《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第11章 曲线积分和曲面积分（1/7）

弧长 定义 性质 例子 第11章曲线积分和曲面积分 §11.1第一型曲线积分 11.1.1曲线的弧长 设Ⅰ是空间中一条光滑曲线，其参数方程为 r=(t)=(x(t),y(t),z(t)):[a,B]CRR3. 此曲线切向量为 r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t). 这段曲线的弧长为 al)=1 t eonat=1 vearile)+we 2ntict. (11.1) 弧长微元是 ds=|r'(t)|dt=√xn(t)+y2(t)+zn(t)dt. ‖返回全屏关闭退出 1/14

l ½Â 5Ÿ ~f 1 11 Ù ­‚È©Ú­¡È© §11.1 1.­‚È© 11.1.1 ­‚l  L ´m¥^1w­‚, Ùëꐧ ~r = ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) : [α, β] ⊂ R −→ R 3 . d­‚ƒ•þ ~r 0 (t) = (x 0 (t), y0 (t), z0 (t)). ù㭂l s(L) = Z β α |~r 0 (t)|dt = Z β α p x02(t) + y02(t) + z 02(t)dt. (11.1) l‡´ ds = |~r 0 (t)|dt = p x02(t) + y02(t) + z 02(t)dt. 1/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长定义性质例子11.1.2第一型曲线积分的定义线材质量设曲线L是放在R3中一个非均匀的线材，其质量分布（线密度为连续函数p(c,y,z).求此线材的质量一个合理的方法是先将线材L分割成有限个充分小的线材段L1, L2,..., Ln每一段上的质量密度近似为一个常数p(si,Ni,Si),这里（Si,Ni,Si）为小段Li上的一点，所以小段的质量近似为p(si,ni,Si)Asi，其中△si是小段L；的长度，将所有这样的近似值相加就是线材总的质量的近似值p(si, ni, i)Asi.i=1当分割越分越细时，这个和式的极限值应该就是线材的质量返回全屏关闭退出2/14

l ½Â 5Ÿ ~f 11.1.2 1.­‚È©½Â ‚áŸþ ­‚ L ´3 R3 ¥‡šþ!‚á, ٟþ©Ù (‚Ý) ëY¼ê ρ(x, y, z). ¦d‚áŸþ. ‡Ün{´kò‚á L ©¤k‡¿©‚áã: L1, L2, · · · , Ln, zãþŸþÝCq‡~ê ρ(ξi, ηi, ζi), ùp (ξi, ηi, ζi) ã Li þ:, ¤±ãŸþCq ρ(ξi, ηi, ζi)∆si , Ù¥ ∆si ´ã Li  Ý. ò¤kùCqŠƒ\Ò´‚áoŸþCqŠ: X n i=1 ρ(ξi, ηi, ζi)∆si. ©©[ž, ù‡Úª4ŠATÒ´‚áŸþ. 2/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

例子弧长定义性质定义1设L是R3中一条可求长的曲线，起点和终点分别为A和B.f是定义在L上的一个函数.从A到B在L上依次取点A=Ao，A1，·.An=B，它们将曲线L分成n小段，形成L的一个分割T，记第i个小段Li=Ai-1A的弧长为△sii=1,2,···,n),并记入=max △si，称为分割1<i<nT的宽度.在Li上任取一点Pi=(Sini,Si)WPAAAnlB返回全屏关闭退出3/14

l ½Â 5Ÿ ~f ½Â 1  L ´ R3 ¥^Œ¦­‚, å:Úª:©O A Ú B. f ´½Â3 L þ‡¼ê. l A  B 3 L þg: A = A0, A1, · · · , An = B, §‚ò­‚ L ©¤ n ã, /¤ L ‡© T , P1 i ‡ã Li = ) Ai−1Ai l ∆si (i = 1, 2, · · · , n), ¿P λ = max 16i6n ∆si, ¡© T °Ý. 3 Li þ?: Pi = (ξi, ηi, ζi), A A A A A A A 1 2 3 n-1 i i-1 B Pi 3/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义例子弧长性质作和式7(11.2)S(f,T) = f(P)Asi.i=-1如果存在一个数 I, 使得对任意 ε>0, 存在 > 0, 只要 >< , 不论 P, E Li如何选择都有[S(r,T) - II < e,则称f在曲线L上可积,数I称为f 在 L上的第一型曲线积分，记为f(ac, y,z)ds 或fdsT1注常值函数c在L上可积，且cds = cs(L),T其中s(L)是L的弧长返回全屏关闭退出4/14

