《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第12章 Fourier分析（3/7）

三角多项式几个推论范数和距离平方平均收敛Bessel不等式12.1.5Bessel 不等式与平方平均收敛设 C[一元,元] 是[一元,元] 上连续函数全体.对于 f E C[一元,元],令Ilfllo = max If(α).TS易知 If]lo 是 C[一π,π] 上一个范数(模), 即(正性)1°flo≥ 0, 且 flo = 0f = 0;(齐性)2°对于正数 入有 入fo=入lfIlo3°(三角不等式)对于 f, g E C[一π, 元], 有 Ilf + gllo ≤ IlfIlo + Ilgllo;C[一元，元]上的这个范数可以诱导出一个距离，即d(f,g) = llf - gllo(正性)1°d(f,g) ≥ 0, 且 d(f,g) = 0 ←→ f = g;2°(对称性)d(f, g) = d(g, f);30对于 f,g, h E C[一π, π],有 d(f,g) ≤ d(f, h) + d(h,g); (三角不等式)I-I返回全屏关闭退出1/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ 12.1.5 Bessel ت†²²þÂñ  C[−π, π] ´ [−π, π] þëY¼êN. éu f ∈ C[−π, π], - kfk0 = max −π6x6π |f(x)|. ´ kfk0 ´ C[−π, π] þ‡‰ê(), = 1 ◦ kfk0 > 0, … kfk0 = 0 ⇐⇒ f = 0; (5) 2 ◦ éuê λ k kλfk0 = λkfk0; (à5) 3 ◦ éu f, g ∈ C[−π, π], k kf + gk0 6 kfk0 + kgk0; (nت) C[−π, π] þù‡‰êŒ±pчål, = d(f, g) = kf − gk0 1 ◦ d(f, g) > 0, … d(f, g) = 0 ⇐⇒ f = g; (5) 2 ◦ d(f, g) = d(g, f); (é¡5) 3 ◦ éu f, g, h ∈ C[−π, π], k d(f, g) 6 d(f, h) + d(h, g); (nت) 1/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

范数和距离平方平均收敛三角多项式Bessel不等式几个推论当f(一元）=f(元)且f 在[一元,元]上连续且分段光滑时,由Dirichlet定理知 f 的 Fourier 级数在[一π,元] 上一致收敛于 f(αc),即(1)lim ITn(α) 一 f(α)Ilo = 0,0这里naoZ(2)Tn(α)akcoska + bksinka2k=1是f(α)的Fourier级数前n项部分和一般称形如+>(3)Sn(α) =akcoska+βisinkack=1的函数为n次三角多项式，（1）式表示连续且分段光滑的函数可由三角多项式一致逼近返回全屏关闭退出I42/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ  f(−π) = f(π) … f 3 [−π, π] þëY…©ã1wž, d Dirichlet ½ n f  Fourier ?ê3 [−π, π] þÂñu f(x), = lim n→∞ kTn(x) − f(x)k0 = 0, (1) ùp Tn(x) = a0 2 + X n k=1  ak cos kx + bk sin kx (2) ´ f(x)  Fourier ?êc n ‘Ü©Ú. „¡/X Sn(x) = α0 2 + X n k=1  αk cos kx + βk sin kx (3) ¼ê n gnõ‘ª, (1) ªL«ëY…©ã1w¼êŒdnõ‘ ª%C. 2/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

范数和距离平方平均收敛三角多项式Bessel不等式几个推论设 L[一π,元] 是[一π,元]上可积且平方可积的函数全体（即,对于 f EL[一π,元],若f(α)有界,则f ER[一元,元]. 若 f(α)无界,则f 和 f2 都广义可积).对于 f, g E L2[一元,元], 令<f,g) = f(α)g(α) dc.T则《f,9)是L[一元,元]上一个内积,令Ilf - gll = V(f - g, f -g).可以验证 f一gl 是 L[一元,元] 上一个距离问题1 对于f EL2[一元,元]是否存在一列三角多项式 Sn(α)使得(4)lim IISn(α) - f(αc)Il = 0n0返回全屏关闭退出I-3/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ  L2 [−π, π] ´ [−π, π] þŒÈ…²ŒÈ¼êN (=, éu f ∈ L2 [−π, π], e f(x) k., K f ∈ R[−π, π]. e f(x) Ã., K f Ú f 2 Ñ2 ŒÈ). éu f, g ∈ L2 [−π, π], - hf, gi = 1 π Z π −π f(x)g(x) dx. K hf, gi ´ L2 [−π, π] þ‡SÈ, - kf − gk = p hf − g, f − gi. Œ±y kf − gk ´ L2 [−π, π] þ‡ål. ¯K 1 éu f ∈ L2 [−π, π] ´Ä3nõ‘ª Sn(x) ¦ lim n→∞ kSn(x) − f(x)k = 0. (4) 3/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

