《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第1章 实数与极限 §1.1 实数公理

数学分析讲课教材：《数学分析讲义》参考材料：1.《数学分析教程》常庚哲、史济怀著2.《数学分析》卓里奇著3.《微积分学教程》菲赫金哥尔茨著返回全屏关闭退出11/19

êÆ©Û ù‘á: 5êÆ©ÛùÂ6 ëá: 1. 5êÆ©Û§6~Žó!¤L~ Í 2. 5êÆ©Û6RpÛ Í 3. 5‡È©Æ§6™â7x] Í 1/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.数学天体上可以分为儿何、代数、分析三个部分，儿何与代数的发展起步较早，而分析发展得晚一些2.微积分属于分析类，包含微分、积分、微分与积分的关系3.微积分的发展主要是从研究变量以及变量之间的关系开始的，特别是在17世纪下面四类问题的大量出现(a）运动学方面，物体移动的距离、速度(b）几何学方面，求曲线的切线方程(c）优化方面，求函数的最大值和最小值(d）测量方面，求曲线长度，平面区域面积，空间区域体积，物体的重心，等4.现在公认为微积分是由Newton（牛顿）和Leibniz（莱布尼兹）发明的5.微积分的基础是极限理论.19世纪初Cauchy(柯西)、Weierstrass(魏尔斯特拉斯)、Riemann(黎曼）等人在前人工作的基础上逐步完成了极限理论的严格化.6.极限理论严格化的标志性节点是实数理论的建立返回全屏关闭退出I-2/19

1. êƌNþŒ±©AÛ!ê!©Ûn‡Ü©. AۆêuÐåÚ @, ©ÛuÐ . 2. ‡È©áu©Ûa, ¹‡©!È©!‡©†È©'X. 3. ‡È©uÐ̇´lïÄCþ±9Cþƒm'Xm©, AO´3 17 ­Ve¡oa¯KŒþÑy: (a) $ÄƐ¡, ÔN£Äål!„Ý. (b) AÛƐ¡, ¦­‚ƒ‚§. (c) `z¡, ¦¼êŒŠÚŠ. (d) ÿþ¡, ¦­‚Ý, ²¡«¡È, m«NÈ, ÔN­%, . 4. y3ú@‡È©´d Newton (Úî) Ú Leibniz (4ÙZ[) u². 5. ‡È©Ä:´4nØ. 19 ­VÐ Cauchy(…Ü)!Weierstrass(ŸdA .d)!Riemann(iù) <3c<óŠÄ:þÅÚ¤ 4nØî ‚z. 6. 4nØî‚zI5!:´¢ênØïá. 2/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

第1章实数与极限 §1.1实数公理 1.1.1集合 集或称集合是最基本的数学概念，不能用其它数学概念来定义，只能用 语言来描绘刻画.所谓集合就是一堆确定的、不同的、具有某些属性的对象 的整体.我们不将那种包罗万象把一切事物都囊括其中的东西称为集合，因 为这样会导致所谓集合悖论.我们称集合中的对象为元素.习惯上用大写英 文字母A,B,C,·等来表示集合，用小写英文字母a,b,c,·等来表示集 合中的元素.若α是集合A中的元素，则记成a∈A,或A≥a.当a不是集 合A的元素时，记为α￠A. ‖返回全屏关闭退出 3/19

1 1 Ù ¢ê†4 §1.1 ¢êún 1.1.1 8Ü 8½¡8Ü´ÄêÆVg, ØU^Ù§êÆVg5½Â, U^ Šó5£±x. ¤¢8ÜÒ´æ(½!ØÓ!äk, á5é N. ·‚Øò@«Ûrƒ¯ÔÑK)Ù¥ÀÜ¡8Ü, Ï ù¬¤¢8ÜØ. ·‚¡8Ü¥鏃. S.þ^Œ= ©i1 A, B, C, · · · 5L«8Ü, ^=©i1 a, b, c, · · · 5L«8 Ü¥ƒ. e a ´8Ü A ¥ƒ, KP¤ a ∈ A, ½ A 3 a.  a Ø´8 Ü A ƒž, P a 6∈ A. 3/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

B若集合A的所有元素都在集合B中，则记为ACB.或BA.此时称 A是 B的子集当 A C B,同时B C A,即，A和 B有完全相同的元素时，记为A三B.将一个集合的元素全部取出，这个集合就变得空无一物.此种空无一物的集合称为空集，记为.我们约定空集是任何集合的子集如果A1,A2，·.，An都是非空集合,那么由所有n元素组(a1,a2,.·．，an)(其中 ai E Ai)形成的集合称为 A1···，An 的直积,记为 Ai×A2×···×An·特别n个A的直积记为An返回全屏关闭退出4/19

