《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第10章 多变量函数的重积分（1/4）

二重积分 累次积分 可积性 有界集上的积分 面积 积分平均值定理 第10章多变量函数的重积分 §10.1二重积分 10.1.1二维区间上的积分 设 D= [a,b]×[c,d] 是 R2中的二维闭区间. 分别作 [a,b]和 [c,d]上的 分割： Tx:a=x0<x1<··<xn=b; Ty:c=yo<y1<..<ym=d. 两族平行直线x=x2,(i=0,1,.·,n)和y= yj,(j=0,1,.·,m)把D 分成n×m个子区间: Dij=[xi-1,xi]×[yj-1,yj](i=1,2,.·,n;j=1,2,..,m). 这些子区间组成D的一个分割T=T2×T.对于在D上定义的函数 ‖返回全屏关闭退出 1/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n 1 10 Ù õCþ¼ê­È© §10.1 ­È© 10.1.1 ‘«mþÈ©  D = [a, b] × [c, d] ´ R2 ¥‘4«m. ©OŠ [a, b] Ú [c, d] þ ©: Tx : a = x0 < x1 < · · · < xn = b; Ty : c = y0 < y1 < · · · < ym = d. üx²1†‚ x = xi, (i = 0, 1, · · · , n) Ú y = yj, (j = 0, 1, · · · , m) r D ©¤ n × m ‡f«m: Dij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj] (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , m). ù f«m|¤ D ‡© T = Tx × Ty. éu3 D þ½Â¼ê 1/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理f(a,y),在每个Di 中取一点si,作和式(Riemann 和)mS(f, T) := Zf(i)o(Di),(10.1)i1 j=1其中 α(Di)是 Dii 的面积. 记 ITll = max[diam(Di)),这里 diam(Di)是2.7Dii的对角线长度,称ITll为分割T的宽度.称Eii为值点定义 1 设f(c,y)是定义在 D 上的函数.如果存在数 A,使得对任意给定的 ε>0,存在>0, 当 ITl<时,不论值点 Eii 在Dii 中如何选,都有mnZf(Si)o(Di) -A|<e,i=1 j=1则称函数f在区间D上可积.并将A写作f(c,y)dady 或fda,DD称为f在区间D上的二重积分I返回全屏关闭退出2/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n f(x, y), 3z‡ Dij ¥: ξij, ŠÚª (Riemann Ú) S(f, T ) := X n i=1 X m j=1 f(ξij)σ(Dij), (10.1) Ù¥ σ(Dij) ´ Dij ¡È. P kT k = max i,j {diam(Dij)}, ùp diam(Dij) ´ Dij é‚Ý, ¡ kT k © T °Ý. ¡ ξij Š:. ½Â 1  f(x, y) ´½Â3 D þ¼ê. XJ3ê A, ¦é?¿‰ ½ ε > 0, 3 δ > 0,  kT k < δ ž, Ø؊: ξij 3 Dij ¥XÛÀ, Ñk       X n i=1 X m j=1 f(ξij)σ(Dij) − A       < ε, K¡¼ê f 3«m D þŒÈ, ¿ò A Š ZZ D f(x, y)dxdy ½ Z D fdσ, ¡ f 3«m D þ­È©. 2/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理例1常值函数c在D上可积，且cdg = co(D)定理1如果f在D上可积,那么f在D上有界定理2若f和g都在D上可积,C1,C2是常数，则 Cif+C2g也在D上可积且(cif + cC2g)do = C1fdo + c2qdo定理3设f和g都在D上可积(1)若f ≥ 0, 则fda ≥0T(2)若 f ≥g, 则 / fdg ≥gdo刀D返回全屏关闭退出3/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n ~ 1 ~Š¼ê c 3 D þŒÈ, … Z D cdσ = cσ(D). ½n 1 XJ f 3 D þŒÈ, @o f 3 D þk. ½n 2 e f Ú g Ñ3 D þŒÈ, c1, c2 ´~ê, K c1f + c2g 3 D þŒ È, … Z D (c1f + c2g)dσ = c1 Z D fdσ + c2 Z D gdσ. ½n 3  f Ú g Ñ3 D þŒÈ. (1) e f > 0, K Z D fdσ > 0; (2) e f > g, K Z D fdσ > Z D gdσ. 3/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理累次积分10.1.2定理 4（二重积分的累次积分）设f(a,y)在D =[a,b] ×[c,d] 上可积1° 如果对每个 y E [c,d], f(α,) 是 [a,b] 上关于 α 的可积函数, 则积分p(y) = f f(c,y)da 定义了关于变量 y 在[c, d] 上的可积函数, 并有f(a, y)dadydy / f(α,y)dc =p(y)dy =2° 同理,如果对每个 α E [a,b],f(ac,y) 是[c,d] 上关于 y 的可积函数则 b(α) = rd f(a,y)dy 是关于 α 在[a,bl 上的可积函数, 并有d(α)dc =daf(c, y)dy f(c, y)dcdy.213°特别,如果f(c,y)连续,显然分别对 ε和 y连续,因此上面 1°和 2°的条件都满足，因此有f(a, y)dcdyf(a, y)dadydaf(α, y)dy-即.分别对α和积分的次序是可以交换的I返回全屏关闭退出4/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n 10.1.2 \gÈ© ½n 4 (­È©\gÈ©)  f(x, y) 3 D = [a, b] × [c, d] þŒÈ. 1 ◦ XJéz‡ y ∈ [c, d], f(x, y) ´ [a, b] þ'u x ŒÈ¼ê, KÈ© ϕ(y) = R b a f(x, y)dx ½Â 'uCþ y 3 [c, d] þŒÈ¼ê, ¿k Z d c ϕ(y)dy = Z d c dy Z b a f(x, y)dx = ZZ D f(x, y)dxdy. 2 ◦ Ón, XJéz‡ x ∈ [a, b], f(x, y) ´ [c, d] þ'u y ŒÈ¼ê, K ψ(x) = R d c f(x, y)dy ´'u x 3 [a, b] þŒÈ¼ê, ¿k Z b a ψ(x)dx = Z b a dx Z d c f(x, y)dy = ZZ D f(x, y)dxdy. 3 ◦ AO, XJ f(x, y) ëY, w,©Oé x Ú y ëY, Ïdþ¡ 1 ◦ Ú 2 ◦ ^‡Ñ÷v, Ïdk ZZ D f(x, y)dxdy = Z d c dy Z b a f(x, y)dx = Z b a dx Z d c f(x, y)dy =, ©Oé x Ú y È©gS´Œ±†. 4/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

