《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第12章 Fourier分析（5/7）

内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式g12.2广义Fourier级数内积12.2.1定义1设%是R上的线性空间.从%×%到R的映射(α,y)E× →(α,y) ER称为 上的一个内积,若对于任意 ,y,zE ,α,βR,有正性1°<α,α)≥0,且(,)=0当且仅当=0.对称性2°(c,y) =(y,α)双线性30 (αa +βy,z) =α(a, z) +β(y,z)一个定义了内积的线性空间称为内积空间返回全屏关闭退出I1/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª §12.2 2 Fourier ?ê 12.2.1 SÈ ½Â 1  X ´ R þ‚5m, l X × X  R N: (x, y) ∈ X × X → hx, yi ∈ R ¡ X þ‡SÈ, eéu?¿ x, y, z ∈ X , α, β ∈ R, k 1 ◦ hx, xi > 0, … hx, xi = 0 …= x = 0. 5 2 ◦ hx, yi = hy, xi é¡5 3 ◦ hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi V‚5 ‡½Â SÈ‚5m¡SÈm. 1/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积勾股定理标准正交化完全性勒让德多项式Schwarts不等式广义Fourier级数在内积空间中可以定义范数和距离设 %是R上的内积空间.对于c E%,令Ilall = V(a,a).则 Ill是 % 上的一个范数. 对于 c,y E %,令d(c,y) = l - yll;则 d(α,y)是 %上的一个距离. 设和 n 是 中的点,若lim d(αn, ) = 0,n则称【an）收敛于a.若按照这样的收敛，空间%是完备的（即，%中的基本列收敛到中的元素)，则称%是希尔伯特(Hilbert)空间设c,yE%.若(α, y) = 0,则称为与y正交，记为a ly.II返回全屏关闭退出2/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª 3SÈm¥Œ±½Â‰êÚål.  X ´ R þSÈm. éu x ∈ X , - kxk = p hx, xi. K kxk ´ X þ‡‰ê. éu x, y ∈ X , - d(x, y) = kx − yk, K d(x, y) ´ X þ‡ål.  x Ú xn ´ X ¥:, e lim n→∞ d(xn, x) = 0, K¡ {xn} Âñu x. eUìùÂñ, m X ´ (=, X ¥Ä Âñ X ¥ƒ), K¡ X ´ FËA(Hilbert)m.  x, y ∈ X . e hx, yi = 0, K¡ x † y , P x ⊥ y. 2/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式引理1（Schwarts不等式）设a，y是内积空间%中的元素.则有Ka,y)/< lαllyll等式成立当且仅当&,y线性相关证明不妨设&，y都非零.对任意实数t有0≤ llta - yl2 = (ta - y,ta - y)= t2llαl12 - 2t(αc,y) + Ilyll2因此这个关于变量t的一元二次式的判别式为非正，即4(c, y)2 - 4α2llyll2 ≤ 0,因而, y)/≤ αl /yll等式成立仅当存在实数t使得tc一y=o,即,α,y线性相关返回全屏关闭退出II3/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª Ún 1 (Schwarts ت)  x, y ´SÈm X ¥ƒ. Kk |hx, yi| 6 kxk kyk. ª¤á…= x, y ‚5ƒ'. y² Ø x, y њ". é?¿¢ê t k 0 6 ktx − yk 2 = htx − y, tx − yi = t 2kxk 2 − 2thx, yi + kyk 2 , Ïdù‡'uCþ t gªOªš, =, 4hx, yi 2 − 4kxk 2kyk 2 6 0, Ï |hx, yi| 6 kxk kyk. ª¤á=3¢ê t ¦ tx − y = 0, =, x, y ‚5ƒ'. 3/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积勾股定理完全性勒让德多项式Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数设 M 是 %中的子集,若对任意 ,y E M,有0.cty(α, y)a=y,则称M是的一个规范正交集.