《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第12章 Fourier分析（2/7）

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理12.1.3函数的Fourier级数展开定理1（Dirichlet）设函数f(α）以2元为周期1°如果函数在任何有限区间上是逐段光滑的，则它的Fourier级数在整个数轴上都收敛，且f(α + 0) + f(α - 0)ao(an cos na + bn sin na) = f22n=12°如果函数处处连续，且在任何有限区间上是逐段光滑的，则其Fourier级数就在整个数轴上绝对一致收敛于f(c）注，这里所谓函数f(α）在有限区间上逐段光滑是指函数除有限个点外f(α)连续且有连续的微商f'(α),而这有限个点只能是 f(a)或f'(α)的第一类间断点，返回全屏关闭退出II1/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª 12.1.3 ¼ê Fourier ?êÐm ½n 1 (Dirichlet) ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 1 ◦ XJ¼ê3?Ûk«mþ´Åã1w, K§ Fourier ?ê3‡ ê¶þÑÂñ, … a0 2 + X ∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx) = f(x + 0) + f(x − 0) 2 ; 2 ◦ XJ¼ê??ëY, …3?Ûk«mþ´Åã1w, KÙ Fourier ? êÒ3‡ê¶þýéÂñu f(x). 5, ùp¤¢¼ê f(x) 3k«mþÅã1w´¼êØk‡: , f(x) ëY…këY‡û f 0 (x), ùk‡:U´ f(x) ½ f 0 (x) 1 amä:. 1/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理例1设—≤<0f(), 0≤<元根据前面的例子，有(-1)n+1(-1)n- 1f(a)～+(1)sinnacosna+n2元n2.由收敛性定理知，在区间（一π，元）中上式应为等式.取=0,得8(-1)n - 1TZ= 0,十4n2元n=1即,8721Z8(2n - 1)2n=返回全屏关闭退出II2/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ~ 1  f(x) = ( 0, −π 6 x < 0 x, 0 6 x < π Šâc¡~f, k f(x) ∼ π 4 + X ∞ n=1  (−1)n − 1 n2π cos nx + (−1)n+1 n sin nx . (1) dÂñ5½n, 3«m (−π, π) ¥þªAª.  x = 0,  π 4 + X ∞ n=1 (−1)n − 1 n2π = 0, =, X ∞ n=1 1 (2n − 1)2 = π 2 8 . 2/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理进一步,有XX2=2K(2n)2=X(2n - 1)2 +224n=1n=1-n=于是有8721Zn26n=18(-1)n-1V又因为绝对收敛，所以n2n=188X-1)n-11ZZZ二(2n)2n2(2n - 1)2n=1n=1n元1Rα72元2111Z18n28446n=1之12II返回全屏关闭退出3/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ?Ú, k X ∞ n=1 1 n2 = X ∞ n=1 1 (2n − 1)2 + X ∞ n=1 1 (2n) 2 = π 2 8 + 1 4 X ∞ n=1 1 n2 . u´k X ∞ n=1 1 n2 = π 2 6 . qϏ X ∞ n=1 (−1)n−1 n2 ýéÂñ, ¤± X ∞ n=1 (−1)n−1 n2 = X ∞ n=1 1 (2n − 1)2 − X ∞ n=1 1 (2n) 2 = π 2 8 − 1 4 X ∞ n=1 1 n2 = π 2 8 − 1 4 · π 2 6 = π 2 12 . 3/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理在 (1) 中取α =得X-1)n-1)n-1nTnTT一π-4+Z+sincOS十2'n2元22nn=1因而81(2n - 1)元元Zsin4'22n -.1n=1即8-1)n-1TZ42n - 1n=l返回全全屏关闭退出4/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª 3 (1) ¥ x = π 2  π 4 + X ∞ n=1  (−1)n − 1 n2π cos nπ 2 + (−1)n−1 n sin nπ 2  = π 2 , Ï X ∞ n=1 1 2n − 1 sin (2n − 1)π 2 = π 4 , = X ∞ n=1 (−1)n−1 2n − 1 = π 4 . 4/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

