《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（6/8）

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法$9.6多元函数的泰勒公式与极值9.6.1多元函数的中值定理设D CRn是一个开集.若对任意两点 a.bED.连接a,b的直线段都包含于D中,则称D是Rn中的一个凸区域定理1（微分中值定理）设D C IRn是凸区域，f：D→R在D 中可微则对D中任意两点a,b.在连接a,b的直线段上存在一点，使得f(b) - f(a) = Jf(ε)(b - a).注意，a,b都理解为列向量返回全屏关闭退出I-1/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ §9.6 õ¼êVúª†4Š 9.6.1 õ¼ê¥Š½n  D ⊂ Rn ´‡m8. eé?¿ü: a, b ∈ D, ë a, b †‚ãÑ ¹u D ¥, K¡ D ´ Rn ¥‡à«. ½n 1 (‡©¥Š½n)  D ⊂ Rn ´à«, f : D → R 3 D ¥Œ‡, Ké D ¥?¿ü: a, b, 3ë a, b †‚ãþ3: ξ, ¦ f(b) − f(a) = Jf(ξ)(b − a). 5¿, a, b Ñn)•þ. 1/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法证明连接a，b的直线段上的点可表为(t) = a + t(b - a), t E [0, 1]令p(t) = f(α(t)), t E [0,1]则(t)是[0,1] 上的可微函数.根据一元函数微分中值定理，知存在θE(0,1),使得p(1) - (0) = '(0).因为p'(t) = J(f o α) = Jf(α(t) · Jc(t) = Jf(α(t)(b - a);所以有f(b) - f(a) = Jf()(b - a)其中 = a+(b -α)返回全屏关闭退出I42/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ y² ë a, b †‚ãþ:ŒL x(t) = a + t(b − a), t ∈ [0, 1]. - ϕ(t) = f(x(t)), t ∈ [0, 1]. K ϕ(t) ´ [0, 1] þŒ‡¼ê. Šâ¼ê‡©¥Š½n, 3 θ ∈ (0, 1), ¦ ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ 0 (θ). Ϗ ϕ 0 (t) = J(f ◦ x) = Jf(x(t) · Jx(t) = Jf(x(t)(b − a), ¤±k f(b) − f(a) = Jf(ξ)(b − a), Ù¥ ξ = a + θ(b − a). 2/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法定理2 设D CRn是区域,f：D→R在D中可微.若在D中有Jf =0,则f在D上是一个常向量证明当D是凸区域时，结论可由中值定理推出.现在证结论对一般的区域成立.取 ao E D. 只要证对任意 y E D 有 f(co) = f(y). 因为 D 是连通的, 所以存在 D 中的曲线 L 连接 &o和 y.L 是 D 中一个有界闭集,它到 D 的边界的距离0.于是存在有限个小开球Bo, B1,·.., Bk C D使相邻的小球相交非空，且Co EBo, yEBk.注意到小球是凸区域，在每个小球上仍有Jf=0，所以f在每个小球上是常向量.由于这些小球是连接着的.因此有f(y)=f(aco)返回全屏关闭退出I3/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ ½n 2  D ⊂ Rn ´«, f : D → R 3 D ¥Œ‡. e3 D ¥k Jf = 0, K f 3 D þ´‡~•þ. y²  D ´à«ž, (،d¥Š½níÑ. y3y(Øé„ «¤á.  x0 ∈ D. ‡yé?¿ y ∈ D k f(x0) = f(y). Ϗ D ´ëÏ, ¤ ±3 D ¥­‚ L ë x0 Ú y. L ´ D ¥‡k.48, § D > .ål δ > 0. u´3k‡m¥ B0, B1, · · · , Bk ⊂ D ¦ƒ¥ƒš, … x0 ∈ B0, y ∈ Bk. 5¿¥´à«, 3z‡¥þEk Jf = 0, ¤± f 3z‡¥þ´~ •þ. duù ¥´ëX. Ïdk f(y) = f(x0). 3/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法9.6.2多元函数的泰勒公式引理1设k,n是正整数,αi,2,·,an是实数.那么有k!M(αi +... +an)k =201ET(9.1)a1Qn!i+.+an=k其中求和号表示要取遍所有和为k的非负整数α1，··,αn.说明：此引理是牛顿二项式展开式的推广，从下面的证明可以看出，引理中的 α1，，αn也可以不是实数，只要它们可以相加和相乘，且加法和乘法满足交换律就可以.比如用%代替i也可以.α=（α1，··，αn）称为多重指标, 记 [α| = α1 +·..+ αn, α! = αi!...αn!. 对于向量 = (αi,.·,Cn)记α=α1.··αan.于是(9.1)可表示为k!V(αi +...+an)k=Q!a|=kI返回全屏关闭退出4/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ 9.6.2 õ¼êVúª Ún 1  k, n ´ê, x1, x2, · · · , xn ´¢ê. @ok (x1 + · · · + xn) k = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! x α1 1 · · · x αn n , (9.1) Ù¥¦ÚÒL«‡H¤kڏ k šKê α1, · · · , αn. `²: dÚn´ÚÐmªí2, le¡y²Œ±wÑ, Ún ¥ x1, · · · , xn Œ±Ø´¢ê, ‡§‚Œ±ƒ\ڃ¦, …\{Ú¦{ ÷v†ÆҌ±. 