《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第12章 Fourier分析（4/7）

Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemamm-Lebesgue引理12.1.6Fourier级数的收敛性定理1（Dirichlet）设函数f(α）以2元为周期1°如果函数在任何有限区间上是逐段光滑的，则它的Fourier级数在整个数轴上都收敛，且f(α + 0) + f(α - 0)ao(an cos na + bn sin na) = f22n=12°如果函数处处连续，且在任何有限区间上是逐段光滑的，则其Fourier级数就在整个数轴上绝对一致收敛于f(αc)注，这里所谓函数f(α）在有限区间上逐段光滑是指函数除有限个点外f(α)连续且有连续的微商 f'(α),而这有限个点只能是 f(a)及f'(α)的第一类间断点返回全屏关闭退出II1/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K 12.1.6 Fourier ?êÂñ5 ½n 1 (Dirichlet) ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 1 ◦ XJ¼ê3?Ûk«mþ´Åã1w, K§ Fourier ?ê3‡ ê¶þÑÂñ, … a0 2 + X ∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx) = f(x + 0) + f(x − 0) 2 ; 2 ◦ XJ¼ê??ëY, …3?Ûk«mþ´Åã1w, KÙ Fourier ? êÒ3‡ê¶þýéÂñu f(x). 5, ùp¤¢¼ê f(x) 3k«mþÅã1w´¼êØk‡: , f(x) ëY…këY‡û f 0 (x), ùk‡:U´ f(x) 9 f 0 (x) 1 amä:. 1/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemamn-Lebesgue引理设f(α）是「一π，元l上可积或绝对可积函数，an,bn是f的Fourier系数即8ao(an cos na + bn sin n)f(α)2n=1在co点，Fourier级数的部分和为naoZTn(co) =ak cos kco + bk sin kco)2k=1将Fourier系数的表达式1.1f(α) cos k da,f(α) sin ka da,bkak=元元7代入部分和中，可得返回全屏关闭退出I4-2/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K  f(x) ´ [−π, π] þŒÈ½ýéŒÈ¼ê, an, bn ´ f  Fourier Xê, = f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1 ￾ an cos nx + bn sin nx
. 3 x0 :, Fourier ?êܩڏ Tn(x0) = a0 2 + X n k=1 ￾ ak cos kx0 + bk sin kx0
. ò Fourier XêLˆª ak = 1 π Z π −π f(x) cos kx dx, bk = 1 π Z π −π f(x) sin kx dx, \Ü©Ú¥, Œ 2/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Riemamm-Lebesgue引理Dini定理问题Dirichlet收敛定理n1DTn(co)f(α)( cos ka cos kao + sin ka sin kao)dcf(α)dc +2元k=nZf(α)cos k(α - co)da.2元k=1n1Zcos ka,即,记 Kn(α)2k=1sin (n + )aKn(α) =，a≠2m元,mEZ(12.1)2sin%2称为Dirichlet核函数，是一个以2元为周期的偶函数引理1（Riemann-Lebesgue）设f(α）是[a,b]上可积或绝对可积函数(即若f有界.则 f Riemann 可积：若f 无界,则Lfl广义可积),则有-66limlimf(α) sin Aa dc = 0.f(α) cos ^ dc = 0,1→+0-+8I--返回全屏关闭退出3/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K Tn(x0) = 1 2π Z π −π f(x)dx + X n k=1 1 π Z π −π f(x) ￾ cos kx cos kx0 + sin kx sin kx0
dx = 1 π Z π −π f(x) 1 2 + X n k=1 cos k(x − x0) ! dx. P Kn(x) = 1 2 + X n k=1 cos kx, =, Kn(x) = sin (n + 1 2 )x 2 sin x 2 , x 6= 2mπ, m ∈ Z (12.1) ¡ Dirichlet ؼê, ´‡± 2𠏱Ïó¼ê. Ún 1 (Riemann-Lebesgue)  f(x) ´ [a, b] þŒÈ½ýéŒÈ¼ê(=, e f k., K f Riemann ŒÈ; e f Ã., K |f| 2ŒÈ), Kk lim λ→+∞ Z b a f(x) cos λx dx = 0, lim λ→+∞ Z b a f(x) sin λx dx = 0. 