《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第3章 一元函数的微分学 §3.6 Taylor公式

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor 多项式 Taylor 公式 §3.6Taylor 公式 3.6.1Taylor 公式 设函数f(x)在xo可微，则 f(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)+R1(xo;x), 其中 lim Rlataian im(a ile)-o 因此，在x0的附近，可以用一个关于x-x0的一次多项式 P1(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo), 代替f(x),由此产生的误差（或称为余项）R1(xo;x)当x →xo时，是比 x-x0更高阶的无穷小量. ‖‖返回全屏关闭退出 1/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª §3.6 Taylor úª 3.6.1 Taylor úª ¼ê f(x) 3 x0 Œ‡, K f(x) = f(x0) + f 0 (x0)(x − x0) + R1(x0; x), Ù¥ lim x→x0 R1(x0; x) x − x0 = lim x→x0  f(x) − f(x0) x − x0 − f 0 (x0)  = 0 Ïd, 3 x0 NC, Œ±^‡'u x − x0 gõ‘ª P1(x) = f(x0) + f 0 (x0)(x − x0), O f(x), dd)Ø£½¡{‘¤R1(x0; x)  x → x0 ž, ´' x − x0 páþ. 1/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.6.13.6.23.6.3Taylor多项式Taylor公式在 o 附近用一次多项式 f(co)+ f'(co)(α 一co)来替代 f(α)所产生的误差达不到要求时，自然地可以考虑用二次多项式来替代f(α)假设在 ao附近 f(α)有二阶导函数,且存在常数ao,a1,a2使得f(α) = ao + ai(c - co) +a2(α - co)2 +o(α - o)"), (α → co),则令→o得 ao=f(co),两边减去 f(co)后除以 o,再令 →o得a1=f'(ao).然后有f'(αc) f'(co)f"(co)f(α) -f(co) - f'(αo)(α -o)a2 = limlim22(α - co)(α - co)2E→TOT→TO也就是说在 αo 附近用二次多项式来替代 f(α),使其误差要达到 o((α一o)2)时，此二次多项式只能是f"(co)f(aco) + +f'(co)(α - co) + - co)221I-返回全屏关闭退出2/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª 3 x0 NC^gõ‘ª f(x0) + f 0 (x0)(x − x0) 5O f(x) ¤) ؈؇¦ž, g,/Œ±Ä^gõ‘ª5O f(x). b3 x0 NC f(x) k¼ê, …3~ê a0, a1, a2 ¦ f(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0) 2 + o((x − x0) 2 ), (x → x0), K- x → x0  a0 = f(x0), ü>~ f(x0) ￾ر x − x0, 2- x → x0  a1 = f 0 (x0). ,￾k a2 = lim x→x0 f(x) − f(x0) − f 0 (x0)(x − x0) (x − x0) 2 = lim x→x0 f 0 (x) − f 0 (x0) 2(x − x0) = f 00(x0) 2 . Ò´`3 x0 NC^gõ‘ª5O f(x), ¦Ù؇ˆ o((x − x0) 2 ) ž, dgõ‘ªU´ f(x0) + +f 0 (x0)(x − x0) + f 00(x0) 2 (x − x0) 2 . 2/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Taylor多项式Taylor公式3.6.13.6.23.6.3定理 1 设函数 f(α)在 o的邻域(αo一,ao+)内有直至 n 阶的导数如果 Pn(c) = ao + ai(α - co) +..· + an(α - co)n 为一个关于 α - o 的 n次多项式，而且(3.1)f(α) = Pn(α) + o((α - co)"), (c → co);则Pn(αc）的系数必须是f(k)(co)k=0,1,.,nak=k!从而 Pn(α) = Tn(co; α),这里f'(co)Tn(co; α) = f(co)-o201!n!称之为函数f(c）在点aco处的n次Taylor多项式返回全屏关闭退出3/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª ½n 1 ¼ê f(x) 3 x0  (x0 − δ, x0 + δ) Sk† n ê. XJ Pn(x) = a0 + a1(x − x0) + · · · + an(x − x0) n ‡'u x − x0  n gõ‘ª, … f(x) = Pn(x) + o((x − x0) n ), (x → x0), (3.1) K Pn(x) Xê7L´ ak = f (k) (x0) k! , k = 0, 1, · · · , n, l Pn(x) = Tn(x0; x), ùp Tn(x0; x) = f(x0) + f 0 (x0) 1! (x − x0) + · · · + f (n) (x0) n! (x − x0) n ¡ƒ¼ê f(x) 3: x0 ? n g Taylor õ‘ª. 3/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.6.13.6.3Taylor公式3.6.2Taylor多项式证明 在 (3.1) 中令 → αo, 即得 αo = f(aco).假设已证得f(k)(co)k=0,1,...,m, m<n,akk!根据(3.1)有f(k)(ro)f(a) - Zr=0- co)kk!