中的一列元素[anl是规范正交集时就称为规范正交系引理2规范正交集是线性无关的证明设[e1,e2,.·,en}是规范正交的,且aiei + a2e2 +:..+ anen = 0.则ak = (akek, ek) =(aiei + .. + anen,ek) = (0,ek) = 0.这就说明［e1,e2，·，en］是线性无关的返回全屏关闭退出14/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª  M ´ X ¥f8, eé?¿ x, y ∈ M, k hx, yi =    0, x 6= y 1, x = y, K¡ M ´ X ‡5‰8. X ¥ƒ {xn} ´5‰8ž, Ò¡5‰X. Ún 2 5‰8´‚5Ã'. y²  {e1, e2, · · · , en} ´5‰, … a1e1 + a2e2 + · · · + anen = 0. K ak = hakek, eki = ha1e1 + · · · + anen, eki = h0, eki = 0. ùÒ`² {e1, e2, · · · , en} ´‚5Ã'. 4/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式引理3（勾股定理）设&,y是%中的元素且&工y.则有α +yl12= 112+ 1y12更一般地,设a1,α2,··,n是%中互相正交的元素,则有Ilai +C2 +..+ anll2= Iail2 + Ila2ll2 +..·+ Ilanll2.证明事实上,若i≠k,则有《acj,ak）=0,因而1'=(a,Zar)=(jk)j=1k=1j=1 k=1j=1=(aj,aj)j=1n=le;lj=1返回全屏关闭退出15/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª Ún 3 (½n)  x, y ´ X ¥ƒ… x ⊥ y. Kk kx + yk 2 = kxk 2 + kyk 2 . „/,  x1, x2, · · · , xn ´ X ¥pƒƒ, Kk kx1 + x2 + · · · + xnk 2 = kx1k 2 + kx2k 2 + · · · + kxnk 2 . y² ¯¢þ, e j 6= k, Kk hxj, xki = 0, Ï X n j=1 xj 2 = DX n j=1 xj, X n k=1 xk E = X n j=1 X n k=1 hxj, xki = X n j=1 hxj, xji = X n j=1 kxjk 2 5/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式Gram-Schmidt标准正交化设an是中一列线性无关的元素，可以构造规范正交系en使得ek是【a1，，ak}的线性组合第一步：取e1 = a1/llcill.第二步：令V2=C2-(α2,e1)e1则V2≠0,且V2上e1.令e2 = V2 / llV2ll.第三步假设【e1,e2，·，en-1}已构造好的．令n-1Un = an -(an, ek)ek.k=1则un≠ 0,且 n 1 ekk =1,2,..,n -1.令en =Un/llUnll.返回全屏关闭退出I6/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª Gram-Schmidt IOz  {xn} ´ X ¥‚5Ã'ƒ. Œ ±E5‰X {en} ¦ ek ´ {x1, · · · , xk} ‚5|Ü. 1Ú:  e1 = x1/kx1k. 1Ú: - v2 = x2 − hx2, e1ie1. K v2 6= 0, … v2 ⊥ e1. - e2 = v2/kv2k. 1nÚ: b {e1, e2, · · · , en−1} ®EÐ. - vn = xn − X n−1 k=1 hxn, ekiek. K vn 6= 0, … vn ⊥ ek k = 1, 2, · · · , n − 1. - en = vn/kvnk. 6/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积勾股定理完全性Schwarts不等式标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式12.2.2广义Fourier级数设{P1,.·，n，是内积空间%中一组规范正交系，对于fE%称an =<f,n)为f的广义Fourier系数.称n=anPn为f的广义Fourier级数，记为8f~anPn.n=1称形如nTakPkTmk=1(an都是实数）为n次一多项式.在所有n次g-多项式中，广义Fourier级数的前n项和Snakpkk=1到f的距离最短。