可积性面积二重积分累次积分有界集上的积分积分平均值定理证明设A是f在D上的积分,则任给 ε>0,存在>0,只要D 的分割 T 的宽度 ITll < , 任取 Si E [ci-1,cil], ni E [yj-1, yi], 并记Pij = (Ei, ni) E Di = [ci-1, ai] × [yj-1, yi], 就都有A-e< f(Pi)AaiAyi < A + e.i.j或A-e<Ay, f(si,ni)Aai<A+e.j=1i=1注意到,对于给定的niE[yj-1,yi],f(ti, ni)Aaii-1是 f(c,ni)在[a,b] 上的 Riemann 和. 因为对于任何固定的 y,f(c,y)作为 a的函数是可积的，所以nlim, f(si, ns)Aai = d(mi).IT-0i=1二返回全屏关闭退出1-5/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n y²  A ´ f 3 D þÈ©, K?‰ ε > 0, 3 δ > 0, ‡ D © T °Ý kT k < δ, ? ξi ∈ [xi−1, xi ], ηj ∈ [yj−1, yj], ¿P Pij = (ξi, ηj) ∈ Dij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj], ÒÑk A − ε < X i,j f(Pij)∆xi∆yj < A + ε. ½ A − ε < X m j=1 ∆yj X n i=1 f(ξi, ηj)∆xi < A + ε. 5¿, éu‰½ ηj ∈ [yj−1, yj], X n i=1 f(ξi, ηj)∆xi ´ f(x, ηj) 3 [a, b] þ Riemann Ú. Ϗéu?Û½ y, f(x, y) Š x ¼ê´ŒÈ, ¤± lim kTxk→0 X n i=1 f(ξi, ηj)∆xi = ϕ(ηj). 5/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理这里，(y)=f(a,y)dac.令Tall→0,只要Tull<就有tA-E≤p(ni)Ayi≤A+e.j=1由此可知p（y）在[c，d]可积，并有s(u)dy = / ( [" f(r, y)da) dy = A =f(r, y)dady这就证明了1°同理可证明2°上述结果告诉我们，只要满足定理中的条件，二维区间上函数的二重积分，就化为两个一元函数的定积分（先对一个变量作一元函数的积分，在对另一个变量作一元函数的积分）这种积分过程被称为累次积分，当累次积分可交换时，选先对谁积分，完全根据积分的方便而定返回全屏关闭退出6/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n ùp, ϕ(y) = R b a f(x, y)dx. - kTxk → 0, ‡ kTyk < δ Òk A − ε 6 X m j=1 ϕ(ηj)∆yj 6 A + ε. ddŒ ϕ(y) 3 [c, d] ŒÈ, ¿k Z d c ϕ(y)dy = Z d c Z b a f(x, y)dx dy = A = ZZ D f(x, y)dxdy. ùÒy² 1 ◦ . ÓnŒy² 2 ◦ . þã(JwŠ·‚, ‡÷v½n¥^‡, ‘«mþ¼ê­È ©, Òzü‡¼ê½È© (ké‡CþŠ¼êÈ©, 3é, ‡CþŠ¼êÈ©). ù«È©L§¡\gÈ©. \gÈ©Œ †ž, ÀJkéXÈ©, ŠâÈ©B ½. 6/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理例2求ea+ydady,其中 D = [0, 1] ×[0, 1]JD解J。er+yddya+ydae"dcoyduO?e'dy = (e - 1)?e-例3求 cos ayddy, 其中 D = [0, 元] × [0, 1]JD解& cos ryddydrcosrydyJDO元ydasin rdc = 2.sincy二y=01在这个例子中，如果先对&积分，计算量就要大些返回全屏关闭退出7/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n ~ 2 ¦ ZZ D e x+ydxdy, Ù¥ D = [0, 1] × [0, 1]. ) ZZ D e x+ydxdy = Z 1 0 dy Z 1 0 e x+ydx = Z 1 0 e ydy Z 1 0 e xdx = (e − 1) Z 1 0 e ydy = (e − 1)2 . ~ 3 ¦ ZZ D x cos xydxdy, Ù¥ D = [0, π] × [0, 1]. ) ZZ D x cos xydxdy = Z π 0 dx Z 1 0 x cos xydy = Z π 0  sin xy    y=1 y=0 dx = Z π 0 sin xdx = 2. 3ù‡~f¥, XJké x È©, OŽþ҇Œ . 7/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理可积性10.1.3对于区间 D 以及分割T,记mij = inf f(Dij), Mij = supf(Di), (i = 1, 2, ..·,n; j = 1, .,m).Wi=Mii一mi称为f在Dii上的振幅.定义mmS(f,T) =Cmjo(Di), 3(f,T) =Mijo(Di),i=1 j=1i=1 j=1分别称为f关于分割T的下和与上和.显然有S(f,T) ≤ S(f,T) ≤ S(f,T)设T=T×T与 T'=T×T,是 D的两个分割.如果T比T细,同时T'比 T细,则称T"比 T细,记为T≤T"返回全屏关闭退出8/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n 10.1.3 ŒÈ5 éu«m D ±9© T , P mij = inf f(Dij), Mij = sup f(Dij), (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, · · · , m). ωij = Mij − mij ¡ f 3 Dij þÌ. ½Â S(f, T ) = X n i=1 X m j=1 mijσ(Dij), S(f, T ) = X n i=1 X m j=1 Mijσ(Dij), ©O¡ f 'u© T eچþÚ. w,k S(f, T ) 6 S(f, T ) 6 S(f, T ).  T = Tx × Ty † T 0 = T 0 x × T 0 y ´ D ü‡©. XJ T 0 x ' Tx [, Ӟ T 0 y ' Ty [, K¡ T 0 ' T [, P T 6 T 0 . 8/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

