高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）47 第五章 导数和微分 s03 导数的例，导数的几何意义

导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义第三讲导数的例导数的几何意义数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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导函数S1导数的概念导数的定义导数的几何意义例7求函数 =xn 的导数，n为正整数Ay_ (x+Ax)" -x"解 由于AxAxn(n-1)= (nx"-1△x +Ax? +...+ Ax"-2n(n-1)n-1n-?Ax +...+ Ax"-1nx一2因此n(n-1)n-2y'= lim(nx"-1= nxn-1Ax+...+ Ax"-x2Ar-→0= 8ylr-4 = 2x r-4.当y=x2时，y'= 2x;数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ֻ7 ≲࠭ᮠy xn ⲴሬᮠˈnѪ↓ᮤᮠ. 䀓 ⭡Ҿ ǻ ( ǻ ) ǻ ǻ n n yxx x x x   12 1 ( 1) ǻ ǻ , 2 nn n n n nx x x x      " 12 1 0 ( 1) lim( ǻ ǻ ) 2 nn n x n n y nx x x x    ' o  c  " ഐ↔ 1 . n nx  ݤӠج ᖃ 2 y x ᰦ 4 4 2 x x y x c 8 1 22 ( 1) ( ǻ ǻǻ ) ǻ 2 n nn n n nx x x x x x     " y x c 2 ;

导函数61导数的概念导数的定义导数的几何意义例8证明：(i) (sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx;(i) (logax)==logae (a>0, a±1, x >0),x(lnx) = ;x(iii) (a)= a"ina.我们只证明（i）的第二式和（ii）数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ֻ8 䇱᰾: (i) (sin ) cos , (cos ) sin ; x xx x c c  1 (ii) (log ) log e ( 0, 1, 0) , a a x aax x c ! z ! ᡁԜਚ䇱᰾ (i) ⲴㅜҼᔿ઼ ( iii ) . 1 (ln ) x ; x c (iii) ( ) ln . x x a aa c ݤӠج

导函数51导数的概念导数的定义导数的几何意义证(i)由于(i) (cosx)'= -sin x△ycos(x +△x) -cosxAxAxAxAxAxsin2 sin(x -sinAx222sin(x△x2Ax2而 sin x 是（-8o,+o）上的连续函数，所以AxsinAyAx2lim sin(x --lim(cos x)'= lim2AxAr->0 △xAr-→04x-→02=-sinx.数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh 䇱 (i) ⭡Ҿ cos( ) cos xx x x  '  ' 2 2 2 sin sin( ) , x x x x ' '   ' 0 0 2 2 2 sin lim lim sin( ) x x x x x ' o x ' o ' '   ' sin . x 㘼 sin x ᱟ (f,  f) кⲴ䘎㔝࠭ᮠˈ ݤӠج (i) (cos ) sin x x c  2 2 2 sin( )sin x x x x ' '   ' y x ' ' 0 (cos ) lim x y x ' o x ' c '

导函数51导数的概念导数的定义导数的几何意义证 (ii) 由于(ii) (a')'= a"Inaqt+SxAxqtAy1a0Ax△xAxAxlna1te三0Ax因此AxInaAyPlim(a*)'= lim0AxAr→>0Ar-0 △xAx In a= a* lim=axIna.AxAr-→>0特别有(e")'= e" Ine= e"数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh 䇱 (iii) ⭡Ҿ 0 ( ) lim x x y a ' o x ' c ' ⢩࡛ᴹ (e ) e lne e . x x x c 1 x x a a x '  ' ln e 1 x a x a x '  ' a lna . x ݤӠج xx x ya a x x ' '  ' ' ഐ↔ 0 1 ln e lim x a x x a x ' ' o  ' (iii) ( ) ln x x a aa c 0 ln lim x x x a a ' o x ' '

S1导数的概念导函数导数的定义导数的几何意义导数的几何意义在用几何问题引出导数概念时，已知f(xo)是曲线y=f(x)在点 P(xo,f(xo))处切线的斜率.所以该切线的方程是(8)y-f(xo)= f'(xo)(x-xo)记α为切线与x轴正向的夹角，则f'(xo) = tanα.数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ރحङәѾ۞У ࠷㓯Ⲵᯩ〻ᱟ 䇠 DѪ࠷㓯оx 䖤↓ੁⲴཀྵ䀂ˈࡉ f c(x0) = tanD 0 00 y fx f x x x  ( ) ( )( ). c  (8) ൘⭘ࠐօ䰞仈ᕅࠪሬᮠᾲᘥᰦ, ᐢ⸕ f x c( ) 0 ᱟᴢ㓯 y fx ( )൘⛩ ༴࠷㓯Ⲵᯌ⦷ 0 0 Px f x ( , ( )) ᡰԕ䈕 ТڿӘѽࣩݤج

