《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章 微分方程

微分方程第十一章第一节微分方程的基本概念A第二节一阶微分方程第三节可降阶的二阶微分方程第四节二阶常系数微分方程

第十一章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的二阶微分方程 第四节 二阶常系数微分方程

第一节微分方程的基本概念微分方程的定义一、二、微分方程的解

第一节 微分方程的基本概念 一、微分方程的定义 二、微分方程的解

一、微分方程的定义例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,Jy)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程解设所求曲线为 y=(x)dy=2x其中x=1时,y=2dxV=[2xdx即y= x?2 +C,求得C=1,所求曲线方程为y=x2+1

一、微分方程的定义 例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2  y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x +

凡是表示自变量、未知函数及其导数（或微分）与自变量之间关系的方程称为微分方程微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的“阶”，未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，当未知函数是多元函数时称为偏微分方程如果自变量为x，未知函数为y，则n阶微分方程的一般形式为F(x,y,y··

凡是表示自变量、未知函数及其导数（或微 分）与自变量之间关系的方程 称为微分方程. 微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方 程的“阶”，未知函数是一元函数的微分方程称 为常微分方程，当未知函数是多元函数时称为偏 微分方程 如果自变量为x，未知函数为y，则n阶微分 方程的一般形式为 ( ) ( , , , , ) 0 n F x y y y  =

二、微分方程的解任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解不含任意常数的解称为微分方程的特解用来确定方程通解中任意常数的条件称为方程的初始条件求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

二、微分方程的解 任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微 分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解. 不含任意常数的解称为微分方程的特解. 用来确定方程通解中任意常数的条件称为方程的初始条件. 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题

第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程齐次方程二、三、一阶线性微分方程四、伯努利方程

第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程

一、可分离变量的微分方程一阶微分方程的一般形式为dy或F(x,y,y)=0= f(x,y)dx形如dyf(x)g(y)(g(y) ± 0)dx的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程 F x y y ( , , ) 0  = 或 ( , ) dy f x y dx = 形如 ( ) ( )( ( ) 0) dy f x g y g y dx =  的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程． 一阶微分方程的一般形式为

这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程右边分解成只含x的函数与只含，的函数的乘积，而左边是关于y的一阶导数.具体解法如下：(1）分离变量，将方程写成dy=f(x)dx的形式;g(y)(dy=[f(x)dx，设积分后得(2)两端积分：「G(y) = F(x)+C :则G(y)= F(x)+C称为隐式通解，隐式解有时可以化成显式解

这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程 右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下： (1) 分离变量 将方程写成 1 ( ) ( ) dy f x dx g y = 的形式 (2) 两 端 积 分  1 ( ) ( ) dy f x dx g y =    设 积 分 后 得 G y F x C ( ) ( ) = + ； 则G y F x C ( ) ( ) = + 称为隐式通解，隐式解有时可以 化成显式解

二、齐次方程dy定义= f()的微分方程称为齐次方程形如dxxu=即y=xu,解法作变量代换xdudyutxdxdxduf(u),代入原式u+xdxdu即x变量可分离的微分方程f(u)-udx

二、齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 解法 作变量代换 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy  = + ( ), du u x f u dx + = ( ) . du x f u u dx 即 = − 变量可分离的微分方程 定义 , x y u = ( ) dy y f dx x 形如 =

dudx分离变量得f(u)-uxduX=1 m-ICh-两边积分得TCf(u)-u71f（u）-即Cex=1u=再将代入上式得原方程的通解x

分离变量得 ( ) du dx f u u x = − 两边积分得 ln ln ln ( ) du x x C f u u C = − = −  即 ( ) du f u u x Ce −  = ， 再将 x y u = 代入上式得原方程的通解