《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第12章 Fourier分析（1/7）

热流问题 分离变量法 周期函数 正交性 Fourier 级数 第 12章 Fourier 分析 一维杆状物体的热流问题即在一个长度为1的长杆上，两端保持零度， 初始的温度分布为f(x),随着时间的演化，k是比热系数，求t时刻的温度分 布T(x,t). 0 X 该问题的数学模型为 gur -ror.lce,t) (1) T(0,t)=T(l,t)=0,(t>0)(边界条件) (2) T(x,0)=f(x),0<x<l (初始条件) (3) 11 返回 全屏 关闭 退出 1/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê 1 12 Ù Fourier ©Û ‘\GÔN96¯K =3‡ݏ l \þ, üà±"Ý, Щ§Ý©Ù f(x), ‘Xžmüz, k ´'9Xê, ¦ t ž§Ý© Ù T (x, t). O x x ` T¯KêÆ.    ∂ 2T ∂x2 = k 2 ∂T ∂t , T = T (x, t) (1) T (0, t) = T (`, t) = 0, (t > 0) £>.^‡¤ (2) T (x, 0) = f(x), 0 < x < ` £Ð©^‡¤ (3) 1/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

热流问题分离变量法周期函数正交性Fourier级数分离变量法设时间变量与位置变量是分离的T(a,t) = p(α)(t).将此代入(1)式得到p"(α)(t) = k"p()'(t即'(t)p"(c)(4)k2p(c)(t)因为 与 t是独立的变量,所以（4)式表明s"(αc)'(t)一入k2p(c)(t)其中入是常数，根据温度变化的特点，有入>0.因此(5)p"(c) + 入k2(α) = 0,(6)(t) + ^(t) = 0.I返回全屏关闭退出2/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê ©lCþ{ žmCþ† Cþ´©l: T (x, t) = ϕ(x)ψ(t). òd\ (1) ª  ϕ 00(x)ψ(t) = k 2ϕ(x)ψ 0 (t) = ϕ00(x) k2ϕ(x) = ψ0 (t) ψ(t) . (4) Ϗ x † t ´ÕáCþ, ¤± (4) ªL² ϕ00(x) k2ϕ(x) = ψ0 (t) ψ(t) = −λ, Ù¥ λ ´~ê, Šâ§ÝCzA:, k λ > 0. Ïd ϕ 00(x) + λk2ϕ(x) = 0, (5) ψ 0 (t) + λψ(t) = 0. (6) 2/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

热流问题分离变量法周期函数正交性Fourier级数当 k = 1 时, (5)式的通解为p(c) = b sin(Va + c).由边界条件(2) 知 c = 0, Ve = n元, (n = 1, 2,..)m元）入= 入n =(7)将(7)代入(6)式,得到n(t) = exp (-("T)"t) .因此,方程(5),(6)有一组解n元bn(t) = exp (-(T)"t) .Pn(α) = bn sin.l所以nTTn(c,t) = bn exp (-(r)*tsinc, n=1,2.l是一列满足(1),(2)的解返回全屏关闭退出I3/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê  k = 1 ž, (5) ªÏ) ϕ(x) = b sin(√ λx + c). d>.^‡ (2)  c = 0, √ λ` = nπ, (n = 1, 2, · · ·) λ = λn = nπ ` 2 . (7) ò (7) \ (6) ª,  ψn(t) = exp  − ￾nπ `
2 t  . Ïd, § (5), (6) k|): ϕn(x) = bn sin nπ ` x, ψn(t) = exp  − ￾nπ `
2 t  . ¤± Tn(x, t) = bn exp  − ￾nπ `
2 t  sin nπ ` x, n = 1, 2 · · · ´÷v (1), (2) ). 3/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

分离变量法周期函数正交性Fourier级数热流问题因为方程（1）是线性的.所以（1）的通解为n元T(a, t) = bn exp (-("元)t)(8)厂sin0n=1再根据初始条件(3)，应有8元f(a) =(9)bn sin.en=1因此，只要存在一列常数{b,1使得(9)成立，则（8)就是所求问题的解问题函数f(α）是否一定可以表示为(9)式右端的级数？如果可以有这样的表示，那么怎样求系数bn？返回全屏关闭退出4/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê Ϗ§ (1) ´‚5, ¤± (1) Ï) T (x, t) = X ∞ n=1 bn exp  − ￾nπ `
2 t  sin nπ ` x, (8) 2ŠâЩ^‡ (3), Ak f(x) = X ∞ n=1 bn sin nπ ` x. (9) Ïd, ‡3~ê {bn} ¦ (9) ¤á, K (8) Ò´¤¦¯K). ¯K ¼ê f(x) ´Ä½Œ±L« (9) ªmà?ê? XJŒ±k ùL«, @oN¦Xê bn ? 4/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

正交性热流问题分离变量法周期函数Fourier级数g12.1函数的Fourier级数12.1.1周期函数及函数的周期延拓周期函数 若 f(α)在（一αo,+o)上有定义,且存在 T>0 使得f(+T) = f(α), V E(-0,+oo),则称 f(α)是一个周期函数, T 是 f(α)的一个周期1) 若 T 是 f(α) 的周期,则 nT (n E Z) 也是2）若 f(αc）在有限区间上可积,T是它的周期,则ca+Tf(α) daf(c)da =C返回全屏关闭退出二5/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê §12.1 ¼ê Fourier ?ê 12.1.1 ±Ï¼ê9¼ê±Ïòÿ ±Ï¼ê e f(x) 3 (−∞, +∞) þk½Â, …3 T > 0 ¦ f(x + T ) = f(x), ∀ x ∈ (−∞, +∞), K¡ f(x) ´‡±Ï¼ê, T ´ f(x) ‡±Ï. 1) e T ´ f(x) ±Ï, K nT (n ∈ Z) ´. 2) e f(x) 3k«mþŒÈ, T ´§±Ï, K Z a+T a f(x) dx = Z T 0 f(x) dx. 5/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