复数形式Dirichlet收敛定理余弦级数正弦级数当f(α)是[一π,] 上的偶函数时,f(α）以2元为周期延拓到（一80,十)之后也是偶函数，此时bn=_ [" f(α) sinnc dc = 0 (n = 1, 2, :)元-7因此f(aα）的Fourier级数为8ao2an cosn,2n=1其中2f(c) cos nc dc.an=π Jo这种形式的三角级数称为余弦级数返回全屏关闭退出二5/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª  f(x) ´ [−π, π] þó¼êž, f(x) ± 2𠏱Ïòÿ (−∞, +∞) ƒ￾´ó¼ê, dž, bn = 1 π Z π −π f(x) sin nx dx = 0 (n = 1, 2, · · ·). Ïd f(x)  Fourier ?ê a0 2 + X ∞ n=1 an cos nx, Ù¥ an = 2 π Z π 0 f(x) cos nx dx. ù«/ªn?ꡏ{u?ê. 5/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数复数形式Dirichlet收敛定理正弦级数同理，当f（α）是【一元，元】上的奇函数时，f（c）以2元为周期延拓到（一80，十）之后使之成为奇函数，此时an=f()cosnadc=0(n=0,1,2,...)元因此f（a）的Fourier级数为8tbn sinna,n=1其中2bn=f(a) sinna dc.元Jo这种形式的三角级数称为正弦级数返回全屏关闭退出6/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª Ón,  f(x) ´ [−π, π] þÛ¼êž, f(x) ± 2𠏱Ïòÿ (−∞, +∞) ƒ￾¦ƒ¤Û¼ê, dž, an = 1 π Z π −π f(x) cos nx dx = 0 (n = 0, 1, 2, · · ·). Ïd f(x)  Fourier ?ê X ∞ n=1 bn sin nx, Ù¥ bn = 2 π Z π 0 f(x) sin nx dx. ù«/ªn?ꡏu?ê. 6/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理例2设在【一元，元]上，f（α）=α，它可延拓成为整个直线上以2元为周期的周期函数.而且是连续的因此根据Fourier系数的计算公式得bn=0，CT元21f(α)da =da=元，ao元元Jo个112f(c)cos nadaacosnrdr一an元元1072[(-1)n - 1]n2元4当n=2k-1.(2k-1)2元当n=2k;0,所以它的展开式只含余弦函数项，且展开式是一致收敛的.因此4元α|=(2k - 1)2 cos(2k - 1)a, (（-8<C<+82元返回全屏关闭退出?7/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ~ 2 3 [−π, π]þ, f(x) = |x|, §Œòÿ¤‡†‚þ± 2𠏱 ϱϼê, …´ëY. ÏdŠâ Fourier XêOŽúª bn = 0, a0 = 1 π Z π −π f(x)dx = 2 π Z π 0 xdx = π, an = 1 π Z π −π f(x) cos nxdx = 2 π Z π 0 x cos nxdx = 2 n2π [(−1)n − 1] =    − 4 (2k−1)2π ,  n = 2k − 1. 0,  n = 2k; ¤±§Ðmª¹{u¼ê‘, …Ðmª´Âñ. Ïd |x| = π 2 − 4 π X ∞ k=1 1 (2k − 1)2 cos(2k − 1)x, (−∞ < x < +∞). 7/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理例3周期为2元的锯齿函数(元 - α),0< ≤2元f(α) =f( - 2n元), 2n元 < α≤ 2(n +1)元,n 是整数的Fourier级数为8sinnaAf(α) ~nn=1所以8sin naA(0 < < 2元).nn=1返回全屏关闭退出8/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ~ 3 ±Ï 2π 縼ê f(x) = ( 1 2 (π − x), 0 < x 6 2π f(x − 2nπ), 2nπ < x 6 2(n + 1)π, n ´ê  Fourier ?ê f(x) ∼ X ∞ n=1 sin nx n . ¤± 1 2 (π − x) = X ∞ n=1 sin nx n , (0 < x < 2π). 8/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理例 4 求函数 f(α) = cosαa ( 1cos aacosnaa元α+nnQn=1令=0,可得11元Z(-1)nsinαTaα+nn=1II-I返回全屏关闭退出9/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ~ 4 ¦¼ê f(x) = cos αx (0 < α < 1) 3«m [−π, π] þ Fourier ? êÐm. ) du cos αx ´ó¼ê, § Fourier ?ê{u?ê. a0 = 2 π Z π 0 cos αx dx = 2 sin απ πα , an = 2 π Z π 0 cos αx cos nx dx = sin απ π (−1)n  1 α + n + 1 α − n  (n = 1, 2, · · ·). u´ |x| 6 π ž, k cos αx = sin απ π " 1 α + X ∞ n=1 (−1)n  1 α + n + 1 α − n  cos nx# . - x = 0, Œ 1 α + X ∞ n=1 (−1)n  1 α + n + 1 α − n  = π sin απ . 9/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理有限区间上的Fourier级数1)若f(α）在[一e,e）上有定义，则以2e为周期延拓到（一o0,+o）上后f(a)的Fourier级数为8n元n元aoZf(α) ~a+bnsin十ancosl2ln=1其中n元f(ac) cosadc,(n = 0,1, )an&ln元bnf(α) sindc,(n=1,...).&注 考察函数 g(t) = f(竺) 的 Fourier 级数返回退出全屏关闭10/18

Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª k«mþ Fourier ?ê 1) e f(x) 3 [−`, `) þk½Â, K± 2` ±Ïòÿ (−∞, +∞) þ￾, f(x)  Fourier ?ê f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1  an cos nπ ` x + bn sin nπ ` x  , Ù¥ an = 1 ` Z ` −` f(x) cos nπ ` x dx, (n = 0, 1, · · ·) bn = 1 ` Z ` −` f(x) sin nπ ` x dx, (n = 1, · · ·). 5  ¼ê g(t) = f( `t π )  Fourier ?ê. 10/18 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