= am+1 + o(1), (c → co)(c - co)m+1因而,f((co)(α - co)kf(a) -E=ok!am+1 = lim(α - co)m+1T→TO对上面的极限用m次L'Hospital法则，得到f(m)(α) 一 f(m)(co)f(m+1)(co)am+1 = lim(m + 1)!(m + 1)!(c - co)2→0于是根据归纳原理，结论得证II返回全屏关闭退出-4/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª y² 3 (3.1) ¥- x → x0, = a0 = f(x0). b®y ak = f (k) (x0) k! , k = 0, 1, · · · , m, m < n, Šâ (3.1) k, f(x) − Pm k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k (x − x0)m+1 = am+1 + o(1), (x → x0). Ï , am+1 = lim x→x0 f(x) − Pm k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k (x − x0)m+1 . éþ¡4^ m g L’Hospital {K,  am+1 = lim x→x0 f (m) (x) − f (m) (x0) (m + 1)!(x − x0) = f (m+1)(x0) (m + 1)! . u´Šâ8Bn, (Øy. 4/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.6.13.6.23.6.3Taylor多项式Taylor公式定理2设函数f(α)在点o的邻域(ao一,ao+)内有直至n阶的导数Tn(aco;α)是函数 f 在 o 处的 n 次 Taylor 多项式, 则当 →&o时,余项Rn(co; α) = f(α) - Tn(co;a)是（aα一ao)n的高阶无穷小量，即Rn(o; c)f(α) - Tn(co; α)limlim= 0.a-→o (c - o)n(α - ao)nC→2O换句话说，当→Co时，有f(n)(co)+ f'(ao)f(α) = f(co) +(c-co)n +o((α - co)")(α - co) +:1!n!称之为函数f(α)在点 o处的带Peano余项的Taylor公式返回关闭退出全屏5/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª ½n 2 ¼ê f(x) 3: x0  (x0 − δ, x0 + δ) Sk† n ê, Tn(x0; x) ´¼ê f 3 x0 ? n g Taylor õ‘ª, K x → x0 ž, {‘ Rn(x0; x) = f(x) − Tn(x0; x) ´ (x − x0) n páþ, = lim x→x0 Rn(x0; x) (x − x0) n = lim x→x0 f(x) − Tn(x0; x) (x − x0) n = 0. †é{`,  x → x0 ž, k f(x) = f(x0) + f 0 (x0) 1! (x − x0) + · · · + f (n) (x0) n! (x − x0) n + o((x − x0) n ) ¡ƒ¼ê f(x) 3: x0 ?‘ Peano {‘ Taylor úª. 5/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.6.23.6.13.6.3Taylor多项式Taylor公式证明只要注意到f(）-Tn（Co;）及其直至n阶的导数当一→Co时都是无穷小量这个事实，然后在计算极限f(ac) -Tn(aco; α)lim(α - co)nC→0的过程中连续使用LHospital法则，即可完成证明特别，如果函数f在=0附近n阶导数，定理2中取ao=0,则Taylor公式为f(0)f(n)(0)f(α) = f(0) +α"+o(α"),a→0c+1!n!并称之为函数f（a）的n阶具有Peano余项的Maclaurin公式（或展开式）返回全屏关闭退出6/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª y² ‡5¿ f(x) − Tn(x0; x) 9ن n ê x → x0 ž, Ѵáþù‡¯¢, ,￾3OŽ4 lim x→x0 f(x) − Tn(x0; x) (x − x0) n L§¥ëY¦^ L’Hospital {K, =Œ¤y². AO, XJ¼ê f 3 x = 0 NC n ê, ½n 2 ¥ x0 = 0, K Taylor úª f(x) = f(0) + f 0 (0) 1! x + · · · + f (n) (0) n! x n + o(x n ), x → 0 ¿¡ƒ¼ê f(x)  n äk Peano {‘ Maclaurin úª£½Ðmª¤. 6/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Taylor公式3.6.13.6.23.6.3Taylor多项式定理3设函数f(α)在区间I内有n+1阶导数，且n阶导数在I上连续设 和 &o是I中任意两个不同的数,Tn(ao;c）是f在 ao处的 n阶Taylo1多项式。则在和Co之间存在一个数，使得f(αc) = Tn(co; α) + Rn公式中的余项Rn具有下列形式f(n+1)(E)o)n+1Rn:C-(n + 1)!其中Rn称为Lagrange余项，而上面这个公式称为带Lagrange余项的Tayloi公式.或者说f（）在点处可以表示成f(n+1)(≤)f(n) (co)f'(co)(α-co)n+1f(α) = f(co) +-o+.co1!n!(n + 1)!返回全屏关闭退出7/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª ½n 3 ¼ê f(x) 3«m I Sk n + 1 ê, … n ê3 I þëY.  x Ú x0 ´ I ¥?