《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第四章 微分中值定理与导数的应用（导数的应用）

第四章 微分中值定理与导数的应用一一导数的应用

第四章 微分中值定理与 导数的应用 ―—导数的应用

函数单调性的判断及其应用（1）函数单调性判断：定理：设函数f(x)EC[a,b]I D(a,b)，则f(x）在闭区间[a,bl上单调增加的充分必要条件是：VxE(a,b)，f'(x)≥0;f(x）在闭区间[a,b]上单调减少的充分必要条件是：Vxe(a,b), f'(x)≤0 解用导数定义和拉格朗日定理

函数单调性的判断及其应用 （ 1）函数单调性判断： 定理： 解 ， ； 在闭区间 上 单调减少的充分必要条件是： ， 。 设函数 ， 用导数定义和拉格朗日定理。 则 在闭区间 上 单调增加的充分必要条件是：

定理：设函数f(x)eC[a,b]I D(a,b)，则 f(x)在闭区间[a,b] 上严格单调增加的充分必要条件是：VxE(a,b)，f(x)≥0且在包含于开区间（a,b）内的任何子区间上f(x）不恒等于零；f(x）在闭区间【a,b]上严格单调减少的充分必要条件是：VxE(a,b)，f'(x)≤0，且在包含于开区间(a,b)内的任何子区间上f（x）不恒等于零。解用拉格朗日定理推论

定理： 解 ， ， 在闭区间 上 严格单调减少的充分必要条件是： 且在包含于开区间 内的任何子区间上 不恒等于零； ， ， 子区间上 不恒等于零。 用拉格朗日定理推论。 设函数 ，则 在闭区间 上 严格单调增加的充分必要条件是： 且在包含于开区间 内的任何

（2）函数单调性的应用：（a）划分单调区间例求函数f(x)=2x2-9x2+12x-3的单调区间。解注意书写格式：D，=R。f'(x)=6x2-18x+12=0=x=1 ,x= 2 。当x E(-o0,1)和xE(2,+o)时,f(x)0 ，f(x)单调递增;当xE(1,2)时,f'(x)<0 ，f(x)单调递减

（2）函数单调性的应用： （a）划分单调区间 例 求函数 的单调区间。 解 ， 。 。 当 和 时， ， 当 时， ， 注意书写格式： 单调递增； 单调递减

2例求函数f(x)=x3(x-5）的单调区间。解D,=R。22+x3(x)=二x 3(x3(5x -10) = 0 = x =2X*33x=0是不可导点。当x E(-00,0)和x E(2,+o0）时,f(x)>0，f(x)单调递增;当xE(0,2) 时,f(x)<0 ，f(x) 单调递减

例 求函数 的单调区间。 解 。 当 和 时， ， 当 时， ， ， 是不可导点。 单调递增； 单调递减

（2）证明不等式：当F（x）具有单调性时，常可利用单调性证明F(x)>0。2sinx元1时,例证明约当不等式：当xE0元2xsinx元解则令F(x)xE2xxcosx-sinx(x-tanx)cosx0F'(x):X2sinx2元元E中严格单调递减。特别地所以F(x）在2)x2元

（2）证明不等式： 例 证明约当不等式：当 时， 。 解 令 ， ，则 ， 所以 在 中严格单调递减。特别地， 。 当 具有单调性时，常可利用单调性证明

x3sinx0时，X6x3解令F(x)=sinx-x+,x E[0,+o0)，则6x2F'(x)= cos x -1+,F"(x)=-sinx+x>0 , xE(0,+oo) :2所以F(x）严格单调递增→当x>0 时F(x)>F(O)=0，所以F(x) 严格单调递增= 当x>0 时 F(x)>F(O)=0

解 例 证明：当 时， 。 令 ， ，则 ， 所以 严格单调递增 当 时 ， ， 所以 严格单调递增 当 时 ， 。 ，

（3）判断零点存在性：例求满足sin(x+sinx)=cos(x一cosx）的所有锐角。元解希望从 sin(x + sin x)= cos(x - cos x)= sinx+cosx2元确定x+sinx 与的关系。-x+cosx白2元为此需要确定x+sinx与一x+cosx的取值范围。2

解 （3）判断零点存在性： 例 求满足 的所有锐角。 希望从 确定 与 的关系。 为此需要确定 与 的取值范围

例求满足sin(x+sinx)=cos(x一cosx）的所有锐角。元解时,当xEx+cosx严格单调递减且值域为2x+sinx严格单调递增且值域为元元+cosx+ sinx≤+V2<元,因为x+cosx +(x+sinx)=222元所以x+cosx=x+sinx2

解 例 求满足 的所有锐角。 当 时， 严格单调递减且值域为 ， 严格单调递增且值域为 。 因为 ， 所以

例求满足sin(x+sinx）=cos(x一cosx）的所有锐角。元解所以-x+cosx=x+sinx。2单调性常被用来判别零点的个数元-2x+cosx-sinx，则F(x)=-2-sinx-cosx<0F(x)=2元一x+cosx=x+sinx至多只有一解，所以2元是解。易验证：X=4

解 例 求满足 的所有锐角。 所以 。 易验证： 是解。 单调性常被用来判别零点的个数。 令 ，则 ， 所以 至多只有一解