'X^ ∂ ∂xi O xi Œ±. α = (α1, · · · , αn) ¡õ­ I, P |α| = α1 + · · · + αn, α! = α1! · · · αn!. éu•þ x = (x1, · · · , xn) P x α = x α1 1 · · · x αn n . u´ (9.1) ŒL« (x1 + · · · + xn) k = X |α|=k k! α! x α . 4/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法证明对n用归纳法.当n=1时，无需证明.当n=2时，(9.1)就是牛顿二项式展开.现设对于n一1个加项的展开式成立.因而(ai +...+ an)k= (ai + ... + an-1) + an)kk!=,(a1+...+ an-1)k-anamnan!(k - Qn)!!an=0kk!(k - αn)!=\...aaX1C1an!(k - an)!Qi!...an-i!Qn=0a1+..+an-1=k-ank!ZQ1Ta11 ai!...an!ai+.+an=k这就说明（9.1）对于n个加项的展开式成立.于是引理得证返回全屏关闭退出-5/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ y² é n ^8B{.  n = 1 ž, ÃIy².  n = 2 ž, (9.1) Ò´Ú î‘ªÐm. yéu n − 1 ‡\‘Ðmª¤á. Ï (x1 + · · · + xn) k = ￾ (x1 + · · · + xn−1) + xn
k = X k αn=0 k! αn!(k − αn)! (x1 + · · · + xn−1) k−αnx αn n = X k αn=0 k! αn!(k − αn)! X α1+···+αn−1=k−αn (k − αn)! α1! · · · αn−1! x α1 1 · · · x αn−1 n−1 x αn n = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! x α1 1 · · · x αn n . ùÒ`² (9.1) éu n ‡\‘Ðmª¤á. u´Úny. 5/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

中值定理引理Taylor公式极值条件极值Lagrange乘数法设f（c1，，an）是n元函数，有各种偏导数，且各种混合偏导数都连续,此时与最，可相加和相乘，加法和乘法有交换律.对于多重指标arα=(α1,…,an)和微分算子 D=(最，最，…·，最),记alalalalfD=D"f=Ocai...OranOaa1...Ocann定理3（Taylor公式）设UCRn是一个凸区域，f：U→R并且f E Cm+1(U). 再设 a= (a1, .·,an) 和 a+ h = (ai + hi,..·,an +hn) 是U 中两点. 则存在 θ E (0,1) 使得Df(a)f(a+h) =(9.2)h+RmQ!k=0 [α=k其中Daf(a + 0h)Zha(9.3)Rm =Q![α|=m+1返回全屏关闭退出6/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{  f(x1, · · · , xn) ´ n ¼ê, kˆ« ê, …ˆ«·Ü êÑ ëY, dž ∂ ∂xi † ∂ ∂xj Œƒ\ڃ¦, \{Ú¦{k†Æ. éuõ­I α = (α1, · · · , αn) ڇ©Žf D = ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , · · · , ∂ ∂xn ), P Dα = ∂ |α| ∂xα1 1 · · · ∂xαn n , Dαf = ∂ |α|f ∂xα1 1 · · · ∂xαn n . ½n 3 (Taylor úª)  U ⊂ Rn ´‡à«, f : U → R ¿… f ∈ Cm+1(U). 2 a = (a1, · · · , an) Ú a + h = (a1 + h1, · · · , an + hn) ´ U ¥ü:. K3 θ ∈ (0, 1) ¦ f(a + h) = X m k=0 X |α|=k Dαf(a) α! h α + Rm, (9.2) Ù¥ Rm = X |α|=m+1 Dαf(a + θh) α! h α . (9.3) 6/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法证明将f限制到a与a+h的连线上，即令p(t) = f(a + th), t E [0, 1].这是[0,1]上有m+1阶连续导数的一元函数根据一元函数Taylor公式，得() =1(m+1)0(m+(0), 0 (0,1).(9.4)k!k=0显然 (1) = f(a + h), (0) = f(a). 根据求导的链式法则,有(t) = Jf(a + th)h = f(a + th)hi + .. + f(a + th)hnana= (+..+hn)f(a+th):=pi(a+th).(+..+ hn)作用到这说明对(t)=f(a+th）求导，就是将算符f(a+th)上,因此a&+...+hnoong"(t) =f(a+th),hiari一般地,有ap(k)(t) =(+..+hn)f(a + th).