事实上，因为返回全屏关闭退出7/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª 12.2.2 2 Fourier ?ê  {ϕ1, · · · , ϕn, · · · } ´SÈm X ¥|5‰X, éu f ∈ X ¡ an = hf, ϕni  f 2 Fourier Xê. ¡ P∞ n=1 anϕn  f 2 Fourier ?ê, P f ∼ X ∞ n=1 anϕn. ¡/X Gn = X n k=1 αkϕk (αn Ñ´¢ê)  n g ϕ−õ‘ª. 3¤k n g ϕ−õ‘ª¥, 2ÂFourier ?êc n ‘Ú Sn = X n k=1 akϕk  f ålá. ¯¢þ, Ϗ 7/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积Schwarts不等式勾股定理标准正交化广义Fourier级数完全性勒让德多项式2nakPk-f,akpk-fAn = IlGn - fl2 =k=1k=1= If - 2a +ok=1k=1m= Ilfll2 +(αk - ak)? -a1k=1k=1n%≥2 -k=1等号成立当且仅当αk=ak（k=1,2,·，n）时成立.因此,有8Za% f12.(12.1)k=1这称为广义Fourier级数的Bessel不等式返回全屏关闭退出II8/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª ∆n = kGn − fk 2 = DX n k=1 αkϕk − f,X n k=1 αkϕk − f E = kfk 2 − 2 X n k=1 akαk + X n k=1 α 2 k = kfk 2 + X n k=1 (αk − ak) 2 − X n k=1 a 2 k > kfk 2 − X n k=1 a 2 k , Ò¤á…= αk = ak (k = 1, 2, · · · , n) ž¤á. Ïd, k X ∞ k=1 a 2 k 6 kfk 2 . (12.1) ù¡2 Fourier ?ê Bessel ت. 8/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积Schwarts不等式勾股定理完全性标准正交化广义Fourier级数勒让德多项式完全规范正交集12.2.3定义2设%是一个内积空间，M是%的一个规范正交集，若M张成的线性空间 span(M)在% 中稠密，即span(M) = %,则称M是完全规范正交集定理1设%是一个内积空间，若M是%的一个完全规范正交集，则(12.2)c1Ma=0证明 设 E %且 I M.因为 M是完全的,所以存在nEM,使得 n →a,即, an—ll→0返回全屏关闭退出I49/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª 12.2.3 5‰8 ½Â 2  X ´‡SÈm, M ´ X ‡5‰8, e M ܤ ‚5m span(M) 3 X ¥È, = span(M) = X , K¡ M ´5‰8. ½n 1  X ´‡SÈm. e M ´ X ‡5‰8, K x ⊥ M =⇒ x = 0. (12.2) y²  x ∈ X … x ⊥ M. Ϗ M ´, ¤±3 xn ∈ M, ¦  xn → x, =, kxn − xk → 0. 9/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

内积Schwarts不等式勾股定理标准正交化广义Fourier级数完全性勒让德多项式因为Ilan-αl2=(an-,an-α)= llanll2-2α,an)+ llαl12= I/αcn/12 + Ilαl12≥I/a12,所以必有=0,因而=0.定理2设%是一个希尔伯特空间.若M={P1,P2·是%的一个规范正交系，则M是完全规范正交系的充分必要条件是：对任意fE%，有Parseval等式8Za% = IIf,(12.3)k=1其中ak=《f,Pk）是f 的广义Fourier系数返回退出全屏关闭=10/18

SÈ Schwarts ت ½n IOz 2 Fourier ?ê 5 V4õ‘ª Ϗ kxn − xk 2 = hxn − x, xn − xi = kxnk 2 − 2hx, xni + kxk 2 = kxnk 2 + kxk 2 > kxk 2 , ¤±7k kxk = 0, Ï x = 0. ½n 2  X ´‡FËAm. e M = {ϕ1, ϕ2 · · · } ´ X ‡5 ‰X, K M ´5‰X¿©7‡^‡´: é?¿ f ∈ X , k Parseval ª X ∞ k=1 a 2 k = kfk 2 , (12.3) Ù¥ ak = hf, ϕki ´ f 2 Fourier Xê. 10/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