导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义由此可知，f'(x)>0说明 α是锐角；f'(xo)<0 说明α是钝角；f(x）=0说明α=0（切线与x轴平行).yy'=0y<0y=f(x)a0x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh f c(x0) !0 䈤᰾ D ᱟ䭀䀂 0 f x c()0 0 䈤᰾D (࠷㓯о x 䖤ᒣ 㹼 ). O yc ! 0 x y yc 0 yc 0 D y f x( ) x x x ⭡↔ਟ⸕ f c(x0) 0 䈤 ᰾ Dᱟ䫍䀂 ТڿӘѽࣩݤج

导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义特别要注意，如果f在点xo连续，且dyf(xo +x) - f(xo)limlim=8.△xAr=0 △x△x→0则曲线 =f(x)在点 P的切线垂直于x轴，此时J=(x)在点 P的切线方程ytx=1为 x=x·如右图所示，曲y=(x-1)31线 =(x-1)3 在点(1,0)处0t符合上述特征，故在该点处的切线方程为 x=1.数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ࡉᴢ㓯 y = f (x) ൘⛩ P Ⲵ࠷㓯඲ⴤҾ x 䖤ˈ ㅖਸк䘠⢩ᖱ x 1 y O x 3 1 y (x  1) 1 1 0 0 0 0 ( ) () lim lim , x x y fx x fx ' o x x o   f      ⢩࡛㾱⌘᜿ˈྲ᷌f ൘⛩x0 䘎㔝ф Ѫx x0 . ྲਣമᡰ⽪ 3 1 㓯y (x  1) ൘⛩ (1,0) ༴ ༴Ⲵ࠷㓯ᯩ〻Ѫx 1 . y = f (x) ൘⛩ P Ⲵ࠷㓯ᯩ〻 ↔ᰦ ᴢ ᭵൘䈕⛩ ТڿӘѽࣩݤج

导函数91导数的概念导数的定义导数的几何意义例9求曲线y=lnx在其上任一点P(xo,lnxo）处的切线和法线方程解由例8的 (ii)知道J'l=x =(lnx)Xox=Xo因此y=Inx在点P的切线方程和法线方程分别为y-lnx,=-(x-x)xoy-lnx, =-x(x-x)导数和微分数学分析第五章高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ֻ9 ≲ᴢ㓯 y ln x ൘ަкԫа⛩ P (x0 , ln x0 ) ༴ Ⲵ࠷㓯઼⌅㓯ᯩ〻. 䀓 ⭡ֻ8 Ⲵ (ii) ⸕䚃 ഐ↔ y = lnx ൘⛩ P Ⲵ࠷㓯ᯩ〻઼⌅㓯ᯩ〻࡛࠶Ѫ 0 0 0 1 y x xx ln ( ) , x   00 0 y x xxx  ln ( ) .     0 0 0 1 ln , x x x x y x x c c ТڿӘѽࣩݤج

S1导数的概念导函数导数的定义导数的几何意义例10 求曲线 y= 在点 P(0,0)处的切线和法线方程解 由于y=x 在x=0处连续,且△x- 01limlim+8△xAx-→0Ax0Ax所以y=x在点P（0,0）处的切线、法线方程分别为x=0 和 y=0.数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ ТڿӘѽࣩݤج ݤӠج Тࣩؓݤج ڽࠃࣩݤجh ᯩ〻. 3 0 0 lim x x o x     ֻ10 ≲ᴢ㓯 ൘⛩ P(0, 0) ༴Ⲵ࠷㓯઼⌅㓯 3 y x ᡰԕ ൘⛩ P ( 0, 0 ) ༴Ⲵ࠷㓯ǃ⌅㓯ᯩ〻࠶ 3 y x ࡛Ѫx 0 ઼ y 0. 䀓⭡Ҿ 3 y x ൘x 0༴䘎㔝ф 3 0 2 1 lim , x x o  f   ТڿӘѽࣩݤج