范数和距离三角多项式几个推论平方平均收敛Bessel不等式(4) 式也可以写为(Sn(a) - f(a)" da = 0.lim(5)nT若 (5)成立,则称三角多项式列[Sn(α))平方平均收敛于 f(αc).设 f E L?[一π, π], Sn(α) 是由 (3) 式表示的 n 次三角多项式1(Sn(a) - f(α))"da = (Sn(a) - f(α), Sn(c) - f(α))An : =元= (f, f) - 2(f, Sn) + (Sn, Sn).设 ao, ai,·.·,及 bi, b2,··，是 f(a)的 Fourier 系数.则o (ak cos ka + βr sin ka+f.(f, Sn) =k=2aoao(akak + βbk).2k=1返回全屏关闭退出4/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ (4) ªŒ± lim n→∞ 1 π Z π −π ￾ Sn(x) − f(x)
2 dx = 0. (5) e (5) ¤á, K¡nõ‘ª {Sn(x)} ²²þÂñu f(x).  f ∈ L2 [−π, π], Sn(x) ´d (3) ªL« n gnõ‘ª. ∆n : = 1 π Z π −π ￾ Sn(x) − f(x)
2 dx = hSn(x) − f(x), Sn(x) − f(x)i = hf, fi − 2hf, Sni + hSn, Sni.  a0, a1, · · · , 9 b1, b2, · · · , ´ f(x)  Fourier Xê. K hf, Sni = * f, α0 2 + X n k=1  αk cos kx + βk sin kx + = α0a0 2 + X n k=1 ￾ αkak + βkbk
. 4/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三角多项式几个推论范数和距离平方平均收敛Bessel不等式再根据三角函数系的正交性，有2aoQo+ak coska + Bu sin ka>ak cos ka + βu sin ka(Sn,Sn)+2k=1k=na≥(ai + 院).+2k=1于是2a+Z(%+ 阳)An = (f, f) - Qoao - 2 (akak + βBibk)+2k=1k=17(αo - ao)2 [(αk - ar) + (βk - br)]十=<f, f) +2k=1a-Z(α +b)(6)2k=1a?11x(7)7f2(α) da.22元k=返回全屏关闭退出1I5/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ 2Šân¼êX5, k hSn, Sni = * α0 2 + X n k=1  αk cos kx + βk sin kx , α0 2 + X n k=1  αk cos kx + βk sin kx + = α2 0 2 + X n k=1 ￾ α 2 k + β 2 k
. u´ ∆n = hf, fi − α0a0 − 2 X n k=1 ￾ αkak + βkbk
+ α2 0 2 + X n k=1 ￾ α 2 k + β 2 k
= hf, fi + (α0 − a0) 2 2 + X n k=1 (αk − ak) 2 + (βk − bk) 2 − a 2 0 2 − X n k=1  a 2 k + b 2 k  (6) > 1 π Z π −π f 2 (x) dx − a 2 0 2 + X n k=1  a 2 k + b 2 k  ! . (7) 5/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平方平均收敛三角多项式几个推论范数和距离Bessel不等式（7)式表明只有当αk=ak，βk=bk时，△n才取到最小值.也就是说在所有n次三角多项式中，由f（a）的Fourier系数所确定的Tn（a）到f(）的距离最小根据（7）式可得到ag(a%+)≤ [~ f(a) de,(8)2k=1这称为Bessel不等式事实上，有等式a+(α +b%) == /f(a) da,(9)2h=1这称为Parseval等式返回全屏关闭退出6/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ (7) ªL²k αk = ak, βk = bk ž, ∆n ⁊. Ò´`3 ¤k n gnõ‘ª¥, d f(x)  Fourier Xê¤(½ Tn(x)  f(x)  ål. Šâ (7) ªŒ a 2 0 2 + X n k=1  a 2 k + b 2 k  6 1 π Z π −π f 2 (x) dx, (8) ù¡ Bessel ت. ¯¢þ, kª a 2 0 2 + X ∞ k=1  a 2 k + b 2 k  = 1 π Z π −π f 2 (x) dx, (9) ù¡ Parseval ª. 6/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平方平均收敛三角多项式几个推论范数和距离Bessel不等式根据（6）式，有(Tn(α) - f(α) dcIITn(α) - f(c)I2 元1aZ+aif(α) da -bX2元k=而Parseval等式说明了lim /Tn(α)-f(α)Il =0,n→αx即，f(α）的Fourier级数的部分和Tn（α）平方平均收敛于f(a）.这就给出了问题1的肯定性回答返回全屏关闭退出7/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ Šâ (6) ª, k kTn(x) − f(x)k 2 = 1 π Z π −π ￾ Tn(x) − f(x)
2 dx = 1 π Z π −π f 2 (x) dx − a 2 0 2 + X n k=1  a 2 k + b 2 k  ! . Parseval ª`² lim n→∞ kTn(x) − f(x)k = 0, =, f(x)  Fourier ?êÜ©Ú Tn(x) ²²þÂñu f(x). ùÒ‰Ñ ¯ K 1 ’½5£‰. 7/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

