《数学文化》课程教学资源（拓展资料）有限与无限的问题

从若干数学问题看数学的内容、思想与方法第一节有限与无限的问题

1 从若干数学问题看 数学的内容、思想与方法 第一节 有限与无限的问题

高等数学与初等数学的区别？

2 高等数学与初等数学的区别？

高等数学与初等数学的区别？从研究“常量”发展到研究“变量”从研究“有限”发展到研究“无限

3 高等数学与初等数学的区别？  从 研究“常量”发展到研究“变量”  从 研究“有限”发展到研究“无限

数学家关于“无限”的论述外尔（H.Weyl,1885----1955）：“数学是关于无限的科学。”康托（G.Cantor,1845----1918）：“实数集合是不可数的

4 数学家关于“无限”的论述  外尔（H.Weyl,1885-1955）： “数学是关于无限的科学。”  康托（G.Cantor,1845-1918）： “实数集合是不可数的

一、芝诺悸论芝诺（前490？一前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的"一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称"芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悸论

5 一、芝诺悖论 芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的） 爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可 分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的； 运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称 “芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。 我们从数学角度看其中的一个悖论

什么是悸论悖论：从“正确”的前提出发，经过"正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论

6 什么是悖论 悖论：从“正确”的前提出发，经过 “正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论

例如：“甲是乙”与"甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论

7 例如：“甲 是 乙”与 “甲 不是 乙” 这两个命题中总有一个是错的； 但 “本句话 是 七个字”与 “本句话 不是 七个字” 又均是对的，这就是悖论

1.四个芝诺悸论：阿基里斯追不上乌龟让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时龟便领先他100米；当阿基单斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌角仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它

8 1. 四个芝诺悖论： 阿基里斯追不上乌龟。 让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且 假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里 斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米； 当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟 仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时 间为t/100，乌龟仍然前于他1米. .芝诺认为，阿基里斯能 够继续逼近乌龟，但决不可能追上它

2.症结：无限段长度的和，可能是有限的无限段时间的和，也可能是有限的3.芝诺悸论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾空间和时间有没有最小的单位？

9 2. 症结： 无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。 3. 芝诺悖论的意义： 1）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的“反证法”及“无限”的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？

芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悸论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。10

10 芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连 续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离 散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所 以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖 锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题， 引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能 不说是巨大的贡献