《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第12章 Fourier分析（7/7）

卷积应用收敛定理Parseval等式Fourier积分Fourier变换Fourier变换的性质g12.4Fourier积分和Fourier变换12.4.1 Fourier积分回顾Fourier级数：设f(αc在[一π,元]上可积或绝对可积,则 f(α)的 Fourier 级数为8aoZ(an cos nc + bn sin na),2n=1其中f(α)cos na da, bn =f(α) sin na dc.元对于 f(ac)的 Fourier 级数,有 Dirichlet 收敛性定理一般地8aoZf(α) ~(an cos nc + bn sin n)+2n=1返回全屏关闭退出II1/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ §12.4 Fourier È©ÚFourier C† 12.4.1 Fourier È© £ Fourier ?ê:  f(x) 3 [−π, π] þŒÈ½ýéŒÈ, K f(x)  Fourier ?ê a0 2 + X ∞ n=1 ￾ an cos nx + bn sin nx
, Ù¥ an = 1 π Z π −π f(x) cos nx dx, bn = 1 π Z π −π f(x) sin nx dx. éu f(x)  Fourier ?ê, k Dirichlet Âñ5½n. „/, f(x) ∼ a0 2 + X ∞ n=1 ￾ an cos nx + bn sin nx
. 1/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质当 f(α)是（一o0,+αo)上绝对可积函数时,如果只考虑 f(α)在[一π,π]这一段的值，再用Fourier级数的方法来讨论.就不合适了.为了整体地研究f(α)在（一oo,+oo）上的性质.仿照Fourier级数的做法,令Ta() = -(1)f(t) cos 入t dt, b() =f(t) sin At dt,元元CX称为f(α)的 Fourier 积分的系数,而积分(a() cos 入a + b() sin Aα) d)称为f(a)的 Fourier积分，记为(2)f(α) ~(a() cos Aa + b() sin Aα) d>.问题1上式右端中的Fourier积分何时收敛？收敛时是否收敛到f(αc)?返回全屏关闭退出I4-2/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^  f(x) ´ (−∞, +∞) þýéŒÈ¼êž, XJÄ f(x) 3 [−π, π] ùãŠ, 2^ Fourier ?ê{5?Ø, ÒØÜ· .  N/ïÄ f(x) 3 (−∞, +∞) þ5Ÿ. •ì Fourier ?ê‰{, - a(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(t) cos λt dt, b(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(t) sin λt dt, (1) ¡ f(x)  Fourier È©Xê, È© Z +∞ 0 ￾ a(λ) cos λx + b(λ) sin λx
dλ ¡ f(x)  Fourier È©, P f(x) ∼ Z +∞ 0 ￾ a(λ) cos λx + b(λ) sin λx
dλ. (2) ¯K 1 þªmॠFourier ȩ۞Âñ? Âñž´ÄÂñ f(x)? 2/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质引理1若f(α）是（一80,+8）上绝对可积函数,则foa() = f(α) cos ^ da, b(a) =f(α) sin Aa dc,元元在（-,+o)上一致连续,且当 ^→+ 时,a(),b()都趋于零证明因为 f(α)是（一oo,+oo）上绝对可积函数,所以对任意 ε0,存在A>0 使得DFxTEIf(α)/ da +If(αc)/ dc 0使得当|α1一a2l2α2MII-返回全屏关闭退出3/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ Ún 1 e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéŒÈ¼ê, K a(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(x) cos λx dx, b(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(x) sin λx dx, 3 (−∞, +∞) þëY, … λ → +∞ ž, a(λ), b(λ) Ѫu". y² Ϗ f(x) ´ (−∞, +∞) þýéŒÈ¼ê, ¤±é?¿ ε > 0,  3 A > 0 ¦ Z +∞ A |f(x)| dx + Z −A −∞ |f(x)| dx 0 ¦ |x1−x2| < δ1 ž, k | cos x1 − cos x2| < πε 2M , Ï  δ = δ1 A . K |λ1 − λ2| < δ ž, k | cos λ1x − cos λ2x| < πε 2M , (|x| 6 A). 3/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质于是f1[a(入1) - a(\2)lf(α)//cos Aa-cos 入2a| da元X+α1f(α) / cos 1a — cos >2αda元AA1If(α) / cos 入ia - cos 入2a| dac十TXA1[f(α) / cos ^1a cos >2α| dacX元+87221TEIf(α)I dac +If(α)ldaIf(α) da +2M元元元JAAX8-2E≤+-E.12这就证明了 a(V)在(一0,+α)上一致连续. 同理,可证b(>) 也在(一α0,+α0)上一致连续根据 Riemann-Lebesgue 引理可知,当 入→ +oo 时,a(),b(\)都趋于零返回全屏关闭退出I4/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ u´ |a(λ1) − a(λ2)| 6 1 π Z +∞ −∞ |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx = 1 π Z +∞ A |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx + 1 π Z −A −∞ |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx + 1 π Z A −A |f(x)| | cos λ1x − cos λ2x| dx 6 2 π Z +∞ A |f(x) dx + 2 π Z −A −∞ |f(x)| dx + 1 π Z A −A |f(x)| πε 2M dx 6 ε 2 + ε 2 = ε. ùÒy² a(λ) 3 (−∞, +∞) þëY. Ón, Œy b(λ) 3 (−∞, +∞) þëY. Šâ Riemann-Lebesgue ÚnŒ,  λ → +∞ ž, a(λ), b(λ) Ѫu". 4/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Fourier变换的性质Parseval等式引理2若f(α)是（一8,+）上绝对可积函数,则.f(t) cos 入(t - a)dt ) d> :f(t) cos 入(t - α)d入证明月只需证明右端的广义积分收敛到左端的积分.因为f(t) cos 入(t - c)d>) dt f(t) cos ^(t - α)dtf(t) cos 入(t - a)dt ) d入 -f(t) cos ^(t - α)dt ) d)Afdf(t) cos ^(t 一 a)dt+If(t)[dt )d=uf(t)/dt+-→0 (A →+8),所以引理得证关闭退出返回全屏5/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ Ún 2 e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéŒÈ¼ê, K Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ = Z +∞ −∞ Z u 0 f(t) cos λ(t − x)dλ dt. y² Iy²mà2ÂÈ©Âñ†àÈ©. Ϗ     Z A −A Z u 0 f(t) cos λ(t − x)dλ dt − Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ     =     Z u 0 Z A −A f(t) cos λ(t − x)dt dλ − Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ     =     Z u 0 Z +∞ A + Z −A −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ     6 Z u 0 Z +∞ A + Z −A −∞ |f(t)|dt dλ = u Z +∞ A + Z −A −∞ |f(t)|dt → 0 (A → +∞), ¤±Úny. 5/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

