《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（8/8）

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积89.8微分形式设V C Rn 是一个区域，f：V→R是一个可微函数，则f在点=（1,a2，··，an）的微分是df(a) = (a)da1 + (a)da2 *.. + (a)dan,它是dac1,dc2，··，dan的线性组合，系数是相应于各变量的一阶偏导数.但对于给定的 V上的函数 Ai(α),Az(aα)，，An(α),线性组合(9.1)w = Ai(c)dai + A2(α)dac2 +... + An(α)dcn不一定是某函数的微分：为了研究函数的微分，我们要研究形如（9.1）的微分形式，我们把所有形如（9.1）的微分形式作为一个整体（空间）来研究，要看看在这个空间中是否可以定义运算返回全屏关闭退出I-l1/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún §9.8 ‡©/ª  V ⊂ Rn ´‡«, f : V → R ´‡Œ‡¼ê, K f 3: x = (x1, x2, · · · , xn) ‡©´ df(x) = ∂f ∂x1 (x)dx1 + ∂f ∂x2 (x)dx2 · · · + ∂f ∂xn (x)dxn, §´ dx1, dx2, · · · , dxn ‚5|Ü, X괃AuˆCþ ê. éu‰½ V þ¼ê A1(x), A2(x), · · · , An(x), ‚5|Ü ω = A1(x)dx1 + A2(x)dx2 + · · · + An(x)dxn (9.1) ؽ´,¼ê‡©.  ïļꇩ, ·‚‡ïÄ/X (9.1) ‡© /ª. ·‚r¤k/X (9.1) ‡©/ªŠ‡N(m)5ïÄ, ‡ww 3ù‡m¥´ÄŒ±½Â$Ž. 1/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分微分形式的空间微分形式的外积Poincare引理类似于线性空间，首先可以定义数乘和加法运算.设入（）是V上的函数,wi = Ai(α)dai + A2(α)da2 +...+ An(c)danw2=Bi(a)d1+B2(a)dc2+.+Bn()dan定义数乘运算>(α)w1 = ^(α)Ai(α)da1 + 入(α)A2(α)da2 + ... + 入(α)An(α)dcn和加法运算w1+w2 = (Ai(α)+Bi(α))d1+(A2(α)+B2(α))dai+:: :+(An(α)+Bn(α))d1显然，按照数乘和加法运算形如（9.1）的微分形式全体是一个线性空间能不能定义微分形式的乘法呢？这要看dac1,dac2，··，dacn之间能否定义乘积返回全屏关闭退出2/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún aqu‚5m, ÄkŒ±½Âê¦Ú\{$Ž.  λ(x) ´ V þ¼ ê, ω1 = A1(x)dx1 + A2(x)dx2 + · · · + An(x)dxn ω2 = B1(x)dx1 + B2(x)dx2 + · · · + Bn(x)dxn, ½Âê¦$Ž: λ(x)ω1 = λ(x)A1(x)dx1 + λ(x)A2(x)dx2 + · · · + λ(x)An(x)dxn, Ú\{$Ž: ω1+ω2 = (A1(x)+B1(x))dx1+(A2(x)+B2(x))dx1+· · ·+(An(x)+Bn(x))dx1. w, Uìê¦Ú\{$Ž/X (9.1) ‡©/ªN´‡‚5m. UØU½Â‡©/ª¦{Q? ù‡w dx1, dx2, · · · , dxn ƒmUĽ ¦È. 2/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积微分形式的空间9.8.1为了简单起见只讨论三维空间的情况，即VCR3.设f：V一→R是一个三元可微函数，则f的微分是df = &fda + fdy + afdz.0zaray为了定义微分形式的乘积.定义d ^d = dy^dy =dz^dz=0.d ^dy = -dy ^dc, dy ^ dz = -dz ^ dy, dz^d = -d ^ dz称d^dy为da与dy的外积，并规定外积满足结合率和分配率.从上面的定义看外积也满足反对称性da^dy^dz也被定义好了.则有(d ^ dy ^ dz)^ d = 0.返回全屏关闭退出II-3/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún 9.8.1 ‡©/ªm  {üå„, ?Øn‘mœ¹, = V ⊂ R3 .  f : V → R ´ ‡nŒ‡¼ê, K f ‡©´ df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂ydy + ∂f ∂zdz.  ½Â‡©/ª¦È, ½Â dx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0, dx ∧ dy = −dy ∧ dx, dy ∧ dz = −dz ∧ dy, dz ∧ dx = −dx ∧ dz ¡ dx ∧ dy  dx † dy  È, ¿5½ È÷v(ÜÇÚ©Ç. lþ¡ ½Âw ȏ÷v‡é¡5. dx ∧ dy ∧ dz ½ÂÐ . Kk (dx ∧ dy ∧ dz) ∧ dx = 0. 