高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）38 第四章 函数的连续性 s05反函数的连续性

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性第五讲反函数的连续性数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例1.若r>0,n为正整数，则存在唯一的正数xo使得x"=r.证先证存在性：因为n为正整数，所以 lim x"=+oo．由极限的保号x+8性知，存在xi，使x">r.又因为函数f(x)=x"在[0,x]上连续,且f(O)<r<f(x)，所以存在x(O,x)，使得x=r。这个x我们记为x="r(读作r的n次算术根)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质性质连续性再证唯一性：我们只需证明f(x)=x"在[0，+）上严格递增即可.事实上，Vx,y,使0≤x0,即 f(x)0,n为正整数，则存在唯一的正数xo使得x=r.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的$2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例2.设f在[a,bl上连续，f([a,bD)c[a,b].证明：存在 xE[a,b],使 f(x)=xo证 由条件知a≤f(a),f(b)≤b.若a= f(a)或 b= f(b),则结论成立。现设 a< f(a),f(b)<b. 作辅助函数F(x)= f(x)-x,则 F(a)·F(b)=(f(a)-a)·(f(b)-b)<0.因f(x)在[a,b] 上连续,故F(x)在[a,b]上也连续由介值性定理,存在xE(a,b),使F(x)=0，即f(xo) = xo.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 F(x) f (x)  x, ߭ F(a)F(b) ( f (a)  a)( f (b)  b)  0. ⦄䆒 a fa fb b  ( ), ( ) .  ԰䕙ߑࡽ᭄ 䆕 ⬅ᴵӊⶹa fa fb b d ( ), ( ) . d 㢹a fa b fb ( ) ( ), ៪ ߭㒧䆎៤ゟ. ಴ f x ab () [, ] , ೼ Ϟ䖲㓁 ᬙFx ab () [ ,] . ೼ Ϟг䖲㓁 ( ) . x0 x0 f 0 ᄬ೼x ab ( , ), 0 Փ F x()0 ˈ 0 00 ᄬ೼ x ab fx x [ , ], ( ) . Փ ՟2. 䆒 f ೼[a ,b]Ϟ䖲㓁ˈf ([a ,b])  [a ,b]. 䆕ᯢ े ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ⬅ҟؐᗻᅮ⧚ˈ

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性例3.设f(x)在区间(a，b)满足介值性,并且对于任意的实数r，f(x)=r至多有有限个解.证明：f(x)在(a,b)内连续证 只要证Vx,E(a,b),f(x)在点x,连续.对任意ε>0,由条件，方程f(x) = f(xo)+8 与f(x) = f(x)-8的解至多为有限个1.设这有限个解为{xi，xz,,xn，记S=min( Ix -x,1,I x, -xo l, ..,I xn -xo1显然S>0.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性y由介值性条件不难证明f(x)+8当|x-xl0,U(x;)c(a,b);当|x-x/<8时,If(x)-f(xo)l<8,即f(x)在点x,连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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反函数的连续函数的局部闭区间上连续函数的S2连续函数的性质一致连续性基本性质连续性牛反函数的续性定理4.8若函数f(x)在[a,b]上严格单调且连续则反函数 y= f-(x)在[f(a),f(b))或[f(b),f(a))上连续,且f-(x)与 f(x)有相同的单调性证不妨设f(x)严格增,那么［f(a),f(b)I 就是反函数x=f-(y）的定义域1.x=f-(y)在[f(a),f(b))上严格增(证明见定理1.2)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 ࣂؓ ϡོ䆒 f (x) ϹḐ๲, Ϟ䖲㓁, 㢹ߑ᭄ f (x) ೼ [,] a b ϞϹḐऩ䇗Ϩ䖲㓁, 1 y f x fa fb ( ) [ ( ) , ( )]  ߭ডߑ᭄ ೼ ៪[ ( ) , ( )] fb fa ۅ৒ङକރՆӡ ߑ᭄ ( ) ⱘᅮНඳ. 1 x f y  1 x f y fa fb ( ) [ ( ) , ( )]  1. ೼ ϞϹḐ๲ (䆕ᯢ㾕ᅮ ⧚1.2 ). ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ( ) 1 f x  Ϩ Ϣ f (x) ᳝Ⳍৠⱘऩ䇗ᗻ. 䆕 䙷М [ f (a) , f (b)] ህᰃড

连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的一致连续性S2连续函数的性质性质连续性基本性质2. x = f-1(y)在[f(a),f(b)l 上连续.对于任意的正数 ε,a 0,当 (yi≤)y -8< y< o +8(≤ y2)时,f(b)f-1(y)< f-1(y)< f-1(y2), y2即f-l(yo)-8<x< f-l(yo)+8.①每七这就说明了x= f-l(y)在yif(a)(f(a),f(b))上连续X-8XoX+ea06x可类似地证明该函数在端点的连续性③任给②对应数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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连续函数的局部闭区间上连续函数的反函数的S2连续函数的性质一致连续性性质基本性质连续性元元上连续且严格增例4.由于f(x)= sinx在2'2因此它的反函数y=arcsinx在[-1,1]上也是连续且严格增.关于其它的反三角函数y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,均可得到在定义域内连续的结论例5 由于 = x"(n为正整数)在[0,+ )上连续且严1格增，那么其反函数 =x"在[0,+)上亦连续且严格增。数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

ড㓬૤ࣩݤӠॕ्֙߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ h૤ডӠࣩݤ㓬ઔ ૤ডӠفࣩݤ଑ 㓬ઔ ୊ԙ୎І૤ডӠࣩݤ ׁޯ㓬ઔ ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ▁৩૤ড㓬 ϨϹḐ๲. y arccos x , y arctan x , y arccot x , ഛৃᕫࠄ೼ᅮНඳݙ䖲㓁ⱘ㒧䆎. ՟4. ( ) sin 2 2 fx x ª S S º « » ¬ ¼ ⬅Ѣ ೼ ˈ Ϟ䖲㓁ϨϹḐ๲ˈ ಴ℸᅗⱘডߑ᭄y x arcsin [ 1 ,1] ೼  Ϟгᰃ䖲㓁 Ḑ๲. ՟5 ( ) [0 ) n ⬅Ѣ y xn Ўℷᭈ᭄ ೼ ˈ f Ϟ䖲㓁ϨϹ y x n ೼ ϞѺ䖲㓁ϨϹ 1 䙷М݊ডߑ᭄ [0 ,f) ࣩݤՅӠ ૤ড㓬 ݇Ѣ݊ᅗⱘডϝ㾦ߑ᭄ Ḑ๲,