收敛定理卷积应用Fourier积分Fourier变换Fourier变换的性质Parseval等式定理 1 若 f(α) 是（-o,+)上绝对可积函数, a(),b() 是 f(α) 的Fourier积分的系数，记S(u,a) =(a(^) cos 入a + b() sin ^) d入,则sin ut(3)(f(α +t) +f(α -dt.S(u,a)t元证明将（1）代入S（u，）中，并由引理2得元S(u,a) =f(t)(cosAtcosa+sintsin入a)dt)d)二Tα+αf(t) cos 入(t - αc)dt ) d入AXdt.f(t) cos >(t - )d)返回全屏关闭退出I=6/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ ½n 1 e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéŒÈ¼ê, a(λ), b(λ) ´ f(x)  Fourier È©Xê, P S(u, x) = Z u 0 ￾ a(λ) cos λx + b(λ) sin λx
dλ, K S(u, x) = 1 π Z +∞ 0 ￾ f(x + t) + f(x − t)
sin ut t dt. (3) y² ò (1) \ S(u, x) ¥, ¿dÚn 2,  S(u, x) = 1 π Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) ￾ cos λt cos λx + sin λt sin λx
dt dλ = 1 π Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ = 1 π Z +∞ −∞ Z u 0 f(t) cos λ(t − x)dλ dt. 6/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

卷积应用收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier积分Fourier变换的性质因此C+8sinu(t-a)1f(t)S(u,a)dt三t-元8+81sin utdtf(a+tt六tXr0+α1sin ut1sinutf(α+t)dtf(c+t)dt十tt元元S8+α+81sinut1sin utdtf(α+t)dt+f(at一tt元元Jo0+x1sinut(f(a+t)+f(a-t)dt.t元0注此定理将Fourier积分的部分积分转化为不包含a(V),b(Λ）的表示这相当于Fourier级数的讨论中将Fourier级数的部分和表示为积分返回全屏关闭退出7/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ Ïd S(u, x) = 1 π Z +∞ −∞ f(t) sin u(t − x) t − x dt = 1 π Z +∞ −∞ f(x + t) sin ut t dt = 1 π Z +∞ 0 f(x + t) sin ut t dt + 1 π Z 0 −∞ f(x + t) sin ut t dt = 1 π Z +∞ 0 f(x + t) sin ut t dt + 1 π Z +∞ 0 f(x − t) sin ut t dt = 1 π Z +∞ 0 ￾ f(x + t) + f(x − t)
sin ut t dt. 5 d½nò Fourier È©Ü©È©=zØ¹ a(λ), b(λ) L«. ùƒu Fourier ?ê?Ø¥ò Fourier ?êÜ©ÚL«È©. 7/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