可积性面积二重积分累次积分有界集上的积分积分平均值定理定理5设T与T是D的两个分割.且T≤T.则有S(f,T) ≤ S(f, T') ≤ S(f,T) ≤ S(f,T)这就是说，在分割加细的过程中，上和不增下和不减定理6设T与T是D的两个分割.则有S(f, Ti) ≤ S(f, T2)也就是说任意下和不会大于任意上和显然下和所成之集有上界，上和所成之集有下界．上和的下确界称为上积分，记为「f dacdy；下和的上确界称为下积分，记为『f dacdy.于是f dadyf dcdyI返回全屏关闭退出-l9/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n ½n 5  T † T 0 ´ D ü‡©, … T 6 T 0 . Kk S(f, T ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T ). ùÒ´`, 3©\[L§¥, þÚØOeÚØ~. ½n 6  T1 † T2 ´ D ü‡©. Kk S(f, T1) 6 S(f, T2). Ò´`?¿eÚجŒu?¿þÚ. w,eÚ¤¤ƒ8kþ., þÚ¤¤ƒ8ke. þÚe(.¡þ È©, P R f dxdy; eÚþ(.¡eÈ©, P R f dxdy. u´ Z f dxdy 6 Z f dxdy. 9/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

二重积分累次积分可积性面积有界集上的积分积分平均值定理定理7设f是定义在区间D上的有界函数那么下面的四个条件等价(1)f在D上可积；mn(2) liq,Zwijo(Di) = 0,其中 wij = Mij - mi;ITI-0i=1 j=1(3)对任意 ε>0 存在 D的一个分割 T使得S(f,T) - S(f,T) < e.(4)f的上积分和下积分相等，即f dady =Fdd返回全屏关闭退出III10/29

­È© \gÈ© ŒÈ5 k.8þÈ© ¡È È©²þŠ½n ½n 7  f ´½Â3«m D þk.¼ê. @oe¡o‡^‡d: (1) f 3 D þŒÈ; (2) lim kT k→0 X n i=1 X m j=1 ωijσ(Dij) = 0, Ù¥ ωij = Mij − mij; (3) é?¿ ε > 0 3 D ‡© T ¦ S(f, T ) − S(f, T ) < ε. (4) f þÈ©ÚeÈ©ƒ, = Z f dxdy = Z f dxdy. 10/29 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