《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 不定积分

第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节不定积分的基本积分公式与性质第三节换元积分法第四节分部积分法

第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的基本积分公式与性 质 第三节 换元积分法 第四节 分部积分法 第五节 简单有理分式函数的积分

第一节）不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念一二、简单的不定积分问题举例

第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、简单的不定积分问题举例

一、原函数与不定积分的概念定义1设函数f与F在区间I上有定义，若F(x)= f(x)或dF(x) = f(x)dxXEI.赠髓为f在区间I上的一个原函数（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？（2）任意两个原函数之间有什么关系？

❖ 定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义，若 则称F为f 在区间I上的一个原函数 一、原函数与不定积分的概念 ' F x f x dF x f x dx x I ( ) ( ) ( ) ( ) , = =  或 ◼问题： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？ （2）任意两个原函数之间有什么关系？

定理 1如果函数f(x)在区间I上连续,那么x）在该区间上的原函数一定存在定理 2 如果函数f(x)有一个原函数F(x),则它一定有无穷多个原函数，并且对任意的常数C形如F(x)+C的函数族,构成f(x)的全体原函数

定 理 1 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续,那 么 f (x) 在该区间上的原函数一定存在. 定理 2 如果函数 f (x) 有一个原函数F(x) ,则 它一定有无穷多个原函数,并且对任意的常数 C, 形如 F(x) + C 的函数族,构成 f (x) 的全体原函数

定义 2fx)的原函数的一般表达形式F(x)+C称为f(x)的不定积分,记为「f(x)dx，其中记号「叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，由定义知f(x)dx=F(x)+C.这里任意常数C又叫做积分常数

定 义 2 f (x) 的原函数的一般表达形式 F(x) + C称为 f (x)的不定积分,记为 f (x)dx ,其中 记 号 叫 做积分号, f (x) 叫 做被积函数, x 叫 做积分变量. 由定义知  f (x)dx = F(x) + C .这里任意常数 C 又叫做积分常数

(lnx)=(x>0)x1二在区间(0,十8)内的原函数Inx是x[f(x)dxF(x)+C式被数被任意常数号积2积表达积函分

任意常数 积分 号 被积函 数  f (x)dx = F(x) + C 被积表达 式 积分变 量 ① ( ) ( 0) 1 ln =   x x x ln x是x1 在区间(0,+)内的原函数. ②

二、简单的不定积分问题举例例1求[e*dx.解因为（e)=ex，所以ex是e的一个原函数，根据定义(e*dx=ex+C

二、简单的不定积分问题举例 例 1 求 e dx x ． 解 因 为 x x (e ) = e ,所 以 x e 是 x e 的一个原函 数,根据定义 e dx e C x x = + 

d例2求[ln(-x)]' =解所以自然对数函数求导以后得到的导函数形式均为．所以说1在（O,+o）内具有原函数形式为lnx+C，而在(-8,0)内则具有形如ln(一x)+C的原函数.把x>0及x<0内的结果合起来，可写作[I dx = In I × I +cx

例 2 求  dx x 1 ． 解 x x x 1 ( 1) 1 [ln( )] − = − −  = ，所以自然对数函 数求导以后得到的导函数形式均为 x 1 ．所以说 x 1 在 (0,+) 内具有原函数形式为 ln x C+ ，而在 (−,0)内则具有形如ln( ) − + x C的原函数． 把 x  0及 x  0内的结果合起来,可写作 dx x C x = +  ln | | 1

第一节不定积分的基本积分公式与性质基本积分表不定积分的性质

第二节 不定积分的基本积分公式与性质 一、基本积分表 二、不定积分的性质

基本积分表一、(1)kdx = kx+C（k是常数);ra+1(2)J x~ dx =+C(αER,α±-1):α+1(3)J ldx = In / x | +Cqt(4)J a*dx =+C(a>0,α±1) ;In a(5)fe*dx = e* + C (6)J sin xdx = -cos x + C

一、基本积分表 (1)  kdx = k x + C ( k 是常数); C x x dx + + = +  1 (2) 1    (  R,  −1) ; dx x C x = +  ln | | 1 (3) ； C a a a dx x x = +  ln (4) (a  0,a  1) ; e dx e C x x = +  (5) ; (6)  sin xdx = −cos x + C ;