《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第3章 一元函数的微分学 §3.3 微分中值定理

3.3.1 3.3.2 3.3.3 §3.3微分中值定理 3.3.1 Rolle定理和 Fermat定理 定义1设函数f(x)在x0的邻域(x0-δ，xo+δ)内有定义，如果对其中的 任一点x,都有 f(xo)≥f(x),(或f(xo)≤f(x)), 则称f(xo)为函数f(x)的极大值（或极小值），x0称为f(x)的一个极大 值点（或极小值点）.极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统 称为极值点. 直观上，从几何上看，如果函数f(x)在一点x0取到极大（极小）值，而且 函数在此点的切线存在，那么在这点的切线应当是水平的（平行于x轴），也 就是说函数在这点的导数为零. 11 返回全屏关闭退出 1/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 §3.3 ‡©¥Š½n 3.3.1 Rolle ½nÚ Fermat ½n ½Â 1 ¼ê f(x) 3 x0  (x0 − δ, x0 + δ) Sk½Â, XJéÙ¥ ?: x, Ñk f(x0) > f(x), ( ½ f(x0) 6 f(x)), K¡ f(x0) ¼ê f(x) 4ŒŠ£½4Š¤, x0 ¡ f(x) ‡4Œ Š:£½4Š:¤. 4ŒŠÚ4ŠÚ¡4Š, 4ŒŠ:Ú4Š:Ú ¡4Š:. †*þ, lAÛþw, XJ¼ê f(x) 3: x0 4Œ (4) Š, … ¼ê3d:ƒ‚3, @o3ù:ƒ‚A´Y²£²1u x ¶¤,  Ò´`¼ê3ù:ê". 1/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.33.3.13.3.2定理1（Fermat定理）设函数f(a）在其定义区间I的一个内点（即不是端点）co处取到极值，如果函数在这一点可导，则必有f'(aco）=0证明不妨设函数在ao取到极大值.根据定义,存在一个(αo一,αo+)使得f(co +h) f(co) ≤ 0只要改变量h满足hl0时< 0,h又因为函数在o可导，所以在上列两式中分别令h→0-和h→0+,有f"(co) ≥0, f'(co) ≤ 0故f(αo）=0.当f在o取到极小值的情况，可类似证明I-I返回全屏关闭退出2/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 ½n 1 (Fermat ½n) ¼ê f(x) 3ٽ«m I ‡S:£=Ø´à :¤x0 ?4Š, XJ¼ê3ù:Œ, K7k f 0 (x0) = 0. y² ؼê3 x0 4ŒŠ. Šâ½Â, 3‡ (x0−δ, x0+δ), ¦ f(x0 + h) − f(x0) 6 0 ‡UCþ h ÷v |h| 0,  h 0 ž qϏ¼ê3 x0 Œ, ¤±3þüª¥©O- h → 0 − Ú h → 0 + , k f 0 −(x0) > 0, f0 + (x0) 6 0  f 0 (x0) = 0.  f 3 x0 4Šœ¹, Œaqy². 2/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.13.3.23.3.3oioo+sCo-o图 3.1图3.2注意 Fermat定理的逆并不成立，也就是说，即使函数f在一内点的导数为零，未必这一点是极值点,最简单的反例是f(α)=α3， E[-1,1],显然，f'(O)= 0,但是=0不是该函数的极值点.即便如此,Fermat定理提供了这样的途径，即由导数的信息，推断函数的有关（极大、极小）值是否存在？通常，称导数为零的点为函数的驻点，因此想了解函数的极值点，只要在驻点中作进一步讨论即可返回全屏关闭退出3/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y 0−δ x0 x0+δx ã 3.1 ✲ ✻ x y r r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0 x1 ã 3.2 5¿ Fermat ½n_¿Ø¤á, Ò´`, =¦¼ê f 3S: ê", ™7ù:´4Š:, {ü‡~´ f(x) = x 3 , x ∈ [−1, 1], w , f 0 (0) = 0, ´ x = 0 Ø´T¼ê4Š:. =BXd, Fermat ½nJø ùå», =dê&E, íä¼êk' (4Œ!4) Š´Ä3? Ï~, ¡ê":¼ê7:, ÏdŽ )¼ê4Š:, ‡37: ¥Š?Ú?Ø=Œ. 3/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.33.3.13.3.2定理 2 (Rolle 定理）设 f(α)在闭区间[a,bl 上连续,在开区间(a,b)内可导, 而且 f(a) = f(b), 则必有 ε E (a, b), 使 f'(s) = 0.证明根据闭区间[a，b]上连续函数一定有最大值和最小值（最大值和最小值当然也是极值）的实事，如果最大值和最小值中至少有一个在（a，b）内部一点取得，则由 Fermat 定理知，f()= 0.