《数学文化》课程教学资源（拓展资料）数学模型与生活

数学模型数学模型与生活2018年4月

数学模型与生活 2018年4月

数学模型数学从诞生之日起，就与人类社会密切相连数学是一门在非常广泛的意义下研究自然和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。是各门科学的基础，在自然科学，工程科学及社会科学等方面均发挥着思想库的功能。它还是人类文明的重要组成部分和坚实基础。作为一门重要的基础学科和一种精确的科学语言数学科学又是以一种极为抽象的形式出现的。这种极为抽象的形式有时会掩盖数学科学丰富的内涵，并可能对数学的实际应用形成障碍，但同时它有是趣味的

数学从诞生之日起，就与人类社会密切相连。 数学是一门在非常广泛的意义下研究自然和社会现象 中的数量关系和空间形式的科学。是各门科学的基础，在 自然科学，工程科学及社会科学等方面均发挥着思想库的 功能。它还是人类文明的重要组成部分和坚实基础。作为 一门重要的基础学科和一种精确的科学语言数学科学又是 以一种极为抽象的形式出现的。这种极为抽象的形式有时 会掩盖数学科学丰富的内涵，并可能对数学的实际应用形 成障碍，但同时它有是趣味的

数学模型数学不仅成为“科学之王”，而且还是美的使者魅力数学！幻方是神奇的迷宫！圆周率是无穷的歌谣！黄金分割是完美的图画！分形是奇妙的曲线！牟比乌斯圈是梦幻的摇滚！几何是绚丽的彩笔！代数是美妙的遐思！《红蚁》》埃舍尔

数学不仅成为“科学之王”，而且还是美的使者。 魅力数学! 幻方是神奇的迷宫！ 圆周率是无穷的歌谣！ 黄金分割是完美的图画！ 分形是奇妙的曲线！ 牟比乌斯圈是梦幻的摇滚！ 几何是绚丽的彩笔！ 代数是美妙的遐思！ 《红蚁》-埃舍尔

数学模型1四个简单问题的求解问题一：已知甲桶中放有10000个蓝色玻璃球，乙桶中放有10000个红色玻璃球。任取甲桶中100个球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中的100个球放入甲桶中，如此重复三次。问：甲桶中的红色球多还是乙桶中的蓝色球多？解：设甲桶中有x个红色球，乙桶中有y个蓝色球，由于两个桶中的蓝色球总数为10000个，则有10000-x+y=10000从而得到x=y

四个简单问题的求解 问题一：已知甲桶中放有10000个蓝色玻璃球，乙桶中放有 10000 个红色玻璃球。任取甲桶中100个球放入乙桶中,混合后再任取乙 桶中的100个球放入甲桶中,如此重复三次。问：甲桶中的红色球 多还是乙桶中的蓝色球多？ 解:设甲桶中有x个红色球,乙桶中有y个蓝色球，由于两个桶中的 蓝色球总数为10000个，则有 从而得到 10000− x + y =10000 x = y

数学模型问题二：能否将一张纸对折100次？分析设普通纸每张厚度为对折1次：2层=210.05mm，因为对折2次：4层=22210=1024>对折3次：8层=231000=103故21001030所以2100层纸厚对折100次：层数=2100度>0.05×1030mm=5×1022km计算结果为：5万亿亿千米提示：地球到太阳的距离不过1.5亿干米！！！结论：此问题理论上可解，但是实际上做不到。类似地，在日常生活中有许许多多的实际问题，都可以通过细致的观察分析与假设，应用数学方法简捷和完美的解决

问题二：能否将一张纸对折100次? 设普通纸每张厚度为 0.05mm，因为 210=1024＞ 1000=103故 2100＞ 1030 所以2100层纸厚 度＞0.05×1030mm =5×1022 km 对折1次：2层=21 对折2次：4层=22 对折3次：8层=23 . 对折100次:层数=2100 计算结果为：5万亿亿千米！ 提示: 地球到太阳的距离不过1.5亿千米！！！ 结论：此问题理论上可解，但是实际上做不到。 类似地，在日常生活中有许许多多的实际问题，都可以通过 细致的观察分析与假设，应用数学方法简捷和完美的解决

数学模型问题三：二次相遇问题的巧妙求解。甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75米处相遇，相遇后他们继续前进到达自的地后又立即返回，第二次相遇在离B地55米处。求A、B两地之间的距离。BDAC55米75米甲乙第1次相遇点第2次相遇点解决问题的关键：（1）甲、乙二人共同完成了三个AB全程：（2）甲每与乙共同完成了一个AB全程，就行走75米：所以得到：：S=SAB+55=75×3，问题得解

