《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第8章 空间解析几何（2/2）

直线 平面 点线 点面 线线 面面 曲面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 坐标变换 §8.7直线与平面 8.7.1直线的方程 在空间中，过任意不同两点A,B可作一条直线l.对于直线l上任意 点P,由于向量AP与向量AB平行，故存在实数t使得AP=t.AB于是 op=oA+t.AB (8.1) 称(8.1)式为直线l的参数方程，非零向量AB 称为直线l的方向向量，而t称为参数，当t取 A B P l 遍所有实数时，参数方程给出直线l上的所有 点；当t取遍区间[0,1]时，得到线段AB;当t 取遍区间[0，∞)时，得到射线AB. 0 设点A的坐标为(a1,a2,a3),向量AB的坐标表示为(u1,u2,u3),点P 11 返回全屏关闭退出 1/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† §8.7 †‚†²¡ 8.7.1 †‚§ 3m¥§L?¿ØÓü: A, B ŒŠ^†‚ `. éu†‚ ` þ?¿ : P , du•þ −→AP †•þ −→AB ²1, 3¢ê t ¦ −→AP = t · −→AB u´ −→OP = −→OA + t · −→AB (8.1) ¡ (8.1) ª†‚ ` ëꐧ, š"•þ −→AB ¡†‚ ` ••þ, t ¡ëê,  t  H¤k¢êž, ëꐧ‰Ñ†‚ ` þ¤k :;  t H«m [0, 1] ž, ‚ã AB;  t H«m [0, ∞) ž, ‚ −→AB. O A B P ` : A ‹I (a1, a2, a3), •þ −→AB ‹IL« (u1, u2, u3), : P 1/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线曲面柱面锥面平面点线点面线线面面旋转面二次曲面坐标变换的坐标为（α,,z)，于是直线e的参数方程可写成坐标形式c = ai +uit(8.2)y=a2+u2tz=a3+ust从中消去参数t.则可得到直线l的点向式方程2αyaia2a3(8.3)uiw2w3例1经过点(2,1,5)方向为(1,0,7)的直线方程为Z-5α-2y-1107注意此处，分母中的0只是表示方向中的一个坐标分量，并不是用来作除数返回全屏关闭退出I42/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† ‹I (x, y, z), u´†‚ ` ëꐧŒ¤‹I/ª    x = a1 + u1t y = a2 + u2t z = a3 + u3t (8.2) l¥žëê t, KŒ†‚ ` :•ª§ x − a1 u1 = y − a2 u2 = z − a3 u3 . (8.3) ~ 1 ²L: (2, 1, 5) • (1, 0, 7) †‚§ x − 2 1 = y − 1 0 = z − 5 7 . 5¿ d?, ©1¥ 0 ´L«•¥‡‹I©þ, ¿Ø´^5 ŠØê. 2/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线平面点面曲面柱面锥面点线线线面面旋转面二次曲面坐标变换8.7.2平面的方程给定空间中一个点M及非零向量π，存在唯一的一个平面元过M且与π垂直.对于平面元上任意点P,都有MP工π,于是得到等式MP.n= 0.(8.4)上式称为平面元的点法式方程.非零向量亢称为平面元的法向量整个空间被平面元分成三部分满足MP.n>0的点P在平面的上侧（π指向的那一侧），而满足πMP.n<0元的点 P在平面的另一侧,满足 MP.π= 0 的MP点P在平面元上返回全屏关闭退出I-3/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† 8.7.2 ²¡§ ‰½m¥‡: M 9š"•þ ~n§3‡²¡ π L M … † ~n R†. éu²¡ π þ?¿: P , Ñk −−→MP ⊥ ~n, u´ª −−→MP · ~n = 0. (8.4) þª¡²¡ π :{ª§. š"•þ ~n ¡²¡ π {•þ. ‡m²¡ 𠩤nÜ©, ÷v −−→MP · ~n > 0 : P 3²¡þý (~n •@ý), ÷v −−→MP · ~n < 0 : P 3²¡,ý, ÷v −−→MP · ~n = 0  : P 3²¡ π þ. M P ~n π 3/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线柱面锥面平面点线点面线线面面曲面旋转面二次曲面坐标变换设点 M 的坐标为 (m1,m2, m3), 亢的坐标为 (A, B,C),点 P 的坐标为(α,y,z),则点法式方程（8.4)可写成坐标形式A(c - mi) + B(y - m2) + C(z - m3) = 0.将其展开合并，可得平面 元 的一般方程(8.5)Ac + By + Cz + D = 0.