3/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积考虑微分形式的运算之后，微分形式可以分为几类零次微分形式V上可微函数全体一次微分形式：形如Ada + Bdy + Cdz,二次微分形式：形如Ady ^ dz + Bdz ^ da + Cda ^ dy,三次微分形式：形如Dda ^ dy ^ dz,其中 A,B,C,D 是 V 上的可微函数各类微分形式都形成线性空间.不同类的微分形式不定义加法返回全屏关闭退出4/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún ć©/ª$Žƒ￾, ‡©/ªŒ±©Aa: "g‡©/ª: V þŒ‡¼êN. g‡©/ª: /X Adx + Bdy + Cdz, g‡©/ª: /X Ady ∧ dz + Bdz ∧ dx + Cdx ∧ dy, ng‡©/ª: /X Ddx ∧ dy ∧ dz, Ù¥ A, B, C, D ´ V þŒ‡¼ê. ˆa‡©/ªÑ/¤‚5m. ØÓa‡©/ªØ½Â\{. 4/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

微分形式的空间微分形式的外积外微分Poincare引理9.8.2微分形式的外积1°两个一次微分形式的外积.设Ai=Aidc+Bidy+Cidz,A2=A2dc+B2dy+C2dz则有Ai ^A2=(Aida + Bidy + Cidz) ^(A2da + B2dy+C2dz)=AB2dady+AC2da^dz+BiA2dy^da+BiC2dy^dz+CiA2dz^da+CiB2dz^dy= (BiC2 - CiB2)dy ^ dz + (CiA2 - AiC2)dz Λdac+(AiB2-BiA2)dac ΛdydyΛdzdzΛda daΛdy=A1BiCiA2B2C2返回全屏关闭退出二-5/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún 9.8.2 ‡©/ª È 1 ◦ ü‡g‡©/ª È.  λ1 = A1dx + B1dy + C1dz, λ2 = A2dx + B2dy + C2dz, Kk λ1 ∧ λ2 = (A1dx + B1dy + C1dz) ∧ (A2dx + B2dy + C2dz) = A1B2dx ∧ dy + A1C2dx ∧ dz + B1A2dy ∧ dx + B1C2dy ∧ dz + C1A2dz ∧ dx + C1B2dz ∧ dy = (B1C2 − C1B2)dy ∧ dz + (C1A2 − A1C2)dz ∧ dx + (A1B2 − B1A2)dx ∧ dy =         dy ∧ dz dz ∧ dx dx ∧ dy A1 B1 C1 A2 B2 C2         . 5/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积2°三个一次微分形式的外积.设Ai=Aida+Bidy+Cidz,2=A2da+B2dy+C2dz,A=Asdac+B3dy+C3dz.i^^2=(BiC2-CiB2)dy^dz+(CiA2-AiC2)dzda+(AB2-BiA2)daΛdy,1 ^ 入2 ^ 入g = (As(BiC2 - CiB2) + B:(CiA2 - AiC2)+ Cs(AiB2 - B1A2))da Λ dy Λdz ((A1, B1, C1) × (A2, B2, C2) (As, Bs, Cs) da △ dy Λ dzA1 Bi CiA2B2C2daΛdyΛdz.二AB3C3返回全屏关闭退出6/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún 2 ◦ n‡g‡©/ª È.  λ1 = A1dx + B1dy + C1dz, λ2 = A2dx + B2dy + C2dz, λ3 = A3dx + B3dy + C3dz. λ1 ∧ λ2 = (B1C2 − C1B2)dy ∧ dz + (C1A2 − A1C2)dz ∧ dx + (A1B2 − B1A2)dx ∧ dy, λ1 ∧ λ2 ∧ λ3 =  A3(B1C2 − C1B2) + B3(C1A2 − A1C2) + C3(A1B2 − B1A2)  dx ∧ dy ∧ dz =  (A1, B1, C1) × (A2, B2, C2) · (A3, B3, C3)  dx ∧ dy ∧ dz =         A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3         dx ∧ dy ∧ dz. 6/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积特别，当u,U,wECI(V）时，有du = ouda + oudy +udzzayardu =da + udy +dzayar82dw=da+dy+udz，ar82dy因此a(u,v,w)daAdyAdz.duΛdv dw=a(r,y,z)3°一次微分形式与二次微分形式的外积设A=Ada+Bdy+Cdz,w=Pdy^dz+QdzΛd+Rda^dy,则有ΛΛw=(AP+BQ+CR)dcΛdyΛdz返回全屏关闭退出7/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún AO,  u, v, w ∈ C1 (V ) ž, k du = ∂u ∂xdx + ∂u ∂ydy + ∂u ∂zdz dv = ∂v ∂xdx + ∂v ∂ydy + ∂v ∂zdz dw = ∂w ∂x dx + ∂w ∂y dy + ∂w ∂z dz, Ïd du ∧ dv ∧ dw = ∂(u,v,w) ∂(x,y,z) dx ∧ dy ∧ dz. 3 ◦ g‡©/ª†g‡©/ª È.  