《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章 无穷级数

第十章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质第二节正项级数及其审敛法一第三节交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛第四节幂级数第五节函数展开成幂级数

第十章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 第二节 正项级数及其审敛法 第三节 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 第四节 幂级数 第五节 函数展开成幂级数

第一节常数项级数的概念和性质常数项级数的概念收敛级数的基本性质

第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质

一、常数项级数的概念数项级数的定义给定一个数列ui，uz，u3，,UnZu,= u, +u, + u, +...+un +则由这数列构成的表达式叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数其中第n项un叫做级数的一般项或通项nZ级数的部分和uSn =u +u? +---+un=i=1Si = ui, S, =ui +u, S3 =ui +uz +u3,--部分和数列s=u+u,+-+un

一、常数项级数的概念 数项级数的定义 给定一个数列 则由这数列构成的表达式 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数. 其中第 项 叫做级数的一般项或通项。 u1 , u2 , u3 ,  , un ,   = u1 +u2 +u3 ++un +  n=1 un n un 部分和数列 级数的部分和

级数的收敛与发散un的部分和数列当n无限增大时，如果级数n=lEun收lim s, = s(sn）有极限s,即则称无穷级数n→αn=敛于 s,这时极限 叫做级数un的和.并写成n=S=u +u? +...+us +..Zun发散如果(sn)没有极限，则称无穷级数n=lim Sn 存在(不存在)即常数项级数收敛（发散）台n-8

级数的收敛与发散 当 n 无限增大时,如果级数   n=1 un 的部分和数列 {sn }有极限 s,即 s s n n = → lim 则称无穷级数   n=1 un 收 敛于 s,这时极限 s 叫做级数   n=1 un 的 和.并写成 s = u1 +u2 ++u3 + 即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) 如果{ }n s 没有极限,则称无穷级数   n=1 un 发散

8Z+uu+u余项S=s-n+2n+1n+ini-1lim r, = 0如果级数收敛，则有n-00即s,~s误差为lrn

余项 n n r = s − s = un+1 +un+2 +   = = + i 1 n i u 即s s n  误差为 n r lim = 0 → n n 如果级数收敛，则有 r

例讨论等比级数几何级数80Zaq" = a aq+ aq aq" . (a* )n=0的收敛性。解主当|g |±1时=a + aq+ aq" +...+ aq"-11a-aqaaq1-q1-q1-q

例 讨论等比级数(几何级数)  = + + ++ +  = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a  0) 的收敛性. 解

alimgn =0 ::.lims当1时，“lims=8发散Yn-8n-→00如果=1时当q=1时，S,= na→0发散当q=-时，级数变为a-a+a-a+.lims,不存在发散n-8当q<1时,收敛8等比级数是一Z4综上aq当≥1时,发散个常用的级数n=0

当q  1时, lim = 0 → n n  q q a sn n −  = → 1 lim 当q  1时, =  → n n  limq  =  → n n lim s 收敛 发散 如果q = 1时 当q = 1时, 当q = −1时, sn = na →  发散 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上        = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 q q aq n n 等比级数是一 个常用的级数

二、收敛级数的基本性质性质1如果级数Zu，收敛于和s，则级数ku,也n=l敛，且其和为ks。其中k为任一常数。如果级数≥"，≥都收敛，则性质28CuntEE(untvn)=Z(u,tyn)也收敛V级数nn=ln=1n=1n=1注意：两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如08oZ1发散,Z1+1发散,(-1)发散,而1+(-1)收敛,n=1n=ln=ln=ln=1n=1

二、收敛级数的基本性质 性质2 如果级数 ， 都收敛，则 级数 也收敛， 性质1 如果级数 收敛于和 ，则级数 也 敛， 且其和为 。其中k为任一常数。   n=1 un   n=1 n ku ks  n=1 un   n=1 n v ( ) 1 n n n  u +v  =     =  =  = + = + 1 1 1 ( ) n n n n n n n u v u v s 注意：两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如        =  =  =  =  =  = − + − + 1 1 1 1 1 1 1 , ( 1) , 1 ( 1) , 1 1 n n n n n n 发散 发散而 收敛 发散

性质3在级数中删除、增加或改变前面的有限项，不会改变其的敛散性性质4收敛级数任意加括号后形成的新级数收敛于原来的和s。(u+..u.)+(un+ +.+un,)+.+(un-+i +..+u.)+..注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛例如(1-1) +(1-1) +..收敛1-1+1-1+..发散推论如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散

性质3 在级数中删除、增加或改变前面的有限项，不会改变 其的敛散性 性质4 收敛级数任意加括号后形成的新级数收敛于原来的和s。 (u1 ++ un1 ) + (un1 +1 ++ un2 ) ++ (unk−1 +1 ++ unk ) + 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. (1−1) + (1−1) + 1− 1+ 1− 1+ 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 收敛 发散 例如

性质5（级数收敛的必要条件）Z如果级数u,收敛，则limu.=0n=1n-→8注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例调和级数+32n的一般项趋于零，但它却是发散的

性质5 （级数收敛的必要条件） 如果级数  收敛，则  n=1 un lim = 0 → n n u 注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 例 调和级数 + + +  + +  n 1 3 1 2 1 1 的一般项趋于零，但它却是发散的