高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）46 第五章 导数和微分 s02 有限增量公式，左右导数、导函数

导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义第二讲有限增量公式左右导数，导函数数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数1导数的概念导数的定义导数的几何意义有限增量公式dy则设f(x)在点x可导，f(x)= limAx->0 △ xAyf'(xo)α =△x是当△x→0 时的无穷小量，于是α△x=o(△x)这样，函数f(x)的增量可以写成(5)Ay = f'(xo)Ax +o(Ax)(5)式称为,f(x)在点xo 的有限增量公式注意，这个公式对△x=0仍然成立.（为什么？）仔细观察(5)式两边，会给我们怎样的启示？数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义定理5.1如果函数f在点x.可导，则f在点x连续值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可导的必要条件，并不是充分条件．如例3、例4中的函数均在x=0处连续，却不可导x±0xsinxf(x) = [x If(x) =0,x=0(5)Ay= f'(xo)Ax+o(Ax)数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数61导数的概念导数的定义导数的几何意义例5 证明函数 f(x)= xD(x)仅在x=0 处可导,其中D(x)是熟知的狄利克雷函数证 当xo±0 时，用归结原则容易证明f(x)在点x不连续,由定理 5.1,f(x)在点xo不可导当xo=0 时,因为 D(x)≤1，所以有f(x)- f(O)f'(0) = lim == limxD(x) = 0.x-0x→0x→0由于导数是一种极限，因此如同左、右极限那样可以定义左、右导数（单侧导数）数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ⭡ᇊ⨶ 5.1, f (x) ൘⛩ x0 нਟሬ. 0 ( ) (0) (0) lim x 0 fx f f o x  c  䇱 ᙜx0z 0 ᰦ н䘎㔝 ᡰԕᴹ ަѝ D(x) ᱟ⟏⸕Ⲵ⣴ݻ࡙䴧࠭ᮠ. ֻ5 䇱᰾࠭ᮠ ӵ൘ x 0 ༴ਟሬ 2 f x xDx () () 0 lim ( ) x xD x o Тࣩؓݤج 1 , Q. ( ) 0 , Q. x D x x ­  ® ¯  ⭡Ҿሬᮠᱟа⿽ᶱ䲀, ਟԕᇊѹᐖǃਣሬᮠ ( অחሬᮠ ). ഐ↔ྲ਼ᐖǃਣᶱ䲀䛓ṧ, 0 . ⭘ᖂ㔃৏ࡉᇩ᱃䇱᰾ f (x) ᅾⅬ x0 ᖃ x0 = 0 ᰦഐѪ D x() 1 d ˈ

S1导数的概念导数的定义导函数导数的几何意义定义2设函数y=f(x)在点xo的某个右邻域[xo,x+)上有定义，如果右极限Ayf(x. +△x)- f(x)limlim△xAx→0t △xAx→0+存在，则称该极限为f(x)在点xo的右导数，记作f(xo）．类似地可以定义左导数，合起来即为f(xo +Ax) - f(xo)f(xo) = lim△x△x-→0+(6)f(xo +△x) - f(xo)f(xo)= lim △x△x-→0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义右导数和左导数统称为单侧导数类比左、右极限与极限的关系，我们有定理5.2如果函数y=f(x)在点x.的某个邻域内有定义则f(x)存在的充要条件是 f(x），f'(x）都存在，且f*(xo)=f"(xo)在讨论分段函数在分段点上的可导性时，本结论很有用处。数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数S1导数的概念导数的定义导数的几何意义1-cosx,x≥0,例6 设f(x)=x0,f(0 +△x) - f(0)x△x1,△x0+Ax-→0tAxf'(0) = lim=1.Ax-→0- x由于 f(O)≠ f(O)，故 f(x)在x=0 处不可导数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数S1导数的概念导数的定义导数的几何意义1.5YE1-cosX0.5y0-0.5-00.5-0.5-11.52x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S1导数的概念导函数导数的定义导数的几何意义导函数如果函数f在区间I上的每一点都可导(对于区间端点考虑相应的单侧导数，如左端点考虑右导数)，则称f为区间I上的可导函数.此时,对I上的任意一点x都有f的一个导数f(x)与之对应，这就定义了一个在区间I上的函数，称为f在I上的df(x)dy导函数，简称导数.记作f(x)，J或dxdx即f(x+△r) - f(x)(7)f'(x)= limXEIAxAr-→0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义dy仅为一个记号，学了微分之后就会知道，注这里dx这个记号实质是一个“微分的商”。相应地，f'(xo）也可表示为df(x)dyx=xo ’dx|x=xo'dxX=Xo数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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