其中 D = -(Ami + Bm2 + Cm3),例 2 求过点 M(1,1,1)和直线 :α + 1 = 2y + 3 = 3z - 5 的平面 元 的一般方程解 经过点 A(0, -1,2), 元 的法向量与 AM 及 e 的方向向量 (1,都垂直，故元的法向量亢 = (1, 2, -1) × (1,是,) = (, -, -),从而可求得平面元的一般方程为7c-8y -9z+10=0.II-返回全屏关闭退出-l4/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† : M ‹I (m1, m2, m3), ~n ‹I (A, B, C), : P ‹I (x, y, z), K:{ª§ (8.4) Œ¤‹I/ª A(x − m1) + B(y − m2) + C(z − m3) = 0. òÙÐmÜ¿, Œ²¡ 𠄐§ Ax + By + Cz + D = 0. (8.5) Ù¥ D = −(Am1 + Bm2 + Cm3). ~ 2 ¦L: M(1, 1, 1) چ‚ ` : x + 1 = 2y + 3 = 3z − 5 ²¡ π  „§. ) ` ²L: A(0, −1, 2), π {•þ† −−→AM 9 ` ••þ (1, 1 2 , 1 3 ) ÑR†§ π {•þ ~n = (1, 2, −1) × (1, 1 2 , 1 3 ) = (7 6 , −4 3 , −3 2 ). l Œ¦²¡ 𠄐§ 7x − 8y − 9z + 10 = 0. 4/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线点线线线面面曲面柱面锥面平面点面旋转面二次曲面坐标变换平面的参数方程在空间中，两条相交直线张成一个平面.设i=（u1,u2,u3）和=（V1,V2,V3）是平面元内的两个向量它们有公共起点M(a,b,c).对于平面元上任U意点P,都存在实数s,t使得MP=si+ti.于是点P的坐标（c,y,z）可表示为关于s,t+uM的一次函数(c,y,z)=(a+sui+tvi,b+su2+tv2,c+su3+tv3).从而=a+uis+vit(8.6)y=b+u2s+v2tz=c+us+Vgt.称（8.6）式为平面的参数方程，st为参数返回全屏关闭退出-5/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† ²¡ëꐧ 3m¥, ü^ƒ†‚ܤ‡²¡.  ~u = (u1, u2, u3) Ú ~v = (v1, v2, v3) ´²¡ π Sü‡•þ. §‚kú
å: M(a, b, c). éu²¡ π þ? ¿: P , Ñ3¢ê s, t ¦ −−→MP = s~u + t~v. u´: P ‹I (x, y, z) ŒL«'u s, t g¼ê M P ~u ~v (x, y, z) = (a + su1 + tv1, b + su2 + tv2, c + su3 + tv3). l    x = a + u1s + v1t y = b + u2s + v2t z = c + u3s + v3t. (8.6) ¡ (8.6) ª²¡ëꐧ, s, t ëê. 5/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线柱面平面点线点面线线面面曲面锥面旋转面二次曲面坐标变换例3求经过三点A(1,2,3),B(1,3,5),C(2,4,6)的平面元的参数方程和点法式方程解AB=(0,1,2)，AC=(1,2,3),故元的参数方程为a=1+ty=2+8+2tz=3+2s+3t.此平面的法向为n = AB × AC = (-1,2, -1),因此它的点法式方程为-(c -1)+2(y-2)- (z-3) = 0返回全屏关闭退出6/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† ~ 3 ¦²Ln: A(1, 2, 3), B(1, 3, 5), C(2, 4, 6)²¡ π ëꐧ Ú:{ª§. ) −→AB = (0, 1, 2)§ −→AC = (1, 2, 3),  π ëꐧ    x = 1 + t y = 2 + s + 2t z = 3 + 2s + 3t. d²¡{• ~n = −→AB × −→AC = (−1, 2, −1), Ïd§:{ª§ −(x − 1) + 2(y − 2) − (z − 3) = 0. 6/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线曲面柱面锥面平面点线点面线线面面旋转面二次曲面坐标变换直线的一般方程两个不平行的平面相交于一条直线e.当这个平面的方程由一般方程元1：A+B1y+Ciz+D1=0和元2：A2a+B2y+C2z+D2=0表示时，将这两个方程联立就得直线的方程Aic+Biy+Ciz+Di=0(8.7)A2C+B2y+C2z+D2=0称为直线e的一般方程，由于通过一条直线可以作无限多个平面，因此直线的一般方程不唯一平面的法向为π1=（A1,B1,C1)平面2的法向为π1=（A2,B2,C2)由于直线l垂直于元1也垂直于元2因此l的方向为元×元.于是从直线的一般方程中求出直线上一个点，就能写出直线的点向式方程反之，由直线e的点向式方程（8.3）（假设其中i≠0），也很容易地写出e的一般方程返回全屏关闭退出7/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† †‚„§ ü‡Ø²1²¡ƒu^†‚ `. ù‡²¡§ d„§ π1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 Ú π2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 L«ž, òùü‡§éáÒ†‚ ` §:    A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (8.7) ¡†‚ ` „§. duÏL^†‚Œ±ŠÃõ‡²¡, Ïd†‚ „§Ø. ²¡ π1 {• ~n1 = (A1, B1, C1), ²¡ π2 {• ~n1 = (A2, B2, C2). du†‚ ` R†u π1 R†u π2, Ïd ` • ~n1 × ~n2. u´l†‚ „§¥¦Ñ†‚þ‡:, ÒUц‚:•ª§. ‡ƒ, d†‚ ` :•ª§ (8.3)£bÙ¥u1 6= 0¤, éN´/Ñ ` „§. 