l ½Â 5Ÿ ~f ŠÚª S(f, T ) = X n i=1 f(Pi)∆si. (11.2) XJ3‡ê I, ¦é?¿ ε > 0, 3 δ > 0, ‡ λ < δ, ØØ Pi ∈ Li XÛÀJÑk |S(r, T ) − I| < ε, K¡ f 3­‚ L þŒÈ, ê I ¡ f 3 L þ1.­‚È©, P Z L f(x, y, z) ds ½ Z L f ds 5 ~Š¼ê c 3 L þŒÈ, … Z L c ds = cs(L), Ù¥ s(L) ´ L l. 4/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长定义性质例子曲线积分的性质11.1.3E定理1设L是R3中一条光滑曲线，其参数表示为p(t) = (α(t),y(t), z(t),(α< t≤ β).如果f是L上的连续函数，那么有Bfds = / f o p(t)lp'(t)ldt.(11.3)JLO证明设Ti:α=to<ti<...<tn=β是[α,β]的一个分割.在映射4之下诱导出L的一个分割T: Ao, Al,..., An.其中 A;= β(ti),(i =1,2··，n).沿用定义1的记号,根据弧长公式和积分返回全屏关闭退出5/14

l ½Â 5Ÿ ~f 11.1.3 ­‚È©5Ÿ ½n 1  L ´ R3 ¥^1w­‚, ÙëêL« ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)), (α 6 t 6 β). XJ f ´ L þëY¼ê, @ok Z L fds = Z β α f ◦ ϕ(t)|ϕ 0 (t)| dt. (11.3) y²  T1 : α = t0 < t1 < · · · < tn = β ´ [α, β] ‡©. 3N ϕ ƒepÑ L ‡© T : A0, A1, · · · , An, Ù¥ Ai = ϕ(ti), (i = 1, 2 · · · , n). ÷^½Â 1 PÒ, ŠâlúªÚÈ© 5/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

定义性质例子弧长中值定理，有tAsi=1p(t)/dt=l(ta)Ati其中 tiE(ti-1,ti).取 (Ei, ni,Si)= p(ti).因此S(f,T) = f o p(t:)ls'(t)Ati1=1这是函数fp(t)lp'(t)l在区间[α,β]上的一个Riemann和.令Till→0,就得到第一型曲线积分的计算公式（11.3）推论 1 设 L 是 R3 中一条光滑曲线,其参数表示为 p(t) = (α(t),y(t),z(t)),(α≤t≤β).则L的弧长是Ip'(t)/ dtCLS返回全屏关闭退出6/14

l ½Â 5Ÿ ~f ¥Š½n, k ∆si = Z ti ti−1 |ϕ 0 (t)| dt = |ϕ 0 (t˜i)|∆ti, Ù¥ t˜i ∈ (ti−1, ti).  (ξi, ηi, ζi) = ϕ(t˜i). Ïd S(f, T ) = X n i=1 f ◦ ϕ(t˜i)|ϕ 0 (t˜i)|∆ti. ù´¼ê f ◦ ϕ(t)|ϕ0 (t)| 3«m [α, β] þ‡ Riemann Ú. - kT1k → 0, Ò1.­‚È©OŽúª (11.3). íØ 1  L ´ R3 ¥^1w­‚, ÙëêL« ϕ(t) = (x(t), y(t), z(t)), (α 6 t 6 β). K L l´ s(L) = Z L ds = Z β α |ϕ 0 (t)| dt. 6/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

例子弧长定义性质定理2如果f在L上可积.那么f在L上有界定理 3若 f 和 g都在 L上可积,C1,C2是常数,则 Cif + C2g也在 L上可积,且(cif + C2g) ds = C1gds.f ds+ C2定理4设f和g都在L上可积(1)若f≥0,则fds≥(0(2)若f≥ 9, 则 fds>gds返回全屏关闭退出7/14

l ½Â 5Ÿ ~f ½n 2 XJ f 3 L þŒÈ, @o f 3 L þk. ½n 3 e f Ú g Ñ3 L þŒÈ, c1, c2 ´~ê, K c1f + c2g 3 L þŒ È, … Z L (c1f + c2g) ds = c1 Z L f ds + c2 Z L g ds. ½n 4  f Ú g Ñ3 L þŒÈ. (1) e f > 0, K Z L f ds > 0; (2) e f > g, K Z L f ds > Z L g ds. 7/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