问题三：二次相遇问题的巧妙求解。 甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75米 处相遇,相遇后他们继续前进到达目的地后又立即返回,第二次 相遇在离B地55米处。求A、B两地之间的距离。 ● ● A C D B 甲 ●乙 第1次相遇点 第2次相遇点 75米 55米 解决问题的关键： （1）甲、乙二人共同完成了三个AB全程； （2）甲每与乙共同完成了一个AB全程，就行走75米； 所以得到： S甲= SAB＋55 =75×3，问题得解。 ●

数学模型问题四：神奇的数学是魔术师的障眼法问题4-1：“洞从哪里来？将两条长度分别为8+5与2+1+2的直角边剪裁成图A所示的四块几何图形，然后再重新拼接成图B，它仍是一个直角三角形，其边长分别是（5+2+1+5)和（3+2）。与图A相比，图B多出了一个“空洞”！问题：这个“洞”是从哪里来的？N图B图A多出了一个“洞”1

问题四：神奇的数学是魔术师的障眼法 问题 4-1： "洞"从哪里来？ 将两条长度分别为 8+5 与 2+1+2 的直角边剪裁成图A所示的四块 几何图形，然后再重新拼接成图B，它仍是一个直角三角形，其边长 分别是(5+2+1+5)和(3+2)。与图A相比，图B多出了一个“空洞”！ 问题：这个“洞”是从哪里来的？ ． ． ． ． ． ． ． 5 8 1 2 2 ． 5 ． 2 1 ． 2 5 3 1 图 A ． ． 5 3 ． 2 ． 5 2 ． 1 3 ． ． 2 2 ． ．． ． 5 1 1 图 B 多出了一个“洞” ！

数学模型问题4-2面积怎么少了？如图，将图A中面积为13×13=169的正方形裁剪成四块几何图形，然后重新拼接成图B，计算可知长方形的面积为8×21=168比原来的正方形少了一个单位的面积。135138585:858981358图B图A图A的面积=13×13=169图B的面积=8×21=168

问题4-2 面积怎么少了？ 如图，将图A中面积为13×13=169的正方形裁剪成四块 几何图形，然后重新拼接成图B，计算可知长方形的面积为 8×21=168比原来的正方形少了一个单位的面积。 ． ． ． ． ． ． ． ． 13 5 5 8 5 8 5 8 8 图A ． ． ． ． ． ． ． ． 13 8 8 8 5 5 8 13 图B 图A的面积= 13×13=169 图B的面积= 8×21=168

数学模型4-2面积怎么少了？以问题4-2为例，题中涉及到四个数据：5，8，13，21，正是斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是：从第三项开始的每一项都是它的前两项的和：1，1,2,3,5,8,13,21,34,58,.…...我们可以使用这个数列的其它任意相邻四项来试验这个过程，发现无论选取哪四项，都可以得出关于斐波那契数列的如下重要性质：数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加上或者减去首项的平方。f = fn-1: fn+1± f? (n≥2)

4-2 面积怎么少了？ 以问题4-2为例，题中涉及到四个数据：5，8，13，21，正是斐波 那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是： 从第三项开始的每一项都是它的前两项的和： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，58，. 我们可以使用这个数列的其它任意相邻四项来试验这个过程，发 现无论选取哪四项，都可以得出关于斐波那契数列的如下重要性质： 数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加上或者减去首项的平方。 ( ) 2 2 1 1 1 2 n n n f f f f n =    − +

数学模型得到以下重要结论：正方形的面积和长方形的面积不会相等，有时候正方形的面积比长方形的面积多一个单位，有时候正方形的面积比长方形的面积少一个单位，即f：正方形的面积，fn+1‘fn-1：长方形的面积知道了这个事实后，我们就可以随心所欲的构造类似第二个问题的几何趣味问题了。如：用8，13，21，34来构造类似上述的问题，会得到同样类似的神奇结果

得到以下重要结论： 正方形的面积和长方形的面积不会相等，有时候正方形的 面积比长方形的面积多一个单位，有时候正方形的面积比长方 形的面积少一个单位，即 2 n f ：正方形的面积， +1 −1  n n f f ：长方形的面积 知道了这个事实后，我们就可以随心所欲的构造类似第二 个问题的几何趣味问题了。 如：用8，13，21，34来构造类似上述的问题，会得到同 样类似的神奇结果