7/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线平面点面线线面面曲面柱面锥面点线旋转面二次曲面坐标变换8.7.3点到直线的距离设直线过点A.方向向量为i.P为空-间中任意一点.过点P作直线e的垂线，垂足为 B. 因为 lu × API是 与 AP张成的平行四边形的面积,这面积也等于[u]·|AP}·sin0.0-iBA于是，点P到直线l的距离可表为lu× AP一d =|BP|=|AP|sin(8.8)[ai]+=+2z+3的距离为例4点（1,1,1)到直线5624[(2, -4, 2)]d = (4,5,6) × (2, 3, 4)771(4, 5, 6)1(4, 5, 6)|II返回全屏关闭退出-8/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† 8.7.3 :†‚ål †‚ ` L: A, ••þ ~u, P  m¥?¿:. L: P Š†‚ ` R‚, Rv  B. Ϗ |~u × −→AP | ´ ~u † −→AP ܤ²1 o>/¡È, ù¡Èu |~u| · |−→AP | ·sin θ. u´, : P †‚ ` ålŒL A B P ` ~u θ d = | −−→BP | = | −→AP |sin θ = |~u × −→AP | |~u| . (8.8) ~ 4 : (1, 1, 1) †‚ x+1 4 = y+2 5 = z+3 6 ål d = |(4, 5, 6) × (2, 3, 4)| |(4, 5, 6)| = |(2, −4, 2)| |(4, 5, 6)| = r 24 77 . 8/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线点面线线曲面柱面锥面平面点线面面旋转面二次曲面坐标变换8.7.4点到平面的距离设平面元的一般方程为Ac+By+Cz+D = 0,其法向量π = (A,B,C), M(αco,yo, zo)πP为平面 π上任意一点,P(α,y,z)为空间中任意一点.过点P作平面元的垂线，垂足为Q因为 IMPI在法向的投影的长为哥·MP,所MO以点 P到平面元的距离为d = [QP) = [n.MP)[A(α - co) + B(y - yo) + C(z - zo)l[n]VA2+B2+C2又点 M 在平面 π 上, 所以 Aco + Byo + Czo + D = 0, 由此得d = [QP] = IAa + By + Cz + D](8.9)VA? + B? + C2II返回全屏关闭退出-9/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† 8.7.4 :²¡ål ²¡ 𠄐§ Ax + By + Cz + D = 0, Ù{•þ ~n = (A, B, C), M(x0, y0, z0) ²¡ π þ?¿:, P (x, y, z) m¥? ¿:. L: P Š²¡ π R‚, Rv Q. Ϗ | −−→MP | 3{•ÝK ~n |~n| · −−→MP , ¤ ±: P ²¡ π ål M Q P π ~n d = | −→QP | = |~n · −−→MP | |~n| = |A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0)| √ A2 + B2 + C2 . q: M 3²¡ π þ, ¤± Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, dd d = | −→QP | = |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B2 + C2 . (8.9) 9/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

直线平面点线点面线线曲面柱面锥面面面旋转面二次曲面坐标变换两直线的位置关系8.7.5向量空间中的任意两条直线&1和e2它们可能共面（平行、相交、重合）或异面。设l过点A(a1,a2,a3),方向向量为=（u1,u2,3):l2过点B(bi,b2,b3),方向向量为 =(1,V2,V3),则 li与 l2共面的充分且必要条件是u,AB共面即(u ×u) .AB= 0.(8.10)共面情形当e和2共面时，如果与不平行，则称e和相交，它们所夹的锐角或直角d.称为这两条直线的夹角.当向量i与平行时，如果B在e上或者A在e2上，则它们重合，否则只是平行，当e和e2相交时它们的距离显然为零：当e和e平行时，l1和l的距离就等于点B到1的距离返回全屏退出关闭-10/38

†‚ ²¡ :‚ :¡ ‚‚ ¡¡ ­¡ Ρ I¡ ^=¡ g­¡ ‹IC† 8.7.5 ü†‚ 'X •þm¥?¿ü^†‚ `1 Ú `2, §‚ŒU
¡£²1!ƒ!­ ܤ½É¡" `1 L: A(a1, a2, a3), ••þ ~u = (u1, u2, u3); `2 L: B(b1, b2, b3), ••þ ~v = (v1, v2, v3), K `1 † `2
¡¿©…7‡^‡ ´ ~u, ~v, −→AB
¡, = (~u × ~v) · −→AB = 0. (8.10)
¡œ/:  `1 Ú `2
¡ž, XJ ~u † ~v ز1, K¡ `1 Ú `2 ƒ, §‚¤Y b½† φ, ¡ùü^†‚Y. •þ ~u † ~v ²1ž, XJ B 3 `1 þ½ö A 3 `2 þ, K§‚­Ü, ÄK´²1.  `1 Ú `2 ƒž, §‚å lw,";  `1 Ú `2 ²1ž, `1 Ú `2 ålÒu: B  `1 ål. 10/38 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