A B e8Ü A ¤kƒÑ38Ü B ¥, KP A ⊂ B, ½ B ⊃ A, dž ¡ A ´ B f8.  A ⊂ B, Ӟ B ⊂ A, =, A Ú B kƒÓƒ ž, P A = B. ò‡8܃ÜÑ, ù‡8ÜÒCÃÔ. d «ÃÔ8Ü¡8, P ∅. ·‚½8´?Û8Üf8. XJ A1, A2, · · · , An Ñ´š8Ü, @od¤k n ƒ| (a1, a2, · · · , an) (Ù¥ ai ∈ Ai) /¤8Ü¡ A1, · · · , An †È, P A1×A2×· · ·×An. AO n ‡ A †ÈP An. 4/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

AUBAnBAc将集合A与集合B的所有元素合在一起形成的新集合称为A与B的并集，记为AUB.属于A同时也属于B的那些元素形成的集合称为A与B的交集，记为ANB.属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为AB.当在某个大集合X中来考虑问题时.不属于A的元素所成之集称为A的余集，或补集，记为A℃显然并运算和交运算满足交换律和结合率，即有（并的交换率）1°AUB=BUA;（并的结合率）2°AU(BUC)=(AUB)UC（交的交换率）3°ANB=BNA;（交的结合率）4°An(BnC)=(AnB)nC返回全屏关闭退出V5/19

A ∪ B A ∩ B A \ B Ac A ò8Ü A †8Ü B ¤kƒÜ3å/¤#8Ü¡ A † B ¿8, P A ∪ B. áu A Ӟáu B @ ƒ/¤8Ü¡ A † B 8, P A ∩ B. áu A Øáu B ƒ|¤8Ü¡ A † B 8, P A \ B. 3,‡Œ8Ü X ¥5įKž, Øáu A  ƒ¤¤ƒ8¡ A {8, ½Ö8, P Ac . w,¿$ŽÚ$Ž÷v†ÆÚ(ÜÇ, =k 1 ◦ A ∪ B = B ∪ A; (¿†Ç) 2 ◦ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; (¿(ÜÇ) 3 ◦ A ∩ B = B ∩ A; (†Ç) 4 ◦ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. ((ÜÇ) 5/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

如果参与并或交运算的是一族集合Aα，（αEI），这里I称为指标集，其中可能有无穷多个元素，那么这一族集合的并和交分别记成UAα和nAaQEIQEI不难验证下面并和交的运算性质UAa1°Bn=U(BnAα);交关于并的分配率QEIaEI2°BU=N(BUAα);（并关于交的分配率nAa1QEIQEI30AnA二QEIQEI40nAcUACaEIQEI返回全屏关闭退出6/19

XJ놿½$Ž´x8Ü Aα, (α ∈ I), ùp I ¡I8, Ù ¥ŒUkáõ‡ƒ, @oùx8Ü¿Ú©OP¤: [ α∈I Aα Ú \ α∈I Aα ØJye¡¿Ú$Ž5Ÿ: 1 ◦ B ∩  S α∈I Aα  = S α∈I (B ∩ Aα); ('u¿©Ç) 2 ◦ B ∪  T α∈I Aα  = T α∈I (B ∪ Aα); (¿'u©Ç) 3 ◦  S α∈I Aα c = T α∈I Ac α ; 4 ◦  T α∈I Aα c = S α∈I Ac α . 6/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.1.2映射设X，Y是两个非空集合，A和B分别是X和Y的非空子集，FCA×B.如果对任意aEA存在唯一的bEB,使得（a,b)EF,那么称F是从A到B的一个映射，记为F：A→B.这是用直积的方式来定义映射：惯上，一般按下面的方法来定义映射定义1设X，Y是两个非空集合.如果按照某种规律f.对每个cEX，有唯一的yEY与之对应，那么就称f是从X到Y的一个映射,记成f : X→Y.与对应的这个y.称为在映射之下的像，记为f().所在的集合X称为映射的定义域，而所有像所成之集称为映射f的像集.它是Y的一个子集返回全屏关闭退出7/19

1.1.2 N  X, Y ´ü‡š8Ü, A Ú B ©O´ X Ú Y šf8, F ⊂ A × B. XJé?¿ a ∈ A, 3 b ∈ B, ¦ (a, b) ∈ F, @o¡ F ´l A  B ‡ N, P F : A → B. ù´^†Èª5½ÂN . S.þ, „Ue¡{5½ÂN. ½Â 1  X, Y ´ü‡š8Ü. XJUì,«5Æ f, éz‡ x ∈ X, k  y ∈ Y †ƒéA, @oÒ¡ f ´l X  Y ‡N, P¤ f : X → Y. † x éAù‡ y, ¡3Nƒe x , P f(x). x ¤38Ü X ¡N½Â, ¤k¤¤ƒ8¡N f 8, §´ Y  ‡f8. 7/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

