《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第三章 导数与微分（导数定义）

第三章导数与微分一一导数的定义显函数的导数

第三章 导数与微分 ―—导数的定义 显函数的导数

导（函）数的定义（1）引例：平面曲线的切线设P(xo,f(x）是平面曲线C：y=f(x）上的定点，Q(x,f(x)是C上动点，那么C在P点的切线定义为割线PQ在动点Q沿C1趋于P时的极限位置。Q:00易见，切线的斜率f(x)- f(x,)k = lim kpo = lim0xQ-→Px-→xox-xo

导（函）数的定义 （1）引例：平面曲线的切线 设 是平面曲线 ： 上的定点， 是 上动点，那么 在 点的切线定义为割线 在动点 沿 趋于 时的极限位置。 易见，切线的斜率

（2）函数在一点处导数的定义：设函数f(x）在某个U(x,S）中有定义。Ayf(x, +△r)- f(x,)f(x)-f(x)若 limlimlim=AArAr->0 ArAr-→0x-→>xox-Xo存在，则称f(x）在x=x。点处可导，导数为f（x）=A。dydf其它的导数记号： (x0), 1 ， o, dx x=xo

（2）函数在一点处导数的定义： 设函数 在某个 中有定义。 存在， 若 则称 在 点处可导，导数为 。 其它的导数记号： ， ， ， ，

根据上述定义，函数f(x）在x=x。点处切线方程为yf(x）=f(x)(x-x）；1法线方程为y一f(x）x.f(xo)例求曲线y=x2在点(1,1）处的切线与法线方程。x2-1解f'(1)=lim2文x-1 x-1切线方程为y-1=2(x-1)=y=2x-1

切线方程为 ； 根据上述定义，函数 在 点处 解 例 求曲线 在点 处的切线与法线方程。 法线方程为 。 ， 切线方程为

例若f(x）≠0，则存在某个U(xs），在此邻域中f(x）既非最大值又非最小值。解导数是特殊极限：不妨设f（x）>0，则由极限的保号性，存在某个Ux,），在此邻域中，f(x)-f(x)f(x)>0，即f(x)-f(x）与x-x。同号。x-Xo

解 例 若 ，则存在某个 ，在此邻域中， 既非最大值又非最小值。 导数是特殊极限： 不妨设 ，则由极限的保号性， 存在某个 ，在此邻域中， ，即 与 同号

.2xEQx例仅在一点可导的函数：f(x)=-x2, xeRIQf(x)- f(0)解lim= lim /x = 0=x-0x->0x-0f(x)- f(0)f'(O) = lim=0x-0x-→0

解 例 仅在一点可导的函数： 。

（3）函数在一点处左、右导数的定义：设函数f(x）在某个[x，x。+）中有定义。Ayf(x +△x)- f(x,)2 = lim I(a) - f(x,), lim )=A若limArAr-→0t AxAr-→0x→xox-xo存在，则称f(x）在x=x。点处右可导，右导数为f"（x）=A。其它的右导数记号：J（X）

（3）函数在一点处左、右导数的定义： 设函数 在某个 中有定义。 存在， 若 则称 在 点处右可导，右导数为 。 其它的右导数记号：

设函数f(x）在某个(x一S,xl 中有定义。Ayf(x, +Ar)- f(x,)f(x)- f(x,)2= lim 若limlimEAArAr→0△rAr→0x-→xox-xo存在，则称f(x）在x=x。点处左可导，左导数为f'（x）=A。其它的左导数记号：J（x）。易见，函数f(x）在x=x。点处可导当且仅当f(x）在x=x。点处左可导且右可导，且f（x）=f（x）

设函数 在某个 中有定义。 存在， 若 则称 在 点处左可导，左导数为 。 其它的左导数记号： 。 易见，函数 在 点处可导当且仅当 在 点处 左可导且右可导，且

（4）函数在一点处可导性的一些例子例求函数f(x)=x|在x=0点处的左、右导数。f(x)=x|在x。=0点处是否可导？解从几何角度对此作出解释

例 求函数 在 点处的左、右导数。 解 在 点处是否可导 ？ 从几何角度对此作出解释。 （4）函数在一点处可导性的一些例子

例设函数f(x)在某个U(0,S)中有定义，且f(O)=0 。f(cosx-1)若 lim存在，问：f(x）在x=0点处是否可导Xx→0?解题设中仅提问函数在一点处可导，一般需要运用导数的定义。令cosx-1=t，则x→0=t→0，所以1f(t)- f(0)f(cos x -1)f(cos x-1) cos x-1limliminx?x?t2 t→0tx-→0cosx-1x-→0取f(x)=x|可知结论是否定的

解 例 设函数 在某个 中有定义，且 。 若 存在，问： 在 点处是否可导 ？ 。 令 ，则 ，所以 取 可知结论是否定的。 题设中仅提问函数在一点处可导，一般需要运用导数的定义