《高等数学》课程教学课件（教案讲义）第二章 极限与连续（数列的极限）

第二章 极限与连续一一数列的极限

第二章 极限与连续 ―—数列的极限

与数列相关的一些定义·数列：按一定次序排列的一列数ai,,L，a,,L称为数列。或者：定义域为正整数集的函数f：z+→R，naa=f(n）称为数列。数列一般记为(a，，其中a，称为一般项或者通项

与数列相关的一些定义 • 数列： 或者： 定义域为正整数集的函数 ： ， 称为数列。 按一定次序排列的一列数 称为数列。 数列一般记为 ，其中 称为一般项或者通项

·数列的子列：设数集(n:kZ+}Z+，且对于VkZ+,nk+>nk，则称数列ian是数列(a,}的一个子列。易见，数列a是自己的一个子列。称数列(a2,）是数列(a,的偶子列，称数列a2n-}是数列(an的奇子列

• 数列的子列： 设数集 ，且对于 ， ， 则称数列 是数列 的一个子列。 易见，数列 是自己的一个子列。 称数列 是数列 的偶子列， 称数列 是数列 的奇子列

·数列的性质：设数列ia的通项a，=f(n）。若函数f是有界函数，则称数列a，是有界数列。类似可定义有上界数列、有下界数列、单调数列、严格单调数列。练习证明：数列ia,严格单调递增Vnez+，n+1>an。常用的证明数列性质的方法有：数学归纳法、函数法、作差（商）放缩等

• 数列的性质： 若函数 是有界函数，则称数列 是有界数列。 设数列 的通项 。 类似可定义有上界数列、有下界数列、单调数列、严格单调数列。 练习 证明：数列 严格单调递增 ， 。 常用的证明数列性质的方法有： 数学归纳法、函数法、作差（商）放缩等

例已知数列(a满足：a,=2，an+1=a,+2，nz+，证明：(a,严格单调递增。数学归纳法:",=2+V>2=,解an+1 = Va, +2 >Jan-1 +2 =an 。函数法:", =/2+V2>V2=1,且函数=Vx+2严格单调递增

解 数学归纳法： ， 。 函数法： 且函数 严格单调递增。 例 已知数列 满足： ， ， 严格单调递增。 ， ，证明：

2a,例已知数列(a,}满足：,>1，an+1a,+i,nezt,证明：(a，）严格单调递减。解数学归纳法与作商法结合：22ana,>1,n+1an +112(n+)<11+anan练习：试用数学归纳法、函数法分别证明本例

。 解 数学归纳法与作商法结合： 练习：试用数学归纳法、函数法分别证明本例。 例 已知数列 满足： ， ， ，证明： 严格单调递减。 ， ；

数列的极限（1）问题：判别n无限增大过程中数列ia的一般项是否有统一的趋势？或者说：是否存在常数A，使得数列a的项在“无限逼近”A？这里，“无限逼近”的含义是：在A的任何一个邻域外至多只含有(a，的有限项

数列的极限 （1）问题： 或者说：是否存在常数 ，使得数列 的项在“无限逼近” ? 这里，“无限逼近”的含义是：在 的任何一个邻域外至多只含有 的有限项。 的一般项是否有统一的趋势 ？ 判别 无限增大过程中数列

当a,="时：若这样的A存在，则记为lima，=A。例如，lim"2=1n-ocn>oo

当 时： 若这样的 存在，则记为 。例如，

(2）lima,=A的数学定义：n>oVε>0,3N>0, Vn:n>N时,Ia,-Aε。（3）理解定义：（a）的任意性与确定性：可任取，一旦取定则视作常数；体现的是A的邻域的任意性

（3）理解定义： （2） 的数学定义： （a） 的任意性与确定性：可任取，一旦取定则视作常数； ， ， 时， 。 体现的是 的邻域的任意性

（2）lima，=A的数学定义：n>V>0,3N>0, Vn:n>N时,[a,-AKε。（3）理解定义：(b）N的存在性：只需找到一个即可。另外,N仅与有关，即N=N(）（c）趋势的一致性：对任意大于N的n，都成立|a，一AKε。(b）和（C）体现的是数列中至多只有有限项在A的邻域外

（3）理解定义： （2） 的数学定义： ， ， 时， 。 （b） 的存在性：只需找到一个即可。 另外， 仅与 有关，即 ； （c）趋势的一致性：对任意大于 的 ，都成立 。 （b）和（C）体现的是数列中至多只有有限项在 的邻域外