《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第四章 微分中值定理与导数的应用（导函数的性质）

第四章 微分中值定理与导数的应用一一导函数的性质洛必达法则

第四章 微分中值定理与 导数的应用 ―—导函数的性质 洛必达法则

导函数的性质（1）达布定理：达布定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b)上可导，且f（a)<f2(b)，则 VcE(f+ (a),f (b),日e(a,b)，使得f'()=c 。达布定理表明：哪怕f（x）不连续，它仍有介值性。解利用费马定理

导函数的性质 （ 1）达布定理： 则 ， ，使得 。 达布定理：设函数 在闭区间 上可导，且 ， 达布定理表明：哪怕 不连续，它仍有介值性。 解 利用费马定理

注意：函数在闭区间上可导性这个条件不可缺少。1, x>0例如，绝对值函数在闭区间[-1,1]上的导函数f(x)=-1, x<0它不具有达布定理的结论

注意：函数在闭区间上可导性这个条件不可缺少。 它不具有达布定理的结论。 例如，绝对值函数在闭区间 上的导函数

例求证：不存在可导函数f(x），使得f(x)=sgnx。解利用达布定理

解 例 求证：不存在可导函数 ，使得 。 利用达布定理

例设函数f(x）在(-oo,+oo）上可导，且存在常数ki、kz、b, 和b,使得 lim(f(x)-k,x-b)=0 , lim(f(x)-k,x-b,)=0 。(k, <k, )+，证明:VcE(k,,k,)，存在 E(-o0,+oo)，使得 f'()=C 。解直观上，lim（f(x)-kjx-b)=0表示f(x）可以靠近ki，难点是：如何严格说明事实上的确如此

解 例 设函数 在 上可导， （ ） ， 证明： ，存在 ，使得 。 难点是：如何严格说明事实上的确如此。 直观上， 表示 可以靠近 ， 且存在常数 、 、 和 使得 ，

例设函数f(x）在(-o0,+o0）上可导，且存在常数k、kz、b,和b,(k, <k, ），使得lim(f(x)-k,x-b,)=0 ,lim(f(x)-k,x-b,)=0。+证明:VcE(ki,k,），存在(-o0,+oo)，使得f()=c 。解由lim(f(x)-kjx-b)=0 、lim(f(x+1)-k;(x+1)-b)=0 得到lim[f(x+1)- f(x)-kj]?= lim (lf(x+1)-k,(x +1)-b,l-[f(x)-k,x-b,l= 0x)= lim(f(x+1)- f(x)=k,

解 例 设函数 在 上可导，且存在常数 、 、 和 （ ），使得 ， 。 证明： ，存在 ，使得 。 由 、 得到

例设函数f(x）在(-o0,+o0）上可导，且存在常数ki、kz、b,和b,(k,<k, )，使得lim(f(x)-k,x-b,)=0 ,lim(f(x)-k,x-b,)=0 。证明:VcE(ki,k,），存在 (o0,+oo)，使得 f()= 。解人lim (f(x +1)- f(x)= ki 所以当x小于某个X时，由极限保号性，有k,+cF (s)= f(x+1)- f(x)_ kLC2(x +1) - x

解 例 设函数 在 上可导，且存在常数 、 、 和 （ ），使得 ， 。 证明： ，存在 ，使得 。 。 所以当 小于某个 时， 。 由极限保号性，有

（2）导函数的极限：定理：设S>0，函数f(x）在区间[x,x+)上连续在开区间(xo,x+）内可导。若limf'(x)=A 存在，x-x则f(x）在点x=x存在右导数，且f(x)=A=limf'(x）。x-xo解利用导数定义和中值定理

（2）导函数的极限： 解 定理：设 ，函数 在区间 上连续， 若 存在， 利用导数定义和中值定理。 在开区间 内可导。 则 在点 存在右导数，且

定理：设S>0，函数f(x）在区间[xo,x+）上连续，在开区间(xo,X+）内可导。若lim f'(x)=A 存在，则f(x）在点x-→xox=x。存在右导数，且 f(x)=A=lim f'(x）。x-→>xo注意：定理中的“函数f(x）在区间[xo，X，+）上连续”不可或缺。x+1, x>0反例：f(x)=0,x=0

内可导。 定理：设 ，函数 在区间 上连续，在开区间 若 存在，则 在点 存在右导数，且 。 注意：定理中的“函数 在区间 上连续”不可或缺。 反例：

（3）导函数的极限定理：导函数的极限定理：设>0，函数f(x）在U(x,）内连续在U(x,)内可导。若lim f(x)=A 存在,x→xXo则f(x）在点 x=x可导，且f(x)=A= lim f(x)。X-xo解利用拉格朗日中值定理

（3）导函数的极限定理： 解 导函数的极限定理： 在 内可导。 若 存在， 设 ，函数 在 内连续， 则 在点 可导， 且 。 利用拉格朗日中值定理