (i) ¹Â´,  a 6= 0 ž, a · f ¼êŒd a ¦ f ¼ ê; … a ¦ f ¼ê7´ a · f ¼ê. ª (ii) äkaq¹ Â. (·‚2gJe, 3¼êëYcJe, ¼ê35® y.) ª (i) Ú (ii) ´‡©{Kw,íØ (~X, du (i) ªüॼê‡ ©Ñ´ af(x)dx, l (i) ¤á; aq/ŒÑ (ii)). d , ´ (ii) éuõ‡ ¼êœ/¤á. dùü‡ª, Œ±ò‡E,ؽȩzeZ‡®Ø½È ©Ú, ? Ñ(J. ù«{, ¡©‘È©{. 5/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

第一换元法第二换元法4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5分部积分法2-3+1例1 求da+1解2-3+15dadaa+1+1dadc+5adr-a+11=α2-4α+5lnα+1/+C.2注意，上面第二个等式右端的每一个不定积分都含有一个任意常数，最后合并记作C：这一点我们以后不再申明返回全屏关闭退出6/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 1 ¦ Z x 2 − 3x + 1 x + 1 dx. ) Z x 2 − 3x + 1 x + 1 dx = Z  x − 4 + 5 x + 1 dx = Z xdx − 4 Z dx + 5Z dx x + 1 = 1 2 x 2 − 4x + 5 ln |x + 1| + C. 5¿, þ¡1‡ªmàz‡Ø½È©Ñ¹k‡?¿~ê,  ￾Ü¿PŠ C; ù:·‚±￾Ø2². 6/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法1例2求drsin?C.cos2解sin?α+cos?1dadrSin?sin”a.cos?ac·cos?ccscadasec"ada +=tanr-cotr+C返回全屏关闭退出7/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 2 ¦ Z 1 sin2 x · cos2 x dx. ) Z 1 sin2 x · cos2 x dx = Z sin2 x + cos2 x sin2 x · cos2 x dx = Z sec2 xdx + Z csc2 xdx = tan x − cot x + C. 7/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法1例3求da2(1 + 2)解221daa2(1 + 2α2(1 + 2)1da222211dadr2221+1arctan & + C.返回全屏关闭退出8/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 3 ¦ Z 1 x2(1 + x2) dx. ) Z 1 x2(1 + x2) dx = Z (1 + x 2 ) − x 2 x2(1 + x2) dx = Z  1 x2 − 1 1 + x2  dx = Z 1 x2 dx − Z 1 1 + x2 dx = − 1 x − arctan x + C. 8/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.34.1.4第一换元法第二换元法4.1.14.1.24.1.5分部积分法不定积分的换元法4.1.4定理1(第一换元法）设F(α)是f(α)的一个原函数（即 F(α)=f(α)），并设 u= (α)可微.则我们有f(p(c) - '(c)dc = F(p(a) + C.即f(p(α))·p(α)的一个原函数是F(p(α))证明由一阶微分形式的不变性，关系式dF(u) = f(u)du再以函数(α）代替自变量u时仍然成立，由此导出所说的等式这一方法也称为“凑微分法”返回全屏关闭退出I4-9/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 4.1.4 ؽȩ†{ ½n 1 (1†{)  F(x) ´ f(x) ‡¼ê£= F 0 (x) = f(x)¤, ¿ u = ϕ(x) Œ‡. K·‚k Z f(ϕ(x)) · ϕ 0 (x)dx = F(ϕ(x)) + C. = f(ϕ(x)) · ϕ0 (x) ‡¼ê´ F(ϕ(x)). y² d‡©/ªØC5, 'Xª dF(u) = f(u)du 2±¼ê ϕ(x) OgCþ u žE,¤á, ddѤ`ª. ù{¡“n‡©{”. 9/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法例4求tan a da解所求的不定积分sin&datan dr =COSC(dcos a)cOs&=- lncos + C.返回全屏关闭退出Il10/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 4 ¦ Z tan x dx. ) ¤¦ؽȩ Z tan x dx = Z sin x cos x dx = − Z (d cos x) cos x = − ln | cos x| + C. 10/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