《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第5章 单变量函数的积分学 §5.4 广义积分

无穷区间上的积分 暇积分 换元和分部积分 §5.4广义积分 Riemann 意义下的积分有两个限制，其一是积分区间有限（否则就不能保 证当分割点越来越多时，分割的宽度趋于零)，其二是被积函数有界.但积分 的几何意义是面积，有时不满足这两个限制也可以考虑面积.如果要突破这 两个限制，必须借助最基本的极限方法，考虑Riemann积分的两类极限.由此 引出两类所谓的“广义积分”，而Riemann 积分有时则相应地称为常义积分. y y y=f(x) y=f(x) X X 0 b 0 a x 11 返回 全屏 关闭 退出 1/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© §5.4 2ÂÈ© Riemann ¿ÂeÈ©kü‡›, Ù´È©«mk (ÄKÒØU y©:5õž, ©°Ýªu"), Ù´ȼêk. È© Aۿ´¡È, kžØ÷vùü‡›Œ±Ä¡È. XJ‡â»ù ü‡›, 7L/ρÄ4{, Ä Riemann È©üa4. dd ÚÑüa¤¢/2ÂÈ©0 , Riemann È©kžKƒA/¡~ÂÈ©. O x y y O x x b y = f(x) a x y = f(x) 1/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷区间上的积分换元和分部积分5.4.1无穷区间上的积分定义 1 设函数 f(α)在区间[a,+)上有定义,如果 f(α)在任何一个有限区间 [a, A] 上可积, 而且当 A → α 时, 积分 fA f(α)da = β(A) 作为 A的函数有极限，则我们将这极限值定义为函数f(α在（无穷）区间[a，十)上的无穷积分，记作f+αf(α)da,即定义Af(α)da = limf(α) dc = lim p(A)A-→+00A-0这时也称无穷积分f+αf(α)da存在（或收敛).若上述的极限不存在，则称此无穷积分不存在（或发散）类似地,我们定义函数 f(α)在区间（一o,a)上的无穷积分为f(α)dc.f(α)da = limC→-8I返回全屏关闭退出-2/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© 5.4.1 á«mþÈ© ½Â 1 ¼ê f(x) 3«m [a, +∞) þk½Â, XJ f(x) 3?ۇk «m [a, A] þŒÈ, … A → ∞ ž, È© R A a f(x)dx = ϕ(A) Š A ¼êk4, K·‚òù4Š½Â¼ê f(x) 3 (á) «m [a, +∞) þáȩ, PŠ R +∞ a f(x)dx, =½Â Z +∞ a f(x) dx = lim A→+∞ Z A a f(x) dx = lim A→∞ ϕ(A). ùž¡Ã¡È© R +∞ a f(x) dx 3 (½Âñ). eþã4Ø3, K¡ dáȩØ3 (½uÑ). aq/, ·‚½Â¼ê f(x) 3«m (−∞, a] þáȩ Z a −∞ f(x)dx = lim c→−∞ Z a c f(x)dx. 2/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷区间上的积分换元和分部积分而函数f(α)在区间（一,+）上的无穷积分定义为+α+αf(α) daf(α)d =f(αc) dc +XX1Olimf(α) da +, limf(α) da,二b-→+80C1-0其中α为任一实数（通常取α=0)换句话说，当上面等式右边两个无穷积分都收敛时,我们才称f+αf(α)da收敛(其值就定义为两者的和)Xo返回全屏关闭退出-3/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© ¼ê f(x) 3«m (−∞, +∞) þáȩ½Â Z +∞ −∞ f(x) dx = Z a −∞ f(x) dx + Z +∞ a f(x) dx = lim c→−∞ Z a c f(x) dx + lim b→+∞ Z b a f(x) dx, Ù¥ a ?¢ê (Ï~ a = 0). †é{`, þ¡ªm>ü‡Ã¡È ©ÑÂñž, ·‚â¡ R +∞ −∞ f(x)dx Âñ (يҽüöÚ). O x y 3/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷区间上的积分换元和分部积分例1判别无穷积分da 的敛散性其中p为常数ap解 当 p ≠ 1 时, 对任意 b > 1 有1da1p-pX重因此da 当 p > 1 时, 收敛到 ,一,而当 p< 1 时发散到 +oo.cp当 p = 1 时, 有da = ln b.&p81此时da 也发散到+ooαP返回全屏关闭退出4/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© ~ 1 Oáȩ Z +∞ 1 1 xp dx ñÑ5, Ù¥ p ~ê. )  p 6= 1 ž, é?¿ b > 1 k Z b 1 1 xp dx = 1 1 − p ￾ b 1−p − 1
. Ïd Z +∞ 1 1 xp dx  p > 1 ž, Âñ 1 p−1 ,  p < 1 žuÑ +∞.  p = 1 ž, k Z b 1 1 xp dx = ln b. dž Z +∞ 1 1 xp dx uÑ +∞. 4/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

