《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第1章 实数与极限 §1.3 函数极限

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 §1.3函数极限 1.3.1函数 函数就是量与量之间的数学关系式.数学和其他科学中绝大部分关系都 受到函数关系的支配.例如，自由落体下落时间t与下落距离h之间的关系 是 h=lor2 (其中，g是重力加速度)；质量是m的运动质点的动能是通过它的运动速 度v按照公式 E=mo2 给出的； 返回 全屏 关闭 退出 1/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 §1.3 ¼ê4 1.3.1 ¼ê ¼êÒ´þ†þƒmêÆ'Xª. êÆÚÙ¦‰Æ¥ýŒÜ©'XÑ É¼ê'X|. ~X, gdáNeážm t †eáål h ƒm'X ´ h = 1 2 gt2 £Ù¥, g ´­å\„ݤ; Ÿþ´ m $ğ:ÄU´ÏL§$Ą Ý v Uìúª E = 1 2 mv2 ‰Ñ; 1/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6定义在实数集合R的子集上且取值为实数的函数，其严格的定义如下：定义1设D是R的非空子集，若按照某种对应关系f.对于D中的每一个数,有唯一确定的 yER与之对应,将y记成f(α),那么,就称f是D上的一个实值函数.集合D称为f的定义域，记为f)，而数f(αc)称为f的值.f 的一切值的集合叫做的值域,通常记成f),即f)={yl y=f(α),a E (f)). 习惯上,称上述的 α为自变量,y为因变量一个函数，也可以看成是一个将D CR映入R内的一个映射f: D→R, 或 f: α→y=f(α)返回全屏关闭退出2/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ½Â3¢ê8Ü R f8þ…Š¢ê¼ê, ÙÂXe: ½Â 1  D ´ R šf8, eUì,«éA'X f, éu D ¥z ‡ê x, k(½ y ∈ R †ƒéA, ò y P¤ f(x), @o, Ò¡ f ´ D þ‡¢Š¼ê. 8Ü D ¡ f ½Â, P D(f), ê f(x) ¡ f Š. f ƒŠ8܉ f Š, Ï~P¤ R(f), = R(f) = {y | y = f(x), x ∈ D(f)}. S.þ, ¡þã x gCþ, y Ï Cþ. ‡¼ê, Œ±w¤´‡ò D ⊂ R N\ R S‡N: f : D −→ R, ½ f : x 7−→ y = f(x) 2/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6要注意因变量是由自变量唯一确定的，即函数具有单值性，但不同的数的值可以是相同的XIaX2ybZC(f)(f)当 A C f)时,称集合 f(A) :={f(αc)Iα E A} 为 A在函数 f 下的像. 当 B C R 时,称集合 f-1(B) :=[α E (f)If(α) E B) 为 B 在 f 下的原像.R2中的点集{(α,f(α))|α E f))称为函数f 的图像返回全屏关闭退出3/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ‡5¿ÏCþ´dgCþ(½, =¼êäküŠ5, ØÓê ŠŒ±´ƒÓ. x y z a b c x 1 2 D(f) R(f)  A ⊂ D(f) ž, ¡8Ü f(A) := {f(x)| x ∈ A}  A 3¼ê f e .  B ⊂ R ž, ¡8Ü f −1 (B) := {x ∈ D(f)| f(x) ∈ B}  B 3 f e . R2 ¥:8 {(x, f(x))| x ∈ D(f)} ¡¼ê f ã. 3/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6常值函数：函数的取值是一个固定的数，其图像为一段水平直线取整函数：f(αc)=[a],其图像为一阶梯形状y321X-2-104--3Dirichlet函数:D(ac)a E RIQ返回全屏关闭退出4/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~Š¼ê: ¼êŠ´‡½ê, ÙããY²†‚. ¼ê: f(x) = [x], ÙãF/G. x y -3 -2 -1 O 1 2 3 4 1 2 3 -1 -2 -3 Dirichlet ¼ê: D(x) =    1, x ∈ Q; 0, x ∈ R \ Q. 4/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.61.3.7有界函数：函数的值域是R中一个有界集单调函数：函数的定义域与值域同序（或者反序），即定义域中任意两个数 a1,2的大小次序,均与它们对应的值域中的两个数 y1=f(a1)，y2=f（2）的大小次序相同（或者相反），有两种情形：单调递增函数,对任意的 α1, 2 E (f)，如果 1< 2,有f(α1)≤ f(α2);单调递减函数,对任意的 1,2E(f)，如果 1< 2,有f(a1)≥f(2);若上面的不等号为严格不等号，则称f（αc）为严格单调递增（减）函数反函数若对每一个yEf),都有唯一确定的&Ef)使得f(α）=y，即，从函数图象上看，就是任何一条平行于α轴的直线，与函数的图象至多有一个交点.此时，自然地导出一个由f）到(f）的映射这个映射称为f的反函数（或逆映射），记为f-l，它的定义域为f)值域为f).显然，当且仅当f是(f)到f)的一一对应时，f才有反函数，而且反函数是唯一的返回全屏关闭退出-5/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 k.¼ê: ¼êŠ´ R ¥‡k.8. üN¼ê: ¼ê½Â†ŠÓS£½ö‡S¤,=½Â¥?¿ü ‡ê x1, x2 ŒgS, þ†§‚éAŠ¥ü‡ê y1 = f(x1), y2 = f(x2) ŒgSƒÓ£½öƒ‡¤, kü«œ/: üN4O¼ê, é?