反之，最大值和最小值都只能在端点 α 和 b 处取得,而 f(a) = f(b),所以最大值和最小值相等,即, 函数是一个常值函数，此时函数的导函数在任何一点都为零，证毕a图 3.3图3.4返回全屏关闭退出4/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 ½n 2 (Rolle ½n)  f(x) 34«m [a, b] þëY, 3m«m (a, b) SŒ , … f(a) = f(b), K7k ξ ∈ (a, b), ¦ f 0 (ξ) = 0. y² Šâ4«m [a, b] þëY¼ê½kŒŠÚŠ£ŒŠÚ Š,´4Š¤¢¯, XJŒŠÚŠ¥k‡3 (a, b) SÜ: ξ , Kd Fermat ½n, f 0 (ξ) = 0. ‡ƒ, ŒŠÚŠÑ U3à: a Ú b ?, f(a) = f(b), ¤±ŒŠÚŠƒ, =, ¼ê ´‡~Š¼ê, dž¼ê¼ê3?Û:я". y. ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ξ b ã 3.3 ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b ã 3.4 4/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.13.3.23.3.3微分中值定理3.3.2行定理3（微分中值定理）设f(α）在[a,b]连续,在（a,b)可微，则必有E (a,b) 使F(E) = f(b) - f(a)b-a证明我们构造函数f(b) - f(a)F(α) = f(α) -a- a) - f(a).b-a则容易验证: F(b) = F(a)= 0, 而且 F(ac)在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间(a,b)内可导,因此F(α）满足 Rolle定理的三个条件,故存在一点εE(a,b)使得Fl(s) = f(s) _ f(b) - f(a)=0b-a这即是定理的结论，证毕返回全屏关闭退出二45/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.2 ‡©¥Š½n ½n 3 (‡©¥Š½n)  f(x) 3 [a, b] ëY, 3 (a, b) Œ‡, K7k ξ ∈ (a, b) ¦ f 0 (ξ) = f(b) − f(a) b − a . y² ·‚E¼ê F(x) = f(x) − f(b) − f(a) b − a (x − a) − f(a). KN´y: F(b) = F(a) = 0, … F(x) 34«m [a, b] þëY, 3m«m (a, b) SŒ, Ïd F(x) ÷v Rolle ½nn‡^‡, 3: ξ ∈ (a, b) ¦ F 0 (ξ) = f 0 (ξ) − f(b) − f(a) b − a = 0. ù=´½n(Ø. y. 5/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.13.3.23.3.3有时，我们也称微分中值定理为Lagrange中值定理.当f（a）=f(b）时中值定理就转化成Rolle定理，因此它是比Rolle定理更一般的定理从几何上看，微分中值定理的结果B是不难理解的，考虑函数的差商f(b) - f(a)b-a它是割线AB的斜率.设想一下，如果3ba我们平行移动这条割线，则它至少有一次机会达到这样的位置，即在曲线上与图3.5割线AB距离最远的那一点M，成为曲线的切线（图3.5）：也就是说，存在介于a和b之间的一点，使得定理3成立从物理上看，一个沿直线运动的质点，必然在某一个时刻的瞬时速度，等于整个运动过程的平均速度返回全屏关闭退出6/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 kž, ·‚¡‡©¥Š½n Lagrange ¥Š½n.  f(a) = f(b) ž, ¥Š½nÒ=z¤ Rolle ½n, Ïd§´' Rolle ½n„½n. lAÛþw, ‡©¥Š½n(J ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A B a b ã 3.5 ´ØJn). ļêû f(b) − f(a) b − a §´‚ AB Ç. Že, XJ ·‚²1£Äù^‚, K§k gŬˆù , =3­‚þ† ‚ AB ål@: M, ¤­‚ƒ‚£ã3.5¤. Ò´`, 3 0u a Ú b ƒm: ξ, ¦½n 3 ¤á. lÔnþw, ‡÷†‚$ÄŸ:, 7,3,‡ž]ž„Ý,  u‡$ÄL§²þ„Ý. 6/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.33.3.13.3.2推论1.如果函数f在一个区间上连续，且对区间内的每一个点C.都有f'(αc)= 0,则函数 f 在区间上一定是常值函数.对于两个可导函数 f 和 g如果它们的导数相等，则两个函数相差一个常数证明任取区间上两点1<2,在[c1,a2]上，由中值定理知，存在一点使得f(c2) - f(αi) =f'()(c2 -ai)但f(a）恒为零，所以f(）=0,于是f（aαi）=f（c2),即函数在区间上任意两点的值相等，所以是常值函数进一步可以证明，若函数f在一个区间上连续，且对区间内的每一个点a,都有f（n）（α）=0,则函数f在区间上一定是次数不超过n一1的多项式返回全屏关闭退出7/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 íØ 1 XJ¼ê f 3‡«mþëY, …é«mSz‡: x, Ñk f 0 (x) = 0, K¼ê f 3«mþ½´~Š¼ê. éuü‡Œ¼ê f Ú g, XJ§‚êƒ, Kü‡¼êƒ‡~ê. y² ?