3/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理1Tn(αo)f(α)Kn(α - o) dc元0+元1f(α)Kn(α - αo) dac元30一元f(α + co)Kn(α) dacT241f(α + co)Kn(α) dcf(α + ao)Kn(α) d +元11f(α + co)Kn(α) da +f(- + co)Kn(α) dc,元元JoJo所以f(co + α) + f(co - α)Tn(co)sin(n(12.2)d2 sin T0返回全屏关闭退出4/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K Tn(x0) = 1 π Z π −π f(x)Kn(x − x0) dx = 1 π Z x0+π x0−π f(x)Kn(x − x0) dx = 1 π Z π −π f(x + x0)Kn(x) dx = 1 π Z π 0 f(x + x0)Kn(x) dx + 1 π Z 0 −π f(x + x0)Kn(x) dx = 1 π Z π 0 f(x + x0)Kn(x) dx + 1 π Z π 0 f(−x + x0)Kn(x) dx, ¤± Tn(x0) = 1 π Z π 0 f(x0 + x) + f(x0 − x) 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx. (12.2) 4/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理Dini定理取充分小的正数8.将（11.2）式右端的积分分为两个部分，有111F(c,ao)sin(n +=)adac +F(a, co) sin(n + =)adacTn(Co) =2TJo元J8(12.3)其中f(co +α)+ f(αo - cF(c, co) :=2 sin号在[8,元]上可积或绝对可积.由Riemann-Lebesgue引理（即，引理1)知(11.3）式右端第二个积分当n→+o时极限为0.因此f(α）的Fourier级数在co是否收敛，以及收敛到什么值只与积分1 r° f(co +a) +f(ao -a)(12.4)sin(n + =)a dac22sin元Jo有关由于（11.4）式的积分只与f在Co附近的值有关，因此我们得到下面局部化定理关闭退出返回全屏二5/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K ¿©ê δ, ò (11.2) ªmàÈ©©ü‡Ü©, k Tn(x0) = 1 π Z δ 0 F(x, x0) sin(n + 1 2 )x dx + 1 π Z π δ F(x, x0) sin(n + 1 2 )x dx (12.3) Ù¥ F(x, x0) := f(x0 + x) + f(x0 − x) 2 sin x 2 3 [δ, π] þŒÈ½ýéŒÈ. d Riemann-Lebesgue Ún(=, Ún 1) (11.3) ª mà1‡È© n → +∞ ž4 0. Ïd f(x)  Fourier ?ê3 x0 ´ ÄÂñ, ±9ÂñŸoŠ†È© 1 π Z δ 0 f(x0 + x) + f(x0 − x) 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx (12.4) k'. du (11.4) ªÈ©† f 3 x0 NCŠk', Ïd·‚e¡Û Üz½n. 5/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理Dini定理定理2（局部化定理）设函数f（αc）以2元为周期，在「一元，元上可积或绝对可积.则f(αc)的Fourier级数在ao是否收敛以及收敛到什么值，只与f(α)在co的附近的值有关注意根据定义，Fourier系数与f（α）在区间【一元，元上的值有关因此局部化定理体现了Fourier级数特别之处进一步有如下定理定理3（Dini定理）设函数f(α）以2元为周期，在「一元，元l上可积或绝对可积.对于实数s，令p(t) = f(co + t) + f(co - t) - 2s.若存在>0,使得函数 2(t 在[0,] 上可积或绝对可积,则 f(α)的 Fourier级数在Co处收敛于s返回全屏关闭退出6/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K ½n 2 (ÛÜz½n) ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 3 [−π, π] þŒÈ½ýé ŒÈ. K f(x)  Fourier ?ê3 x0 ´ÄÂñ±9ÂñŸoŠ, † f(x) 3 x0 NCŠk'. 5¿ Šâ½Â, Fourier Xê† f(x) 3«m [−π, π] þŠk'. Ïd ÛÜz½nNy Fourier ?êAOƒ?. ?ÚkXe½n. ½n 3 (Dini ½n) ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 3 [−π, π] þŒÈ½ýé ŒÈ. éu¢ê s, - ϕ(t) = f(x0 + t) + f(x0 − t) − 2s. e3 δ > 0, ¦¼ê ϕ(t) t 3 [0, δ] þŒÈ½ýéŒÈ, K f(x)  Fourier ?ê3 x0 ?Âñu s. 6/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemamn-Lebesgue引理证明营常值函数1的Fourier级数仍是1，所以在（12.2）中令f=1，可得"sin(n+)a2(12.5)dr.1152sin号元J02将（11.2）式减去（11.5）式的s倍，得f(ao+α)+f(ao-α)-2sYTn(co) - 8 =sin(n + =)a da2sin2元Jop(c)11(12.6)sin(n +)a dac.2sin2元Jo2因为根据条件2()在[0,]上可积或绝对可积,所以Tp(c)p(a)c22sing2sinr2也在[0,]上可积或绝对可积，因此此函数在[0,元]上也可积或绝对可积由Riemann-Lebesgue引理知，（11.6）式右端的积分当n→+o时趋于0,即lim Tn(co) = s.n8返回全屏关闭退出7/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K y² ~Š¼ê 1  Fourier ?êE´ 1, ¤±3 (12.2) ¥- f = 1, Œ 1 = 2 π Z π 0 sin (n + 1 2 )x 2 sin x 2 dx. (12.5) ò (11.2) ª~ (11.5) ª s ,  Tn(x0) − s = 1 π Z π 0 f(x0 + x) + f(x0 − x) − 2s 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx = 1 π Z π 0 ϕ(x) 2 sin x 2 sin(n + 1 2 )x dx. (12.6) ϏŠâ^‡ ϕ(x) x 3 [0, δ] þŒÈ½ýéŒÈ, ¤± ϕ(x) 2 sin x 2 = ϕ(x) x · x 2 sin x 2 3 [0, δ] þŒÈ½ýéŒÈ, Ïdd¼ê3 [0, π] þŒÈ½ýéŒÈ. d Riemann-Lebesgue Ún, (11.6) ªmàÈ© n → +∞ žªu 0, = lim n→∞ Tn(x0) = s. 7/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

