《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第六章 定积分及其应用

第六章定积分及其应用第一节先定积分的概念与性质第二节定积分的计算第三节反常积分第四节定积分的应用

第六章 定积分及其应用 第一节 定积分的概念与性质 第二节 定积分的计算 第三节 反常积分 第四节 定积分的应用

第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质

第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质

一、定积分问题举例曲边梯形的面积V设函数y=(x)在(x)区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、r=br=ay=0及曲线y=f(x)所围bOxa成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边

•曲边梯形的面积 设函数y=f(x)在 区间[a, b]上非负、连 续. 由直线x=a、x=b、 y=0及曲线y=f(x)所围 成的图形称为曲边梯 形, 其中曲线弧称为 曲边. 一、定积分问题举例

观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形，当小矩形的宽度减少时，小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何释录曲边梯形的面积？1J=(x)x=bx=aObax

观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减 少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将 如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？

求曲边梯形的面积(1)分割:a=xo<xi<x2<...<xn-1<xn=b, △x=x,-x,-1;(2)近似代替:小曲边梯形的面积近似为()Ax, (xi-1<5<x);(3)求和：曲边梯形的面积近似为≥f(5,)Ax;;(4)取极限：设=max;△xi.△Ax,△x..曲边梯形的面积为n4VZA= limy=f(x)f(E)Ax,1→011Xn-ibOExixx1ai-l

 → = =  n i i i A f x 1 0 lim ( )  . 求曲边梯形的面积 (1)分割: a=x0< x1< x2< < xn−1< xn =b, xi=xi−xi−1 ; 小曲边梯形的面积近似为f(i )xi (xi−1<i<xi (2)近似代替: ); (4)取极限: 设=max{x1 , x2 ,, xn }, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为  ; → = =  n i i i A f x 1 0 lim ( ) 

变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度=Vt）是时间t的连续函数，y()计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割： T=to<t<t<.…<,△t=t-t-1;1<t(2)取近似：物体在时间段[t-1,,]内所经过的路程近似为AS=v(t)At, (t-i<t<t, );(3)求和：物体在时间段[T,T]内所经过的路程近似为S~Zv(t,)At, ;一(4)取极限：记=max{△ti,△t2,,△tn),物体所经过的路程为S= limZv(ti)Ati.元0

⚫变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1 , T2 ]内所经过的路程S. (1)分割: T1=t 0<t 1<t 2<  <t n−1<t n =T2 , t i=t i−t i−1 ; (2)取近似: 物体在时间段[t i−1 , t i ]内所经过的路程近似为 Siv(i )t i ( t i−1< i<t i ); 物体在时间段[T1 , T2 (3)求和: ]内所经过的路程近似为 (4)取极限: 记=max{t 1 , t 2 ,, t n }, 物体所经过的路程为  =   n i i i S v t 1 ( ) ;  → = =  n i i i S v t 1 0 lim ( ) 

二、定积分定义定义设函数(x)在区间[a,b]上有界在区间[a,b]内任取分点： a=x0i=1

在小区间[xi−1 , xi ]上任取一点i (i=1, 2,, n),作和 =max{x1 , x2 ,,xn 记x }; i=xi−xi−1 (i=1, 2,, n), a=x0<x1<x2<  <xn−1<x 在区间[a, b]内任取分点: n =b; 定义 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 若当→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间 [a, b]的分法和i的取法无关, 则此极限称为函数f(x)在 区间[a, b]上 的定积分, 记为 即 二、定积分定义

定积分各部分的名称≥7(5)Ax,积分和积分符号，i=1被积函数，(x)被积表达式，f(x)dx -积分变量，x积分下限，ab积分上限，积分区间[a, b]

•定积分各部分的名称  ————积分符号 , f(x ) ———被积函数 , f(x )dx ——被积表达式 , x ————积分变量 , a ————积分下限 , b ————积分上限 , [ a , b ]———积分区间 ， =  n i i x i f 1 ( ) ———积分和

心定积分的定义[" f(x)dx=limZf(5)Ax, 入0=1心函数的可积性如果函数(x)在区间[a，b]上的定积分存在，则称(x)在区是埋b]如巢数(x)在区间[a, b]上连续，则函数(x)在区间[a,b]上可积定理2如果函数(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则函数(x)在区间[a,bl上可积

❖函数的可积性 如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x) 在区间定理[a, b]上可积. 1 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间[a, b]上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有 限个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. ❖定积分的定义   → = =  n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) 

三、定积分的几何意义1）当(x)≥0时,定积分J°(x)d在几何上表示由曲线y=(x)、直线x=a、x=b与y=0 所围成的封闭图形的面积.2）当(x)<0时,定积分「"(x)dx在几何上表示曲边梯形面积的负值3)一般地，(x)在[a,b]上的定积分表示介于x轴、曲线y=(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和J-f(x)+ab

3)一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲 线y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和. 1）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示由曲线 y=f(x)、直线x=a、x=b与y=0 所围成的封闭图形的面积. 2）当f(x)<0时, 定积分 在几何上表示曲边梯 形面积的负值. ( ) b a f x dx  ( ) b a f x dx  三、定积分的几何意义