λ = Adx + Bdy + Cdz, ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, Kk λ ∧ ω = (AP + BQ + CR)dx ∧ dy ∧ dz 7/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积微分形式的外微分9.8.3微分形式的外微分是从w到比高一次的微分形式的映射d: w dw.具体定义如下：1°设f是零次微分形式,即.f ECI(V),则ofdy + ofdz.df =da + azay2°设w是一次微分形式w = Pda + Qdy + Rdz, P,Q,R E Ci(V),返回全屏关闭退出I8/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún 9.8.3 ‡©/ª ‡© ‡©/ª ω  ‡©´l ω ' ω pg‡©/ªN: d : ω → dω. äN½ÂXe: 1 ◦  f ´"g‡©/ª, =, f ∈ C1 (V ), K df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂ydy + ∂f ∂zdz. 2 ◦  ω ´g‡©/ª, ω = P dx + Qdy + Rdz, P, Q, R ∈ C 1 (V ), 8/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积则dw = dP ^da + dQ ^ dy + dR^dzda +ady +dzΛdaayzrQQaQ dy +aQdzda+Λ dy+aryAzaRd +aRdzaRdy +Adz+arayaQQQaRapapaRdy ^ dzdz ^ dc +d ^ dy+zdy0OrOraydy ^ dzdzΛdadaΛdy88a二ayda0PQR返回全屏关闭退出II9/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún K dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz =  ∂P ∂x dx + ∂P ∂y dy + ∂P ∂z dz ∧ dx +  ∂Q ∂x dx + ∂Q ∂y dy + ∂Q ∂z dz ∧ dy +  ∂R ∂x dx + ∂R ∂y dy + ∂R ∂z dz ∧ dz =  ∂R ∂y − ∂Q ∂z  dy ∧ dz + ￾ ∂P ∂z − ∂R ∂x
dz ∧ dx +  ∂Q ∂x − ∂P ∂y  dx ∧ dy =         dy ∧ dz dz ∧ dx dx ∧ dy ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q R         . 9/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

外微分Poincare引理微分形式的空间微分形式的外积3°设W是二次微分形式w = Pdy ^ dz + Qdz ^dc + Rdc ^ dy, P,Q, R ECl(V),则d=dP^dy^dzdQ^dz^da+dRd^dy(aPda +%dy+rdz)AdyAdzOraQda+dy + dz) dz dc十aray02aRda+aRdy +Rdz)+daAdyary0zapORQQ2+d Λ dyΛ dz.十drOzdy4°设w是三次微分形式w = Pd ^dy ^dz, P ECl(V),则dw=dP^dc^dy^dz=0.返回退出全屏关闭II-10/13

‡©/ªm ‡©/ª È ‡© Poincar´e Ún 3 ◦  ω ´g‡©/ª, ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy, P, Q, R ∈ C 1 (V ), K dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy =  ∂P ∂x dx + ∂P ∂y dy + ∂P ∂z dz ∧ dy ∧ dz +  ∂Q ∂x dx + ∂Q ∂y dy + ∂Q ∂z dz ∧ dz ∧ dx +  ∂R ∂x dx + ∂R ∂y dy + ∂R ∂z dz ∧ dx ∧ dy =  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z  dx ∧ dy ∧ dz. 4 ◦  ω ´ng‡©/ª, ω = P dx ∧ dy ∧ dz, P ∈ C 1 (V ), K dω = dP ∧ dx ∧ dy ∧ dz = 0. 10/13 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