《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章 差分方程

第十二章差分方程第一节差分方程的基本概念第二节一阶常系数线性差分方程

第十二章 差分方程 第一节 差分方程的基本概念 第二节 一阶常系数线性差分方程

第一节差分方程的基本概念差分的定义差分方程的基本概念

第一节 差分方程的基本概念 一、差分的定义 二、差分方程的基本概念

一、差分的定义定义1已知函数=f（），1=0，士1，士2，3，，其在t时刻的定义为J一阶差分记作公，△y=y+i-y=f(t+)-f(t)二阶差分记作公V定义为=)=+=+2-2++y依此类推，n阶差分记作△y（n整数），定义为(-1)iChyt+n-A"yt =(△"-lyr)=(n=1.2.3....)二阶及二阶以上的差分称为高阶差分

一、差分的定义

二、差分方程的基本概念含有未知函数的差分△yxyx.....的函数方程称为差分方程形式: F(x, yx,Ayx,△"yx,..",△"yx)=0含有未知函数两个或两个以上时期的符号Jx,yx+1,…的方程，称为差分方程形式: F(x,yx,y+1,.,yx+n)=0或G(x, yx,yx-1*,yx-n)=0 (n ≥1)方程中未知数下标的最值与最小值的差称为差分方程的阶

二、差分方程的基本概念 . , , 2 称为差分方程 含有未知函数的差分yx  yx 的函数方程 ( , , , , , ) 0 2    x = n x x x 形式：F x y y y  y , , . 1 的方程，称为差分方程 含有未知函数两个或两个以上时期的符号 yx yx+  ( , , , , ) 0 ( 1) ( , , , , ) 0 1 1 =  = − − + + G x y y y n F x y y y x x x n x x x n   或 形式： 称为差分方程的阶. 方程中未知数下标的最大值与最小值的差

注：由差分的定义及性质可知，差分方程的不同定义形式之间可以相互转换。如yx+5-4yx+3+3yx+2-2=0是三阶差分方程~yx+Jx+1=0，虽然含有三阶差分但实际上是二阶差分程，由于该方程可以化为yx+3-3yx+2+3yx+1+1=0因此它是二阶差分方程事实上，作变量代换=x+1，即可写成Yt+2 -3yt+1 +3y, +1= 0

注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。 如yx+5 − 4yx+3 + 3yx+2 − 2 = 0是三阶差分方程； 3 3 1 0. 1 2 − 1 + + = = + t+ t+ t y y y 事实上，作变量代换t x ，即可写成 但实际上是二阶差分方程 ，  3 yx + yx + 1 = 0，虽然含有三阶差分， 因此它是二阶差分方程， 由于该方程可以化为 yx+3 − 3 yx+2 + 3 yx+1 + 1 = 0

差分方程的解如果函数y=(x)代入差分方程后，方程边恒等，则称此函数为该差分方程的解差分方程的通解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解

差分方程的解 . φ( ) 边恒等，则称此函数为该差分方程的解 如果函数y = x 代入差分方程后，方程两 含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解. 差分方程的通解

初始条件为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件差分方程的特解通解中任意常数被初始条件确定后的解

为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件. 通解中任意常数被初始条件确定后的解. 初始条件 差分方程的特解

第二节一阶常系数线性差分方程是y+1十ay=0的解法一、齐次方程二非齐次方程yi十ay,=f（t)的解法

第二节 一阶常系数线性差分方程 一、齐次方程 的解法 二、非齐次方程 的解法

一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式()yx+1 -ayx=0(a± 0为常数)一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式(2)yx+1 -ayx = f(x)(a≠0为常数,f(x)±0)注:(1)为(2)所对应的一阶常系数线性差分方程

一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式 一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 (1) (2) 注：(1)为(2)所对应的一阶常系数齐次线性差分方程. 0( 0 ) yx+1 − ayx = a  为常数 ( ) y x+1 − ay x = f x (a  0为常数，f (x)  0)

一、齐次方程yt+1十ay，=0的解法1.选代法(1)yx+1 -ayx=0(a≠0为常数)设y为已知，由方程）依次可得，Ji = ayoyz = ayi = a'yoYs = ayz = a' yo

一、齐次方程 的解法 1.迭代法 0( 0 ) yx+1 − ayx = a  为常数 (1) 设y0 为已知，由方程（1）依次可得， 1 ay0 y = 0 2 2 1 y = ay = a y 0 3 3 2 y = ay = a y 