应用收敛定理Fourier变换卷积Parseval等式Fourier积分Fourier变换的性质定理2(Fourier积分局部化定理）若f(α）是（一o,+o）上绝对可积函数，则f(a）的Fourier积分在某点是否收敛，以及收敛到什么值，仅与f在附近的函数值有关证明设>0.将(3）右端中的部分积分的表达式分成两段-sin ut1dtS(u, ) =(f(α +t) + f(α -t)+元J0+α1sin utdt(f(α +t) + f(α -十t元Js= I1 + I2.因为 f(a) 在 (-00,+o0) 上绝对可积, 所以 p(t) = f(a+)+(a-t) 在[8, +80)t上绝对收敛 根据 Riemann-Lebesgue 引理,有 lim+β(t) sin ut dt = 0. 因此limIz =0.这就说明 lim S(u,α)是否收敛仅与Ii有关.而Ii仅与 f在附近的值有关.证毕返回全屏关闭退出18/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ ½n 2 (Fourier È©ÛÜz½n) e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéŒÈ¼ ê, K f(x)  Fourier È©3,: x ´ÄÂñ, ±9ÂñŸoŠ, =† f 3 x NC¼êŠk'. y²  δ > 0. ò (3) mà¥Ü©È©Lˆª©¤üã: S(u, x) = 1 π Z δ 0 ￾ f(x + t) + f(x − t)
sin ut t dt + 1 π Z +∞ δ ￾ f(x + t) + f(x − t)
sin ut t dt = I1 + I2. Ϗ f(x) 3 (−∞, +∞) þýéŒÈ, ¤± ϕ(t) = f(x+t)+f(x−t) t 3 [δ, +∞) þýéÂñ. Šâ Riemann-Lebesgue Ún, k lim u→+∞ R +∞ δ ϕ(t) sin ut dt = 0. Ï d lim u→+∞ I2 = 0. ùÒ`² lim u→+∞ S(u, x) ´ÄÂñ=† I1 k'. I1 =† f 3 x NCŠk'. y. 8/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质定理3(Dini定理）设f(α)是（一o,+o）上绝对可积函数，s是任意实数.对固定的&，记p(t) = f(α +t) + f(α-t) -2s.若存在 > 0 使得 (t) 在 [0, ] 上可积且绝对可积, 则 f 的 Fourier 积分在处收敛于s.即, J+ simut dt = 1, 所以由 (3),得C+osin utdt=证明因为，10t元Jot+α1sin utdtS(u,a) - s :(f(α+t)+f(α -t) -2st元1+81p(t)2ssin utdtsin ut dt -tt元TJs+81sin utf(α +t) +f(α -dt+t元Js= I + I2 + I3:II返回全屏关闭退出9/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ ½n 3 (Dini ½n)  f(x) ´ (−∞, +∞) þýéŒÈ¼ê, s ´?¿¢ ê. é½ x, P ϕ(t) = f(x + t) + f(x − t) − 2s. e3 δ > 0 ¦ ϕ(t) t 3 [0, δ] þŒÈ…ýéŒÈ, K f  Fourier È©3 x ?Âñu s. y² Ϗ R +∞ 0 sin ut t dt = π 2 , =, 2 π R +∞ 0 sin ut t dt = 1, ¤±d (3),  S(u, x) − s = 1 π Z +∞ 0 ￾ f(x + t) + f(x − t) − 2s
sin ut t dt = 1 π Z δ 0 ϕ(t) t sin ut dt − 2s π Z +∞ δ sin ut t dt + 1 π Z +∞ δ ￾ f(x + t) + f(x − t)
sin ut t dt = I1 + I2 + I3. 9/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

卷积应用收敛定理Fourier变换Fourier变换的性质Parseval等式Fourier积分在定理2中已经说明月limI3 = 0.-→+若存在>0使得(t)在[o,]上可积且绝对可积，则根据Riemann-Lebesgue 引理, 有lim Ii = 0.1对于Iz中的积分，作变换=ut,得+8+8sin utsinvdt =dv.tJud因为 J+ du 收敛, 所以+αsinulimdv = 0.U→+Jud因而 lim I2 = 0. 于是u-→+8lim S(u, a) = s.u→+8这表示f的Fourier积分在c处收敛于s.证毕返回退出全屏关闭I?10/34

Fourier È© Âñ½n Fourier C† Fourier C†5Ÿ òÈ Parseval ª A^ 3½n 2 ¥®²`² lim u→+∞ I3 = 0. e3 δ > 0 ¦ ϕ(t) t 3 [0, δ] þŒÈ…ýéŒÈ, KŠâ Riemann￾Lebesgue Ún, k lim u→+∞ I1 = 0. éu I2 ¥È©, ŠC† v = ut,  Z +∞ δ sin ut t dt = Z +∞ uδ sin v v dv. Ϗ R +∞ 0 sin v v dv Âñ, ¤± lim u→+∞ Z +∞ uδ sin v v dv = 0. Ï lim u→+∞ I2 = 0. u´ lim u→+∞ S(u, x) = s. ùL« f  Fourier È©3 x ?Âñu s. y. 10/34 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