《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第四章 微分中值定理与导数的应用（函数图形 曲率）

第四章 微分中值定理与导数的应用一一函数图形描绘曲率

第四章 微分中值定理与 导数的应用 ―—函数图形描绘 曲率

渐近线（1）定义：若连续曲线C上的点P沿着曲线无限地远离原点O时，点P与某一条定直线L之间的距离dist(P.L）满足limdist(P,L)=0，1OPI-00则称L是曲线C的一条渐近线。渐近线根据是否存在斜率分为铅直（垂直）渐近线和斜渐近线两类

渐近线 （ 1）定义： 渐近线根据是否存在斜率分为铅直（垂直）渐近线和斜渐近线两类。 则称 是曲线 的一条渐近线。 若连续曲线 上的点 沿着曲线无限地远离原点 时， 点 与某一条定直线 之间的距离 满足

（a）铅直渐近线：若当x→x（或→→x）时，函数f(x)为无穷大，即lim f(x)=o0 (或lim f(x)= o0 、lim f(x)= o0 )x→Xox-→xox→xo则直线x=x。是函数y=f(x）的铅直渐近线。特别地，当x=X，是函数y=f(x）的无穷间断点时，直线x=x。是函数y=f(x）的铅直渐近线

（a）铅直渐近线： 则直线 是函数 的铅直渐近线。 若当 （或 、 ）时， 特别地，当 是函数 的无穷间断点时， ） ， 即 （或 、 直线 是函数 的铅直渐近线。 函数 为无穷大

（b）斜渐近线：若当x→0（或x→+ →-o0）时，函数f(x)与直线y=ax+b 的距离趋于零，即 lim(f(x)-ax-b)=0x>o(或lim(f(x)-ax -b)=0 、lim(f(x)-ax -b)=0 )x-→+oo1直线y=ax+b是函数y=f(x）的斜渐近线。f(x)此时, a = limb= lim(f(x)-ax) 。x->00xx>00

（b）斜渐近线： 若当 （或 、 ）时， 的距离趋于零， （或 、 ） ， 直线 是函数 的斜渐近线。 此时， ， 函数 与直线 即

I x/例 求函数f(x)-的渐近线。x-1解初等函数的垂直渐近线只可能在定义区间的端点处。[x]lim8x-1 x-1a](a)=所以x=1是垂直渐近线；新近线！[x|[ x|渐近线3二. lim-1lim新近线主x→-0 x -1x→+ x-1所以y=1和y=-1是斜（水平）渐近线

例 求函数 的渐近线。 解 ， 所以 是垂直渐近线； ， ， 所以 和 是斜（水平）渐近线。 初等函数的垂直渐近线只可能在定义区间的端点处

x的渐近线。例求函数=x2-2x-3潮近线：x?y解Jimlim=1 ;2-2x-3潮近线=x-00xx-→00 X浙近线：2x2+3lim(y -x) = lim=2;x-→0 x2 -2x-3x>o有时候用定义求渐近线是方便的，例如有理函数。x37x+67x+6x+2+lim0x2-2x-3x2-2x-32-2x-3x>00

例 求函数 的渐近线。 解 ； ， ； 。 有时候用定义求渐近线是方便的，例如有理函数

函数图形的描绘(1)步骤：（a）确定函数的定义域，考虑函数的奇偶性和周期性，确定曲线经过的一些特殊点（如与坐标轴的交点）；（b）利用一阶导数和二阶导数确定函数的单调区间，极值点与极值函数的凹凸区间，拐点及拐点的函数值，并通过列表表示所得结果；（c）确定曲线的渐近线；（d）描绘出函数的图形

函数图形的描绘 （ 1）步骤： （a）确定函数的定义域， （b）利用一阶导数和二阶导数确定函数的单调区间， 确定曲线经过的一些特殊点（如与坐标轴的交点）； 函数的凹凸区间， （c）确定曲线的渐近线； （d）描绘出函数的图形。 考虑函数的奇偶性和周期性， 极值点与极值， 拐点及拐点的函数值，并通过列表表示所得结果；

例全面讨论函数y=e-x的性态，并作出它的图形（高斯曲线）解注意书写格式。ysy'= -2xe-x?0.5y" = 2(2x? -1)e-x

解 例 全面讨论函数 的性态，并作出它的图形（高斯曲线）。 ， 注意书写格式。

(x -2)2例全面讨论函数的性态，并作出它的图形。2(x -1)x(x - 2)(±-2)3解2(α-1)2(x -1)13渐近线！渐近线：=1(x -1)3

解 例 全面讨论函数 的性态，并作出它的图形。 ，

x3 -2例全面讨论函数的性态，并作出它的图形。2(x -1)2(x + 2)(x - 2)2浙近线解J'2(x -1)3α+2渐近线y3(x - 2)Vi(x-1)4u2T

解 例 全面讨论函数 的性态，并作出它的图形。 ，