热流问题周期函数正交性分离变量法Fourier级数3）若f（α）在（一l,e）上有定义，则f(α-2nl), (2n-1)e<a< (2n+1)eF(α) =f(e)+f(-),a=(2n+1)e2n=0,±1，士2，·是（一00，十）上以2l为周期的函数4）若f（α）在[0,e上有定义，则f(a),a E[0,d]F(c)=11(f(-α), E[-e, 0]是（-l,）上偶函数，按3）中的方法可以将它延拓到（一00，+）上，成为以20为周期的偶函数返回全屏关闭退出6/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê 3) e f(x) 3 (−`, `) þk½Â, K F(x) =    f(x − 2n`), (2n − 1)` < x < (2n + 1)` f(`)+f(−`) 2 , x = (2n + 1)`, n = 0, ±1, ±2, · · · ´ (−∞, +∞) þ± 2` ±Ï¼ê. 4) e f(x) 3 [0, `) þk½Â, K F(x) =    f(x), x ∈ [0, `] f(−x), x ∈ [−`, 0] ´ (−`, `) þó¼ê, U 3) ¥{Œ±ò§òÿ (−∞, +∞) þ, ¤± 2` ±Ïó¼ê. 6/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

分离变量法正交性热流问题周期函数Fourier级数5）若f(αc）在（0,e）上有定义，则f(a),c E (0,t)F(α) =0,α=0S-f(-α),αE(-l,o)是（一le）上奇函数，按3）中的方法可以将它延拓到（一0，+）上，成为以2为周期的奇函数返回全屏关闭退出7/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê 5) e f(x) 3 (0, `) þk½Â, K F(x) =    f(x), x ∈ (0, `) 0, x = 0 −f(−x), x ∈ (−`, 0) ´ (−`, `) þÛ¼ê, U 3) ¥{Œ±ò§òÿ (−∞, +∞) þ, ¤± 2` ±ÏÛ¼ê. 7/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

热流问题分离变量法周期函数正交性Fourier级数12.1.2三角函数的正交性设 R[一π,元] 是[一元,元] 上 Riemann 可积函数全体,对于 f,g E R[一π,],定义(10)(f,g) =f(α)g(α) dc,元R则f,g)是 R[一π,] 上一个内积：即正性1°(f, f)≥ 0, 且 <f, f) =0 < f e- 02°对称性(f,g) =(g, f)线性30(cif1 + C2f2, 9) = Ci(f1, 9) + C2(f2, 9)若(f,g)=0,则称f 与g是正交的II-返回全屏关闭退出8/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê 12.1.2 n¼ê5  R[−π, π] ´ [−π, π] þ Riemann ŒÈ¼êN. éu f, g ∈ R[−π, π], ½Â hf, gi = 1 π Z π −π f(x)g(x) dx, (10) K hf, gi ´ R[−π, π] þ‡SÈ: = 1 ◦ hf, fi > 0, … hf, fi = 0 ⇐⇒ f a.e. ==== 0 5 2 ◦ hf, gi = hg, fi é¡5 3 ◦ hc1f1 + c2f2, gi = c1hf1, gi + c2hf2, gi ‚5 e hf, gi = 0, K¡ f † g ´. 8/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

热流问题分离变量法周期函数正交性Fourier级数按照上面定义的内积，三角函数系1,cos a, sin a,cos 2a, sin 2c, ..., cos nc, sinn, ..是正交函数系，即其中任意两个不同的函数是正交的，事实上有1(11)cos ma cos na da = dmn元1(12)sin m sin na da = omn元T1(13)sin mc cosnc da = 0.元其中m=n0.nm返回全屏关闭退出I49/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê Uìþ¡½ÂSÈ, n¼êX 1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x, · · · , cos nx,sin nx, · · · ´¼êX, =Ù¥?¿ü‡ØÓ¼ê´. ¯¢þ, k 1 π Z π −π cos mx cos nx dx = δmn, (11) 1 π Z π −π sin mx sin nx dx = δmn, (12) 1 π Z π −π sin mx cos nx dx = 0, (13) Ù¥ δmn =    1, m = n 0, m 6= n. 9/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

热流问题分离变量法周期函数正交性Fourier级数12.1.3Fourier级数若函数f（α）在「一元，元】上可以展开成三角级数，即8ao(14)f(αc) =(ancosna+bnsinn)2n=1则根据级数理论及三角函数的正交性，有8(f(c),cos ka) = %(1, cos ka) +(an(cos nc, cos ka) + bn (sinna, cos ka))n=1=ak, k=0,l,..Z(1, sin ka) +(f(α),sinka)an(cos nc, sin ka) + bn(sin nc, sin ka)二Dn=1= bk， k = 1,2, ..返回全屏退出关闭10/15

96¯K ©lCþ{ ±Ï¼ê 5 Fourier ?ê 12.1.3 Fourier ?ê e¼ê f(x) 3 [−π, π] þŒ±Ðm¤n?ê, = f(x) = a0 2 + X ∞ n=1 ￾ an cos nx + bn sin nx
, (14) KŠâ?ênØ9n¼ê5, k hf(x), cos kxi = a0 2 h1, cos kxi + X ∞ n=1 ￾ anhcos nx, cos kxi + bnhsin nx, cos kxi
= ak, k = 0, 1, · · · hf(x),sin kxi = a0 2 h1,sin kxi + X ∞ n=1 ￾ anhcos nx,sin kxi + bnhsin nx,sin kxi
= bk, k = 1, 2, · · · 10/15 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