无穷区间上的积分暇积分换元和分部积分例2判别无穷积分e-da的敛散性解对任意b>a有ebe-" da = -e-= e-a - e-b → e-a (b → +oo).Ja因此这个无穷积分收敛到e-a.+8e-α"da 是否收敛?问题无穷积分解 利用 JAe- da< JA e-da<e-1, 可知该积分收敛.fα在现阶段，判别无穷积分f(ac）dc是否收敛，一般我们首先需对求A出积分f(α)dac;再研究所得结果在A→+8时是否有极限（按这一原/则，若判别了积分收敛，通常也同时求出了无穷积分的值）为了做到这一点我们当然应用Newton-Leibniz公式：若求得了f（a）在[a，+oo）上的一个原函返回全屏关闭退出二、A5/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© ~ 2 Oáȩ Z +∞ a e −x dx ñÑ5. ) é?¿ b > a k Z b a e −x dx = −e −x    b a = e −a − e −b → e −a (b → +∞). Ïdù‡Ã¡È©Âñ e −a . ¯K áȩ Z +∞ 1 e −x 2 dx ´ÄÂñ? ) |^ R A 1 e −x 2 dx < R A 1 e −x dx < e−1 , ŒTÈ©Âñ. 3yã, Oáȩ Z +∞ a f(x)dx ´ÄÂñ, „·‚ÄkIé¦ ÑÈ© Z A a f(x)dx; 2ïĤ(J3 A → +∞ ž´Äk4 (Uù K, eO È©Âñ, Ï~Óž¦Ñ áȩŠ.)  ‰ù:, ·‚,A^ Newton–Leibniz úª: e¦ f(x) 3 [a, +∞) þ‡¼ 5/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

