《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 极限与连续

第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节函数极限的运算法则第四节无穷小与无穷大台第五节函数的连续性和间断点第六节连续函数的性质

第二章 极限与连续 第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 函数极限的运算法则 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的连续性和间断点 第六节 连续函数的性质

第一节数列的极限数列二、数列的极限三、数列极限的性质和运算

第一节 数列的极限 一、数列 二、数列的极限 三、数列极限的性质和运算

一、数列1）数列的概念设y,=f(n)是定义在正整数集上的一个函数,当自变量n依次取1.2.3时,其相应的函数值所排成的一列数Ji,y2,y3，,yn，称为一个无穷数列.简称数列也称为整标函数，并记作，或(f(n).其中数列中的每一个数都称为数列的项数列y的第n项y称为数列的一般项或通项

一、数列 设 y f (n) n = 是定义在正整数集上的一个函 数,当自变量n依次取 1,2,3,.时,其相应的函数值 所排成的一列数 , , , 1 2 3 y y y . n , y ，.称为一个无穷 数 列,简 称数 列,也称为整标函数，并记作{ }n y 或 { f (n)} .其中数列中的每一个数都称为数列的项, 数列 { }n y 的第 n 项 n y 称为数列的一般项或通项. 1）数列的概念

2）有界数列对数列(y，如果存在两个实数m,M，使得m≤yn≤M（n=1,2,)，那么称(y为有界数列其中m,M分别称为数列y的下界与上界.否则称(y为无界数列等价定义：如果存在M>0，使得lyn|≤M(n=1,2,)，那么称(y为有界数列，M称为数列,的界

对数列 { }n y ，如果存在两个实数 m, M ，使得 m  yn  M （ n = 1,2,.），那么称{ }n y 为有界数列， 其中m, M 分别称为数列{ }n y 的下界与上界．否则， 称{ }n y 为无界数列． 等价定义： 如果存在 M  0，使得 y  M(n =1,2, n .)， 那 么称 { }n y 为有界数列，M 称为数列 { }n y 的界． 2）有界数列

3）单调数列设数列(y}，如果yn≤yn+l（n=1,2.….），那么称数列(y)为单调增加数列．反之，如果y，≥yn+I（n=1,2.），那么称数列(y)为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列

设数列 { }n y ，如果 n  n+1 y y （ n = 1,2,. ），那么 称数列{ }n y 为单调增加数列．反之，如果 n  n+1 y y （n = 1,2,.），那么称数列{ }n y 为单调减少数列．单 调增加数列和单调减少数列统称为单调数列 3）单调数列

4）子列从数列（y中任意选出部分项（无穷项），保持原来的次序，从左往右排列为ym,ym…,Jm，"称此数列为{y)的子数列（简称子列）,记为(yn）.其中k(k=1,2,)表示y在子列中的第k项，n表示在原来数列y中的第n项

从数列 { }n y 中任意选出部分项（无穷项），保 持原来的次序，从左往右排列为 , , n1 n2 y y ., , nk y . 称此数列为{ }n y 的子数列（简称子列），记为{ } nk y . 其中k ( k = 1,2,.)表示 k n y 在子列中的第k 项， k n 表 示在原来数列 { }n y 中的第 k n 项． 4）子列

二、 数列的极限对于数列y.如果当自变量n无限增大时,Yn趋于某个确定的常数A,那么 A 叫做数列yn)的极限,记作lim y, = A或 yn→A(n →)n此时,也称数列(yn)收敛于A.如果数列(yn)的极限不存在,就说数列(是发散的

二、数列的极限 对于数列 { }n y ,如果当自变量 n 无限增大 时, n y 趋于某个确定的常数 A ,那么 A 叫做数列 { }n y 的极限,记作 yn A n = → lim 或 y → A(n → ) n . 此 时,也称数列{ }n y 收敛于 A.如果数列{ }n y 的极限不存在,就说数列 { }n y 是发散的

三、数列极限的性质和运算性质1 (极限的唯一性)如果数列y有极限(或收敛),那么它的极限是唯一的性质2（收敛数列的有界性）如果数列(y）有极限，那么数列，一定有界。性质3（收敛数列的保号性）如果给定数列(yn)，且limyn=α，α>0（或a0（或yn<0）

三、数列极限的性质和运算 性质 1 (极限的唯一性) 如果数列 {yn } 有极 限(或收敛),那么它的极限是唯一的. 性质 2（收敛数列的有界性）如果数列{ }n y 有极限，那么数列{ }n y 一定有界． 性质 3（收敛数列的保号性）如果给定数列 { }n y ，且 yn a n = → lim ，a  0（或 a  0) 那么从某一项 起，都有 yn  0 （或 yn  0 ）．

性质4 (子列的收敛性)数列收敛于a的充分必要条件是数列(yn的任一子数列(yn收敛于a.性质 5 (夹逼准则)如果数列(x,),(yn),(zn)满足下列条件：(1) xn≤yn≤zn,(n=1,2,3,.） ;(2)lim x,=lim zn=α，则数列(yn)的极限存在,na且 lim yn = a性质6单调有界数列必有极限

性质 4 (子列的收敛性) 数列 { }n y 收敛于 a 的充分必要条件是数列 { }n y 的任一子数列{ } nk y 收 敛于a． 性质 5 (夹逼准则)如果数列{ },{ },{ } n n n x y z 满 足 下 列 条 件 ： (1) x  y  z ,(n =1,2,3,.) n n n ； (2) x zn a n n n = = → → lim lim ，则数列{ }n y 的极限存在， 且 yn a n = → lim . 性质 6 单调有界数列必有极限

设数列x,y的极限都存在，且lim x, = A, lim yn = B,则2nn>8lim (xn ±yn) = lim xn ± lim yn = A± B(1)n>8n→0n→00lim xn : yn = lim xn · lim yn = AB:(2)n>n->8n->0lim xnAXnn>limB（O(3)Blimynn-00 Ynn>0

设数列 { },{ } n n x y 的 极 限 都 存 在 , 且 xn A n = → lim , yn B n = → lim ,则 (1) x y x yn A B n n n n n n  =  =  → → → lim ( ) lim lim ; (2) x y x yn AB n n n n n n  =  = → → → lim lim lim ; (3) ( 0) lim lim lim = =  → → → B B A y x y x n n n n n n n ．