平方平均收敛三角多项式Bessel不等式几个推论范数和距离例 1 因为14Z三=2(一元 ≤α ≤ 元). cos(2k - 1)α,一(2k - 1)2元k所以根据 Parseval 等式，有82元2T161Z2dcX23(2k — 1)4元2元一元k=1由此可得8元41Z96'(2k - 1)4k=1接着有121-20Z+(2k - 1)416k4k=la-.因而8T41Zk490k=11I-返回全屏关闭退出-8/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ ~ 1 Ϗ |x| = π 2 − 4 π X ∞ k=1 1 (2k − 1)2 cos(2k − 1)x, (−π 6 x 6 π). ¤±Šâ Parseval ª, k π 2 2 + X ∞ k=1 16 (2k − 1)4π2 = 1 π Z π −π x 2 dx = 2π 2 3 . ddŒ X ∞ k=1 1 (2k − 1)4 = π 4 96 , Xk X ∞ k=1 1 k4 = X ∞ k=1 1 (2k − 1)4 + X ∞ k=1 1 16k4 , Ï X ∞ k=1 1 k4 = π 4 90 . 8/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

三角多项式几个推论范数和距离平方平均收敛Bessel不等式推论1 设f(α)是「一π,元]上可积且平方可积函数,anl,[bn是f(α的Fourier系数，则有lim an = 0,lim bn = 0,n→8n-80即07limlimf(α) sin na d = 0.f(α)cosna da = 0,n-→αn-8一般地,有引理1（Riemann-Lebesgue）设f(a）是[a,b]上可积或绝对可积函数(即，若f有界，则fRiemann可积；若f无界，则fl广义可积)，则有r68limlimf(α) sin a d = 0.f() cos a da = 0,1+81+8O0II返回全屏关闭退出9/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ íØ 1  f(x) ´ [−π, π] þŒÈ…²ŒÈ¼ê, {an}, {bn} ´ f(x)  Fourier Xê, Kk lim n→∞ an = 0, lim n→∞ bn = 0, = lim n→∞ Z π −π f(x) cos nx dx = 0, lim n→∞ Z π −π f(x) sin nx dx = 0. „/, k Ún 1 (Riemann-Lebesgue)  f(x) ´ [a, b] þŒÈ½ýéŒÈ¼ê(=, e f k., K f Riemann ŒÈ; e f Ã., K |f| 2ŒÈ), Kk lim λ→+∞ Z b a f(x) cos λx dx = 0, lim λ→+∞ Z b a f(x) sin λx dx = 0. 9/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

范数和距离平方平均收敛三角多项式Bessel不等式几个推论推论2设f(α)在[一元，元]上连续，且f(α）与三角函数系1, cos, sina, ..., cosnc, sinn,..中每个函数都正交，则f(α）三0.证明由条件知f（a）的Fourier系数都为O,因而由Parseval等式知f2(c) dc = 0.由于f(c)是连续函数，上式蕴含 f(α)三0.推论 3设f(α)和g(α)都在[一π,元] 上连续，且他们有相同的Fourier系数则 f(α) 三 g(α).返回退出全屏关闭10/17

‰êÚål ²²þÂñ nõ‘ª Bessel ت A‡íØ íØ 2  f(x) 3 [−π, π] þëY, … f(x) †n¼êX 1, cos x, sin x, · · · , cos nx, sin nx, · · · ¥z‡¼êÑ, K f(x) ≡ 0. y² d^‡ f(x)  Fourier Xêя 0, Ï d Parseval ª Z π −π f 2 (x) dx = 0. du f(x) ´ëY¼ê, þª%¹ f(x) ≡ 0. íØ 3  f(x) Ú g(x) Ñ3 [−π, π] þëY, …¦‚kƒÓ Fourier Xê, K f(x) ≡ g(x). 10/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