《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第三章 导数与微分（高阶导数）

第三章导数与微分一一高阶导数 相关变化率

第三章 导数与微分 ―—高阶导数 相关变化率

显函数的高阶导数（1）二阶导数和二阶导函数：若函数y=f(x）的导函数f(x)在点=x。可导，则称其导数为函数y=f(x）在x=X。的二阶导数，记为d'yd'f"|x=xo、f"(xo)、dxdx?X=Xe此时称y=f(x）在x=x。二阶可导

显函数的高阶导数 （1）二阶导数和二阶导函数： 若函数 的导函数 在点 可导， 为函数 在 的二阶导数， 、 、 、 。 此时称 在 二阶可导。 记为 则称其导数

若函数y=f(x）在区间I中的每一点都二阶可导，则称f(x）在I中二阶可导，称f"(x)=（f(αx)为f(x）的二阶导函数，简称二阶导数。df二阶导函数也可记为dx2

二阶可导， 若函数 在区间 中的每一点都二阶可导， 称 为 的二阶导函数，简称二阶导数。 二阶导函数也可记为 。 则称 在 中

例求y=e++tanx的二阶导函数"。解对于显函数的较低阶导数，可逐阶求导。y'= 2x.e** +sec' x ,J"= 2e** +4x'e* +2sec x·sec x tan x=(2+4x*)e** + 2 sec’ x tan x

例 求 的二阶导函数 。 解 对于显函数的较低阶导数，可逐阶求导。 。

例令t= tanx，试变换方程d'ydy+ 2cos2 x(1- sin x cos x)cos* xV=secxdx?dxdy dtdydy解自变量变换，用于解微分方程secdxdtdxdtdyd'ydy2sec?·sec’x，代入原方程得到xtan xsecdt?dx?dtd'ydydy2 sin x cos xy= sec’ x2(1 -sin xcos x)dt?dtdtd'ydy即2+dt?dt

解 例 令 ，试变换方程 。 ， 代入原方程得到 ， ， 即 。 自变量变换，用于解微分方程：

（2）n阶导数和n阶导函数：若函数y=f(x)的n-1 阶导函数f(n-1)(x）在点x=x可导,则称其导数为函数y=f(x）在x=x的n阶导数，记为d"fd"yy( x0、("(x0)、dx"]\ dx"1x=Xo此时称y=f(x）在x=x。点n阶可导

、 、 、 。 记为 （2） 阶导数和 阶导函数： 若函数 的 阶导函数 在点 可导， 则称其导数为函数 在 的 阶导数， 此时称 在 点 阶可导

若函数y=f(x）在区间I中的每一点都n阶可导，则称f(x）在I中n阶可导，称f(")(x)=(f(n-1)(x)’为f(x)的n 阶导函数，简称n 阶导数。d"fn阶导函数也可记为dx

若函数 在区间 中的每一点都 阶可导， 阶导函数也可记为 。 则称 在 中 阶可导， 称 为 的 阶导函数，简称 阶导数

例正弦函数、余弦函数、指数函数、幂函数、对数函数的n阶导函数。解可用不完全归纳法直接求高阶导函数：(ax +b)°)'= aα(ax + b)a-1 ,设 (ax +b)")(k) =aα(α-1)L (α-k +1)(ax+b)a-k ,则 (ax +b)")(k+1) =(a*a(α-1)L (α-k +1)(ax +b)a-k)=a*+lα(α-1)L (α-k +1)(α-k)(ax+b)a-k-1 ,所以(ax +b)")(n) = a"α(α-1)L (α-n +1)(ax +b)α-n=a"n!C"(ax+b)a-";

例 正弦函数、余弦函数、指数函数、幂函数、对数函数的 阶导函数。 解 ， 设 ， 则 ， 可用不完全归纳法直接求高阶导函数： 所以 ；

例正弦函数、余弦函数、指数函数、幂函数、对数函数的n阶导函数。解所以((ax + b)~)(") = a"α(α-1)L (α-n +1)(ax +b)α-n=a"n!C"(ax +b)a-" ;(loga(ax + b)(") = (a loga e· (ax + b)-")(n-1)=a" logα e·(-1)"-(n -1)!(ax +b)-n

例 正弦函数、余弦函数、指数函数、幂函数、对数函数的 阶导函数。 解 。 所以 ；

（3）n阶导函数的四则运算公式：设函数f(x）和g(x）都n阶可导，k和l是任意常数，则(a) (k· f(x)±l g(x)(") = k· f(")(x)±l ·g(")(x) ;（b）莱布尼兹公式（可用数学归纳法证明）：(f(x)g(x)) =Zch f()(x)g("-k)(x)

（3） 阶导函数的四则运算公式： （a） ； 设函数 和 都 阶可导， 和 是任意常数， （b）莱布尼兹公式（可用数学归纳法证明）： 。 则