若对于X中任意不同的元素，它们的像也不同，即1 ≠α2蕴含f(αi)≠ f(ac2)，则称这个映射是单射.若Y中每个元素都是一个像,即Y就是像集，则称这个映射是满射。既是单射又是满射的映射称为双射，或称为一一对应. 当映射 f：X →Y 是双射时,对每个y EY,有且只有一个 E X使得y=f(α).按照这个方式也得到一个从Y到X映射,这个映射称为 f的逆映射,记为 f-1,此时 α = f-1(y).当 X 和 Y 之间存在双射时,我们称它们是对等的，记为X～Y.若有映射f：X→Y和映射g：Y→Z,则我们可以构造一个从X到Z的映射,它将 EX映成g(f(α)).这个映射称为g与 f的复合映射记为gof,即，gof : X → z 使得 g of(α) = g(f(αc).返回全屏关闭退出8/19

eéu X ¥?¿ØÓƒ, §‚ØÓ, = x1 6= x2 %¹ f(x1) 6= f(x2), K¡ù‡N´ü. e Y ¥z‡ƒÑ´‡, = Y Ò ´8, K¡ù‡N´÷. Q´üq´÷N¡V, ½¡ éA. N f : X → Y ´Vž, éz‡ y ∈ Y, k…k‡ x ∈ X ¦ y = f(x). Uìù‡ª‡l Y  X N, ù‡N¡ f _N, P f −1 , dž x = f −1 (y).  X Ú Y ƒm3Vž, ·‚¡ §‚´é, P X ∼ Y. ekN f : X → Y ÚN g : Y → Z, K·‚Œ±E‡l X  Z N, §ò x ∈ X N¤ g(f(x)). ù‡N¡ g † f EÜN, P g ◦ f, =, g ◦ f : X → Z ¦ g ◦ f(x) = g(f(x)). 8/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Yy = f(c)gxZagof(α)=gof上面的图是这种复合结构的图示，有时复合运算要连续实施若干次我们应注意这种运算是满足结合率的，即下面的等式ho (g o f) = (h og) o f是成立的,因此其中的括弧可以不写，只用hgof 来表示即可I4返回全屏关闭退出-Il9/19

x y = f(x) z = g ◦ f(x) X Y Z f g g ◦ f þ¡ã´ù«EÜ(ã«. kžEÜ$Ž‡ëY¢eZg, ·‚A 5¿ù«$Ž´÷v(ÜÇ, =e¡ª h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f ´¤á, ÏdÙ¥)lŒ±Ø, ^ h ◦ g ◦ f 5L«=Œ. 9/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.1.3实数人类的祖先在生产实践活动中为了计数的需要发明了1.2.3，···，这类我们称之为自然数或正整数的数，并发明了加法运算和乘法运算，之后又发明了0（零）和负整数-1，一2，一3，·以及减法运算.我们用N表示正整数正整数，零，负整数全体合称整数，用Z表示.为了表示从m个物件中取出了n个物件，发明了这样的分数，分数之间的除法也跟着被发明了，我们用①来表示所有整数和正负分数的全体，称之为有理数.在相当长的一个时期内，都没有出现新的数，一些人甚至认为有理数可以满足一切需求了，由于在实践中经常要度量线段的长度，考察两条线段的长短，以及给定的两条线段是否能同时被某第三条较短的线段量尽（即，长度同时是第三条线段的整数倍）这样的问题就产生了，两个线段如果同时能被第三条线段量尽，就称这两条线段是可公度的返回全屏关闭退出-10/19

1.1.3 ¢ê <ayk3)¢‚¹Ä¥ OêI‡u² 1, 2, 3, · · · , ùa ·‚¡ƒg,ê½êê, ¿u² \{$ŽÚ¦{$Ž, ƒ￾qu ² 0 (") ÚKê −1, −2, −3, · · · ±9~{$Ž. ·‚^ N L«ê. ê, ", KêNÜ¡ê, ^ Z L«.  L«l m ‡Ô‡¥Ñ n ‡Ô‡, u² n m ù©ê, ©êƒmØ{‹Xu² . ·‚ ^ Q 5L«¤kêÚK©êN, ¡ƒknê. 3ƒ‡ž ÏS, ÑvkÑy#ê, <$@knꌱ÷vƒI¦ . du 3¢‚¥²~‡Ýþ‚ãÝ,  ü^‚ãá, ±9‰½ü^‚ ã´ÄUӞ,1n^á‚ãþ¦ (=, ÝӞ´1n^‚ã ê) ù¯KÒ) . ü‡‚ãXJӞU1n^‚ãþ¦, Ò¡ù ü^‚ã´ŒúÝ. 10/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