¿ x1, x2 ∈ D(f), XJ x1 f(x2); eþ¡Øҏî‚ØÒ, K¡ f(x) î‚üN4O£~¤¼ê. ‡¼ê: eéz‡ y ∈ R(f), Ñk(½ x ∈ D(f) ¦ f(x) = y, =, l¼êãþw, Ò´?Û^²1u x ¶†‚, †¼ê ãõk‡:. dž, g,/чd R(f)  D(f) N. ù‡ N¡ f ‡¼ê£½_N¤, P f −1 , §½Â R(f), Š D(f). w, …= f ´ D(f)  R(f) éAž, f âk‡¼ê, …‡¼ê´. 5/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.41.3.71.3.11.3.21.3.31.3.51.3.6例1证明函数y=（0<+8）是一一的，并求其反函数证明该函数的定义域是（0,+00），值域是（0,1).对于两个正数a1,aC2有11C121=2，1+11+11+21+2所以该函数是一一的，因而有反函数从=可得=，所以该函数的反函数是=，(01)Ty=7TyAy=ay=1+aAXO返回全屏关闭退出6/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~ 1 y²¼ê y = x 1+x (0 < x < +∞) ´, ¿¦Ù‡¼ê. y² T¼ê½Â´ (0, +∞), Š´ (0, 1). éuü‡ê x1, x2 k x1 1 + x1 = x2 1 + x2 =⇒ 1 1 + x1 = 1 1 + x2 =⇒ x1 = x2, ¤±T¼ê´, Ï k‡¼ê. l y = x 1+x Œ x = y 1−y , ¤±T¼ê‡¼ê´ y = x 1−x , (0 < x < 1). O 1 1 x y y = x 1+x y = x y = x 1−x 6/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.11.3.31.3.71.3.21.3.41.3.51.3.6常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，是最基本的函数.称它们为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次加、减乘、除和复合运算得出的函数称为初等函数有限个幂函数的线性组合称为多项式f(α)= ana" +...+aia+ao,其中ao,ai,.·，an称为多项式的系数f（）天两个多项式函数f(α)、g(α）的商装称为有理函数，它的定义域当然就r是不包括g(α）=0的实根的所有实数设f(aα）是一个函数，称f+(aα）：=maxf(aα),o)为f(ac）的正部，称f-(ac）：=一min(f(a）,o）为f(α）的负部.显然有f(α) = f+(α) - f-(α), If(α)l = f+(α) +f-(α)返回全屏关闭退出7/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~ê¼ê!¼ê!ê¼ê!éê¼ê!n¼ê†‡n¼ê, ´ ļê. ¡§‚Äмê. dÄмê²Lkg\!~! ¦!ØÚEÜ$ŽÑ¼ê¡Ð¼ê. k‡¼ê‚5|Ü¡õ‘ª: f(x) = anx n + · · · + a1x + a0, Ù¥ a0, a1, · · · , an ¡õ‘ªXê. ü‡õ‘ª¼ê f(x)!g(x) û f(x) g(x) ¡kn¼ê, §½Â,Ò ´Ø) g(x) = 0 ¢Š¤k¢ê.  f(x) ´‡¼ê, ¡ f +(x) := max{f(x), 0}  f(x) Ü, ¡ f −(x) := − min{f(x), 0}  f(x) KÜ. w,k f(x) = f + (x) − f −(x), |f(x)| = f + (x) + f −(x). 7/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6函数的表示显式函数象基本初等函数那样用明显的代数式子：y三f（α）表达的函数.例如,y= sin,y= +ln,等隐式函数变量α和y的依赖关系通过一个二元方程F(α,y）=0给出.例如y+2u-a- sinc=0决定了一个函数y=f(α)，我们给不出这个函数的明确表达式，但以后我们可以证明这是一个严格单调递增函数，定义域和值域都是（一0，十8)返回全屏关闭退出II8/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ¼êL« wª¼ê Äмê@^²wêªf: y = f(x) Lˆ¼ ê. ~X, y = sin x, y = x + ln x, . Ûª¼ê Cþ x Ú y 6'XÏL‡§ F(x, y) = 0 ‰ Ñ. ~X, y + 2y − x − sin x = 0 û½ ‡¼ê y = f(x), ·‚‰ØÑù‡¼ê²(Lˆª, ±￾·‚ Œ±y²ù´‡î‚üN4O¼ê, ½ÂÚŠÑ´ (−∞, +∞). 8/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.61.3.7y+2--sin=1在E[-5,5]时的图像如下y2返回全屏关闭退出19/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 y + 2y − x − sin x = 1 3 x ∈ [−5, 5] žãXe: x y 9/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.61.3.7一般地，满足二元方程F（α，y）=0的点（c,y）所成的图像可以更复杂r2y2α2/3 + y2/3 = α2/3=1+a262ybAa-Oa返回退出全屏关闭V10/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 „/, ÷v§ F(x, y) = 0 : (x, y) ¤¤㌱E,. y O x a b x 2 a2 + y 2 b 2 = 1 y O x a a −a −a x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 10/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