Dini定理问题Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理定义 1 设 f(α)在 o附近有定义.如果存在>0,L>0及α>0使得If(co + t) - f(αo + 0)l ≤ Lt; t E (o, )If(co -t) - f(co - O)/ < Lt, t E (o, )则称f(a）在aco附近满足α阶Lipschitz条件由 Dini 定理，可以得到如下定理定理4设函数f(α）以2元为周期，在【一元,元]上可积或绝对可积.若f(α)在ao附近满足α阶Lipschitz条件，则f(α）的Fourier级数在ao收敛于f(αo +0) + f(co - 0)S=2返回全屏关闭退出8/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K ½Â 1  f(x) 3 x0 NCk½Â. XJ3 δ > 0, L > 0 9 α > 0 ¦ |f(x0 + t) − f(x0 + 0)| 6 Ltα ; t ∈ (0, δ] |f(x0 − t) − f(x0 − 0)| 6 Ltα , t ∈ (0, δ] K¡ f(x) 3 x0 NC÷v α  Lipschitz ^‡. d Dini ½n, Œ±Xe½n ½n 4 ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 3 [−π, π] þŒÈ½ýéŒÈ. e f(x) 3 x0 NC÷v α  Lipschitz ^‡, K f(x)  Fourier ?ê3 x0 Âñu s = f(x0 + 0) + f(x0 − 0) 2 . 8/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题Riemamm-Lebesgue引理Dini定理Dirichlet收敛定理证明当tE(O,]时,令p(t) : = (f(co +t) + f(co -t) - 2s= (f(αo +t) + f(co -t)) - (f(αo +0) + f(αo - 0))= (f(co +t) - f(αo +0)) + (f(co -t) - f(co - o)则有Ip(α)/ ≤ 2Lto所以p(t)1<2L0<t≤s.t1-at当 α ≥ 1 时, (t) 在 [0, ] 上有界且可积. 当 0 < α < 1 时, (t) 在 [0, ] 上绝对可积.根据定理3(Dini定理）知，f(αc）的Fourier级数在aCo收敛于f(co +0) + f(αco - 0)2I返回全屏关闭退出-9/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K y²  t ∈ (0, δ] ž, - ϕ(t) : = ￾ f(x0 + t) + f(x0 − t)
− 2s = ￾ f(x0 + t) + f(x0 − t)
− ￾ f(x0 + 0) + f(x0 − 0)
= ￾ f(x0 + t) − f(x0 + 0)
+ ￾ f(x0 − t) − f(x0 − 0)
. Kk |ϕ(x)| 6 2Ltα . ¤±     ϕ(t) t     6 2L · 1 t 1−α , 0 1 ž, ϕ(t) t 3 [0, δ] þk.…ŒÈ.  0 < α < 1 ž, ϕ(t) t 3 [0, δ] þý éŒÈ. Šâ½n 3 (Dini ½n) , f(x)  Fourier ?ê3 x0 Âñu f(x0 + 0) + f(x0 − 0) 2 . 9/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

问题Dini定理Dirichlet收敛定理Riemann-Lebesgue引理定理5设函数f(α）以2元为周期，在一π元,元]上可积或绝对可积.若f(αc)在 o可导，或在 o有有限的左导数 f(ao)和右f'(aco),则f(ac）的 Fourier级数在o收敛于f(aco).若f(α）在o仅有两个有限的广义左、右导数：f(αo -t) -f(αco -o)f(co +t) - f(co +0)limlim-ttt→0+t-→0+则f(）的Fourier级数在Co收敛于f(co + 0) + f(co - 0)S=2证明若f(α）在co有两个有限的广义左导数和广义右导数，则f(ac）在o附近满足1阶Lipschitz条件.因此结论成立返回全屏退出关闭-10/16

Dirichlet Âñ½n Riemann-Lebesgue Ún Dini ½n ¯K ½n 5 ¼ê f(x) ± 2𠏱Ï, 3 [−π, π] þŒÈ½ýéŒÈ. e f(x) 3 x0 Œ, ½3 x0 kk†ê f 0 −(x0) Úm f 0 + (x0), K f(x)  Fourier ?ê3 x0 Âñu f(x0). e f(x) 3 x0 =kü‡k2†!mê: lim t→0+ f(x0 − t) − f(x0 − 0) −t , lim t→0+ f(x0 + t) − f(x0 + 0) t , K f(x)  Fourier ?ê3 x0 Âñu s = f(x0 + 0) + f(x0 − 0) 2 . y² e f(x) 3 x0 kü‡k2†êÚ2Âmê, K f(x) 3 x0 NC÷v 1  Lipschitz ^‡. Ïd(ؤá. 10/16 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