无穷区间上的积分暇积分换元和分部积分数F(αc),则问题就化为了求limF(A);当这极限存在时，其值就用F(+oo）A→+α表示，我们的结果可以表述为定理1 若函数 f(α)在[a,+oo）上无穷积分收敛,且有原函数 F(αc),则有f(α)da = F(+oo) - F(a)若函数 f(α在[一αo,a] 上无穷积分收敛,且有原函数 F(α),则有f(ac)da = F(a) - F(-oo).若函数f(α)在（一αo,+α)上无穷积分收敛,且有原函数 F(α),则有f(α)da = F(+8) - F(-8).返回全屏关闭退出二6/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© ê F(x), K¯KÒz ¦ lim A→+∞ F(A); ù43ž, يÒ^ F(+∞) L«, ·‚(JŒ±L㏠½n 1 e¼ê f(x) 3 [a, +∞) þáȩÂñ, …k¼ê F(x), Kk Z +∞ a f(x)dx = F(+∞) − F(a). e¼ê f(x) 3 [−∞, a] þáȩÂñ, …k¼ê F(x), Kk Z a −∞ f(x)dx = F(a) − F(−∞). e¼ê f(x) 3 (−∞, +∞) þáȩÂñ, …k¼ê F(x), Kk Z +∞ −∞ f(x)dx = F(+∞) − F(−∞). 6/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷区间上的积分换元和分部积分例3计算无穷积分dr.1+2解函数的一个原函数是arctan，因此+α1d = arctan(+)- arctan(-) = - 三元1+2+8ln例4计算无穷积分dr.22的一个原函数是F(α)=ma,因此解函数的+8Inad = F(+) - F(1) = 1221返回全屏关闭退出7/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© ~ 3 OŽÃ¡È© Z +∞ −∞ 1 1 + x2 dx. ) ¼ê 1 1+x2 ‡¼ê´ arctan x, Ïd Z +∞ −∞ 1 1 + x2 dx = arctan(+∞) − arctan(−∞) = π 2 − (− π 2 ) = π. ~ 4 OŽÃ¡È© Z +∞ 1 ln x x2 dx. ) ¼ê ln x x2 ‡¼ê´ F(x) = −ln x+1 x , Ïd Z +∞ 1 ln x x2 dx = F(+∞) − F(1) = 1. 7/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷区间上的积分换元和分部积分定义2（Cauchy主值）设f（α）在（一o，+oo）上有定义，在任意有限区间上可积若极限Alimf(α) dacA-→+8-A+8收敛，则称无穷积分f(a)da在Cauchy主值意义下收敛，简称Cauchy主值积分收敛，上面的极限就是该无穷积分的Cauchy主值.记为V.P.f(α) dac.若上面的极限不存在，则称Cauchy主值积分发散返回全屏关闭退出II8/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© ½Â 2 (Cauchy ̊)  f(x) 3 (−∞, +∞) þk½Â, 3?¿k«m þŒÈ. e4 lim A→+∞ Z A −A f(x) dx Âñ, K¡Ã¡È© Z +∞ −∞ f(x) dx 3 Cauchy ̊¿ÂeÂñ, {¡ Cauchy ̊ȩÂñ, þ¡4Ò´Táȩ Cauchy ̊, P V.P. Z +∞ −∞ f(x) dx. eþ¡4Ø3, K¡ Cauchy ̊ȩuÑ. 8/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷区间上的积分换元和分部积分例5考虑概率论中的两个无穷积分的敛散性+8+8&(1)(2)dc:d.1 + α21 + 2解函数的一个原函数是 F(α)=,ln(1 +α2),因此这两个无穷积分都是发散的.但是因为Aadc = F(A) - F(-A) = 0,A1+2AA[αada = 2(F(A) - F(0) = ln(1 + A2)dc = 2A1+21 + α210所以第一个无穷积分的Cauchy主值积分收敛到O，第二个无穷积分的Cauchy主值积分发散到+80返回全屏关闭退出I49/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© ~ 5 ÄVÇØ¥ü‡Ã¡È©ñÑ5: (1) Z +∞ −∞ x 1 + x2 dx; (2) Z +∞ −∞ |x| 1 + x2 dx. ) ¼ê x 1+x2 ‡¼ê´ F(x) = 1 2 ln(1 + x 2 ), Ïdùü‡Ã¡È ©Ñ´uÑ. ´Ï Z A −A x 1 + x2 dx = F(A) − F(−A) = 0, Z A −A |x| 1 + x2 dx = 2 Z A 0 x 1 + x2 dx = 2(F(A) − F(0) = ln(1 + A2 ) ¤±1‡Ã¡È© Cauchy ̊ȩÂñ 0, 1‡Ã¡È© Cauchy ̊ȩuÑ +∞. 9/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

暇积分无穷区间上的积分换元和分部积分暇积分5.4.2对于在有限区间上无界的函数，我们的做法是将导致函数无界的点（称为瑕点）的近旁挖去，使得函数在剩余的区间上有界积分后，再让挖去的部分的长度趋于零，如果极限存在，就定义该极限为无界函数的广义积分，或称为瑕积分定义 3 设 f(α) 在 (a,bl 上有定义,且 lim f(α) = o. 设对任意 ε E(0,b一a),f(α)在[a +E,bl 上可积.若极限nblimf(α) dacE-→0+Jate收敛，则称无界函数的积分或称瑕积分f(aα）dac收敛，上面的极限就是暇积分的值.若上面的极限不存在，则称这个暇积分发散返回全屏关闭退出-10/19

á«mþÈ© aÈ© †Ú©ÜÈ© 5.4.2 aÈ© éu3k«mþÃ.¼ê, ·‚‰{´ò¼êÃ.: (¡ ×:) C
, ¦¼ê3{«mþk. È©￾, 24
Ü ©ݪu", XJ43, Ò½ÂT4Ã.¼ê2ÂÈ©, ½¡ ×È©. ½Â 3  f(x) 3 (a, b] þk½Â, … lim x→a+ f(x) = ∞. é?¿ ε ∈ (0, b − a), f(x) 3 [a + ε, b] þŒÈ. e4 lim ε→0+ Z b a+ε f(x) dx Âñ, K¡Ã.¼êÈ©½¡×È© Z b a f(x) dx Âñ, þ¡4Ò´ aÈ©Š. eþ¡4Ø3, K¡ù‡aÈ©uÑ. 10/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