¿ü‡ØÓê, Tn(x0; x) ´ f 3 x0 ? n  Taylor õ‘ª. K3 x Ú x0 ƒm3‡ê ξ, ¦ f(x) = Tn(x0; x) + Rn úª¥{‘ Rn äke/ª Rn = f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x − x0) n+1 , Ù¥ Rn ¡ Lagrange {‘, þ¡ù‡úª¡‘ Lagrange {‘ Taylor úª. ½ö` f(x) 3 x :?Œ±L«¤ f(x) = f(x0)+f 0 (x0) 1! (x−x0)+· · ·+ f (n) (x0) n! (x−x0) n+ f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x−x0) n+1 . 7/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.6.13.6.2Taylor公式3.6.3Taylor多项式证明 考虑函数 G(a) = (n+)(α - ao)n+1 和f(k)(co)R(α) = f(α) -ZTok!k=0显然有G(co) = G'(co) = ... = G(n)(co) = 0,R(co) = R(co) = ... = R(n)(co) = 0,反复应用Cauchy中值定理，知在ao与a之间存在S1,S2，···，Sn，使得R(n+1)(E)R(α)R'($1)R(α) - F(co)G(α)G(n+1)()G'(≤1)G(α) - G(αco)于是f(n+1)(E)R(α)(c-ao)n+11(n+1)!即,f(n+1)(E))n+1R(c) Co(n + 1)!返回全屏关闭退出II-8/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª y² ļê G(x) = 1 (n+1)!(x − x0) n+1 Ú R(x) = f(x) − X n k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k , w,k G(x0) = G0 (x0) = · · · = G(n) (x0) = 0, R(x0) = R0 (x0) = · · · = R(n) (x0) = 0, ‡EA^ Cauchy ¥Š½n, 3 x0 † x ƒm3 ξ1, ξ2, · · · , ξn, ξ ¦ R(x) G(x) = R(x) − F(x0) G(x) − G(x0) = R0 (ξ1) G0(ξ1) = · · · = R(n+1)(ξ) G(n+1)(ξ) . u´ R(x) (x−x0) n+1 (n+1)! = f (n+1)(ξ) 1 , =, R(x) = f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x − x0) n+1 . 8/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.6.1Taylor多项式Taylor公式3.6.23.6.3定理4设函数f(c)在区间I内有n+1阶导数，且n阶导数在I上连续设和&o是I中任意两个不同的数,Tn(ao;c）是f在o处的n阶Taylor多项式，则对于任意一个在以Co和&为端点的闭区间的上连续，在其内部可导且导数不等于零的函数(α),都存在和o之间的一个数,使得 (a) = T,(c0 ) 2(a) ~2() (+1()(α -t)".(3.2)p'(s)n!证明在以o和&为端点的闭区间J上考虑辅助函数f'(t)f(n)(t)F(t) = f(α) -f(t) -t)+1!n!返回全屏关闭退出9/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª ½n 4 ¼ê f(x) 3«m I Sk n + 1 ê, … n ê3 I þëY.  x Ú x0 ´ I ¥?¿ü‡ØÓê, Tn(x0; x) ´ f 3 x0 ? n  Taylor õ‘ª. Kéu?¿‡3± x0 Ú x à:4«mþëY, 3ÙSÜ Œ…êØu"¼ê ϕ(x), Ñ3 x Ú x0 ƒm‡ê ξ, ¦ f(x) = Tn(x0; x) + ϕ(x) − ϕ(x0) ϕ0(ξ)n! f (n+1)(ξ)(x − ξ) n . (3.2) y² 3± x0 Ú x à:4«m J þÄ9ϼê F(t) = f(x) −  f(t) + f 0 (t) 1! (x − t) + · · · + f (n) (t) n! (x − t) n  . 9/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.6.13.6.23.6.3Taylor多项式Taylor公式显然F（t）在J上连续，在J内部可导，且f"(t)f'(t)F'(t) = f'(t)(a-t)1!1!f"(t)f(n+1)(t)f"(t)-t)?-...-2(-t)-t)2!2!n!f(n+1)(t)(α - t)nn!对于 J 上的函数 F(t)和 (t)用 Cauchy 中值定理,存在 和 co之间存在一个数5，使得F(α)F(αo)F(s)p'(s)p(c)- p(co)将F（t）的表达式代入，并注意到F(α) - F(co) = 0 - F(αo) = -(f(α) - Tn(co; α)就得到（3.2).证毕返回全屏退出关闭10/27

3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õ‘ª Taylor úª w, F(t) 3 J þëY, 3 J S܌, … F 0 (t) = −  f 0 (t) − f 0 (t) 1! + f 00(t) 1! (x − t) − f 00(t) 2! · 2(x − t) + f 000(t) 2! (x − t) 2 − · · · + f (n+1)(t) n! (x − t) n  = − f (n+1)(t) n! (x − t) n éu J þ¼ê F(t) Ú ϕ(t) ^ Cauchy ¥Š½n, 3 x Ú x0 ƒm 3‡ê ξ, ¦ F(x) − F(x0) ϕ(x) − ϕ(x0) = F 0 (ξ) ϕ0(ξ) . ò F 0 (t) Lˆª\, ¿5¿ F(x) − F(x0) = 0 − F(x0) = − (f(x) − Tn(x0; x)) Ò (3.2). y. 10/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