«mþü: x1 < x2, 3 [x1, x2] þ, d¥Š½n, 3: ξ ¦ f(x2) − f(x1) = f 0 (ξ)(x2 − x1) f 0 (x) ð", ¤± f 0 (ξ) = 0, u´ f(x1) = f(x2), =¼ê3«mþ?¿ü :Šƒ, ¤±´~Š¼ê. ?ڌ±y²§e¼ê f 3‡«mþëY, …é«mSz‡: x, Ñk f (n) (x) = 0, K¼ê f 3«mþ½´gê؇L n − 1 õ‘ª. 7/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.13.3.23.3.3例 1 证明：若函数 f(aα)在R 上可导，且满足方程 f(α)=f(α),则存在常数c使得f(α)=ce.证明 令g(α) =e-af(αc). 则 g(α)在 R 上可导,且 g(α)=e-(f'(α)-f(α)) = 0. 于是 g(α) 是常数, 记 g(α) = c. 则有 f(α) = ce".以上结论可以推广如下设 (α) 在 R 上可导, 且 '(α) = g(c). 若函数 f(α) 在 R 上可导, 且满足方程 f'(α) = g(αc)f(α),则存在常数 c 使得 f(a)= ced(a).返回全屏关闭退出8/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 ~ 1 y²: e¼ê f(x) 3 R þŒ, …÷v§ f 0 (x) = f(x), K3 ~ê c ¦ f(x) = cex . y² - g(x) = e −xf(x). K g(x) 3 R þŒ, … g 0 (x) = e −x (f 0 (x) − f(x)) = 0. u´ g(x) ´~ê, P g(x) = c. Kk f(x) = cex . ±þ(،±í2Xe:  ϕ(x) 3 R þŒ, … ϕ0 (x) = g(x). e¼ê f(x) 3 R þŒ, …÷ v§ f 0 (x) = g(x)f(x), K3~ê c ¦ f(x) = ceϕ(x) . 8/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.33.3.13.3.2推论2设函数f在区间I可微，且|f(α)I≤M（即导数有界）.则If(c2) - f(αi)I ≤ M|α2 - αil即，具有有界导数的函数一定是Lipschitz 连续的例 2 设函数 f 在区间 I 上有定义.若存在 M >0,及 α>1使得[f(α2) - f(αi)l < Mα2 - i/, V 1, 2 E I,则 f(α)是常数证明对于任意I的内点 o，当△α充分小时,有If(co + △α) 一 f(co)/ ≤ M|Aα℃.因此,f(co + Aa) - f(aco)≤ MAa[α-1,Aa返回全屏关闭退出I-9/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 íØ 2 ¼ê f 3«m I Œ‡, … |f 0 (x)| 6 M£=êk.¤. K |f(x2) − f(x1)| 6 M|x2 − x1| =, äkk.ê¼ê½´ Lipschitz ëY. ~ 2 ¼ê f 3«m I þk½Â. e3 M > 0, 9 α > 1 ¦ |f(x2) − f(x1)| 6 M|x2 − x1| α , ∀ x1, x2 ∈ I, K f(x) ´~ê. y² éu?¿ I S: x0,  ∆x ¿©ž, k |f(x0 + ∆x) − f(x0)| 6 M|∆x| α . Ïd,     f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x     6 M|∆x| α−1 . 9/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.3.13.3.33.3.2由于 α>1.我们得到f(ao +Aa) -f(co)lim=0AcAr-0即，f(co）=0.这说明f在I上可导且导函数恒为零，因此f为常数例3证明：对任意常数c,方程α3-3a+c=0在[0,1]中不可能有两个相异的实根证明记f(a)=α3-3c+c.若对某个c,方程在[0,1]上有两个相异的实根 1,不妨设 0 ≤ 1<2≤1则 f(αi)= f(2)= 0, 因此 f(α)在[ci,a2] 上满足Rolle定理的三个条件,所以必有ai<<a2使得f'() = 3( - 1) = 0.即IS=1,但0≤αi<<α2≤1,故矛盾矛盾说明有两个相异实根的假设是不对的返回全屏退出关闭-10/34

3.3.1 3.3.2 3.3.3 du α > 1, ·‚ lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x = 0, =, f 0 (x0) = 0. ù`² f 3 I þŒ…¼êð", Ïd f ~ê. ~ 3 y²: é?¿~ê c, § x 3 − 3x + c = 0 3 [0, 1] ¥ØŒUkü ‡ƒÉ¢Š. y² P f(x) = x 3 − 3x + c. eé,‡ c, §3 [0, 1] þkü‡ƒÉ ¢Š x1, x2 Ø 0 6 x1 < x2 6 1 K f(x1) = f(x2) = 0, Ïd f(x) 3 [x1, x2] þ÷v Rolle ½nn‡^‡, ¤±7k x1 < ξ < x2 ¦ f 0 (ξ) = 3(ξ 2 − 1) = 0. = |ξ| = 1, 0 6 x1 < ξ < x2 6 1, gñ. gñ`²kü‡ƒÉ¢Šb ´Øé. 10/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