例子弧长定义性质定理5设L和L2是两条可求长的曲线段.L1的终点是L的起点.如果f在Li和L2上都可积,那么f也在L=LiUL2上可积,并且fds:fds+fds.L1L2定义 2 集合 E C R3称为一维零测集,若存在光滑曲线：[0,1]→R3使得的像覆盖E，而且E在下的原像是[0,1]中的零测集定理6设L是一条可求长的曲线段，f是L上有界函数，如果f在L上的间断点全体是一个一维零测集，则f在L上可积定理7设L是一条可求长的曲线段：若f是L上连续函数，则存在PoEL使得f ds = f(P)s(L).返回全屏关闭退出8/14

l ½Â 5Ÿ ~f ½n 5  L1 Ú L2 ´ü^Œ¦­‚ã, L1 ª:´ L2 å:. XJ f 3 L1 Ú L2 þьÈ, @o f 3 L = L1 ∪ L2 þŒÈ, ¿… Z L f ds = Z L1 f ds + Z L2 f ds. ½Â 2 8Ü E ⊂ R3 ¡‘"ÿ8, e31w­‚ ϕ : [0, 1] → R3 ¦ ϕ CX E, … E 3 ϕ e´ [0, 1] ¥"ÿ8. ½n 6  L ´^Œ¦­‚ã, f ´ L þk.¼ê, XJ f 3 L þ mä:N´‡‘"ÿ8, K f 3 L þŒÈ. ½n 7  L ´^Œ¦­‚ã. e f ´ L þëY¼ê, K3 P0 ∈ L ¦ Z L f ds = f(P0)s(L). 8/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

例子弧长定义性质例1求曲线积分a2+y2ds,其中 L是圆周2+y2=a(a>0).1解设曲线L的参数方程为aaacost,sint.(0 ≤ t ≤ 2元).=y十=2212则切向量为aasint.'(t)cost22弧长微元是adt.ds = [r'(t)|dt=2因此,a22元a(1 + cost)dt220a2?2元t92I cost dt = 2a?dt :cos22/00II4-I返回全屏关闭退出9/14

l ½Â 5Ÿ ~f ~ 1 ¦­‚È© Z L p x2 + y2 ds, Ù¥ L ´± x 2 + y 2 = ax (a > 0). ) ­‚ L ëꐧ x = a 2 + a 2 cos t, y = a 2 sin t, (0 6 t 6 2π). Kƒ•þ ~r 0 (t) =  − a 2 sin t, a 2 cos t  . l‡´ ds = |~r 0 (t)| dt = a 2 dt. Ïd, Z L p x2 + y2 ds = Z 2π 0 a 2 2 r a(1 + cos t) 2 dt = a 2 2 Z 2π 0     cos t 2     dt = a 2 Z π 0 | cos t| dt = 2a 2 . 9/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

弧长定义性质例子Ey例2设曲线L为椭圆X=1a>0,b>0)在第一象限的弧段,计a2h2算曲线积分cyds.L解L的方程可写成元=acoso, y=bsino,0≤<2所以P元/2cos 0sin 0Va?sin0+b2 cos20deayds = ab0+元/2ab/b?+ (a?- b2) sin"0 d sin021ab(6* + (a2 - b)sim20)/2)/2?3(a2 - b2)ab(a2 + ab + b2)3(a + b)返回退出全屏关闭V10/14

l ½Â 5Ÿ ~f ~ 2 ­‚ L ý x 2 a2 + y 2 b 2 = 1 (a > 0, b > 0) 31lã, O Ž­‚È© Z L xyds. ) L §Œ¤ x = a cos θ, y = b sin θ, 0 6 θ 6 π 2 , ¤± Z L xyds = ab Z π/2 0 cos θ sin θ p a2 sin2 θ + b 2 cos2 θ dθ = ab 2 Z π/2 0 q b 2 + (a2 − b 2) sin2 θ d sin2 θ = ab 3(a2 − b 2) ￾ b 2 + (a 2 − b 2 ) sin2 θ
3/2    π/2 0 = ab(a 2 + ab + b 2 ) 3(a + b) . 10/14 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