返回全屏关闭退出7/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ y² ò f › a † a + h ë‚þ, =- ϕ(t) = f(a + th), t ∈ [0, 1]. ù´ [0, 1] þk m + 1 ëYê¼ê. Šâ¼ê Taylor úª,  ϕ(1) = X m k=0 ϕ(k) (0) k! + 1 (m + 1)! ϕ (m+1)(θ), θ ∈ (0, 1). (9.4) w, ϕ(1) = f(a + h), ϕ(0) = f(a). Šâ¦óª{K, k ϕ 0 (t) = Jf(a + th)h = ∂f ∂x1 (a + th)h1 + · · · + ∂f ∂xn (a + th)hn =  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn  f(a + th) := ϕ1(a + th). ù`²é ϕ(t) = f(a + th) ¦, Ò´òŽÎ  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn  Š^ f(a + th) þ, Ïd ϕ 00(t) =  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn 2 f(a + th), „/, k ϕ (k) (t) =  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn k f(a + th). 7/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法根据引理1.有a8+hirlnaank!Fa001hs.Oaa1...OcanQ!a1+.+an=kk!Zh"D"α![a|=k因此k!g(k)(0) =,Daf(a)ha![α|=k将此代入（9.4）即得所证总之，多元函数的Taylor公式的证明就是将函数限制到直线上，然后利用一元函数的Taylor公式，以及偏导数算符的加法和乘法的可交换性得到多元函数的Taylor公式的形式也与一元函数情形的公式类似返回全屏关闭退出-8/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ ŠâÚn 1, k  h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn k = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! h α1 1 · · · h αn n ∂ α1+···+αn ∂xα1 1 · · · ∂xαn n = X |α|=k k! α! h αDα . Ïd ϕ (k) (0) = X |α|=k k! α! Dαf(a)h α . òd\ (9.4) =¤y. oƒ, õ¼ê Taylor úªy²Ò´ò¼ê›†‚þ, ,￾| ^¼ê Taylor úª, ±9 êŽÎ\{Ú¦{Œ†5. õ¼ê Taylor úª/ª†¼êœ/úªaq. 8/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法特别重要的是Taylor公式中的前三项2(%(a)h +. + (a)hn)>f(a+h) = f(a) +(a)hihi +arroa2i,j=11= f(a) + Jf(a) h +=hHf(a)hT +.2其中f(a)a?fa(Drio(9.5)Hf(a) =:.a2faf(a)(a)Oa2Ocnoci是一个 n 阶对称方阵,称为 f 在 a 点的 Hessian.在原点展开的Taylor公式称为Maclaurin公式返回全屏关闭退出I4-9/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ AO­‡´ Taylor úª¥cn‘: f(a + h) = f(a) +  ∂f ∂x1 (a)h1 + · · · + ∂f ∂xn (a)hn  + 1 2 X n i,j=1 ∂ 2f ∂xi∂xj (a)hihj + · · · = f(a) + Jf(a) · h + 1 2 hHf(a)h T + · · · Ù¥ Hf(a) =   ∂ 2f ∂x2 1 (a) · · · ∂ 2f ∂x1∂xn (a) . . . . . . ∂ 2f ∂xn∂x1 (a) · · · ∂ 2f ∂x2 n (a)   (9.5) ´‡ n 顐 , ¡ f 3 a : Hessian. 3:Ðm Taylor úª¡Maclaurin úª. 9/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

引理极值中值定理Taylor公式条件极值Lagrange乘数法在二元函数f（c，y）的情形，Taylor公式的前三项展开是f(a+h,y+k)=f(a,y)+ (f'(a,y)h+f'(a,y)k)(Ah2 + 2Bhk + Ck2) + ..(9.6)其中 A = f(a,y), B= fu(a,y), C= fu(c,y)例 1 将函数 f(c,y)= e cosy的 Maclaurin 公式展开到二次项解先将f在（0,0）的值以及直到二阶的偏导数都算出来f(0, 0) = 1, f'(0, 0) = 1, f'(0, 0) = 0,fu(0, 0) = 1, fu(0, 0) = 0, fuu(0, 0) = -1,从而1=(c? - y°) + R2.e"cosy=l+a+2其中R2是余项返回全屏退出关闭10/27

¥Š½n Ún Taylor úª 4Š ^‡4Š Lagrange ¦ê{ 3¼ê f(x, y) œ/, Taylor úªcn‘Ðm´ f(x + h, y + k) = f(x, y) + ￾ f 0 x (x, y)h + f 0 y (x, y)k
+ 1 2 ￾ Ah2 + 2Bhk + Ck2
+ · · · (9.6) Ù¥ A = f 00 xx(x, y), B = f 00 xy(x, y), C = f 00 yy(x, y). ~ 1 ò¼ê f(x, y) = e x cos y  Maclaurin úªÐmg‘. ) kò f 3 (0, 0) Š±9† êюÑ5. f(0, 0) = 1, f0 x (0, 0) = 1, f0 y (0, 0) = 0, f 00 xx(0, 0) = 1, f00 xy(0, 0) = 0, f00 yy(0, 0) = −1, l e x cos y = 1 + x + 1 2 (x 2 − y 2 ) + R2. Ù¥ R2 ´{‘. 10/27 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