高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）53 第五章 导数和微分 s09 参变量函数的导数

第五章数学分析S3参变量函数的导数导数和微分平面曲线通常用方程y= f(x) 或 F(x,y)=0来表示；一般情形下则采用参数方程x=x(t), y=y(t), tel.这样做最明显的好处是能方便地推广为多维空问的情形，例如R3中的曲线：x=x(t), y=y(t), z=z(t), tel

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S3参变量函数的导数第九讲参变量函数的导数数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S3参变量函数的导数设平面曲线C的参数方程为x =p(t),(1)α≤t≤β.y=y(t),如果函数 x =β(t)有反函数 t = @- (x), 则(1)式可确定复合函数 =(β-(x))= f(x).由此可以说明平面曲线两种方程之间的联系，这种由参数方程（1）所表示的函数，称为参变量函数. 如果(t),y(t)都可导，且β'(t)≠0,根据复合函数和反函数的求导法则，得到数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S3参变量函数的导数dxdy dtdydyy'(t)(2)@'(t)dtdtdxdt dx(2)式的几何意义是：设由(1)式表示的曲线C在点P(p(to),y(to))处有切线.过点 P及邻近点yQ(p(to + △t), y(to + △t))0的割线 PQ的斜率为AyPAXAyy (to +△t)-y(to)Axp(to + △t)-p(to)0x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S3参变量函数的导数如果 β(t),y(t)在点 to 可导，β(to)≠0，则切线Ay的斜率为 tanα= limAt-→0 Ax[y(to +△t) -y(to)]/ △t _ y'(t):Jim一'(t,)At-0 [p(to +△t)-Φ(to)l/ △tyt其中α是切线与x轴Q正向的夹角·AyPAxx =p(t),aα≤t≤β.(1)0xy=y(t),数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S3参变量函数的导数JQ当y'(to)±0时,有AyPAxp'(t.)cotaα :y'(t)a0x若@,在[α,β]上都存在连续导数,且p'2(t)+y'(t) ± 0 ,则称曲线C为光滑曲线。光滑曲线的每一点都存在切线，且切线与x轴正向的夹角α(t)是t的连续函数数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hԿՉଞӠݤجࣩݤ 2 2 Mc ( ) ( ) 0, t t \c z ࡉ〠ᴢ㓯 C Ѫݹ━ᴢ㓯. 㤕 M, [, ] \ ൘ D E к䜭ᆈ൘䘎㔝ሬᮠф ǻ y Q O y x P ǻx D x x C ࠷㓯, ф࠷㓯о x 䖤↓ੁⲴཀྵ䀂D( )t t ᱟ Ⲵ䘎㔝࠭ᮠ ( ) 0 , ᖃ\c t0 z ᰦ ᴹ 0 0 ( ) cot . ( ) t t M D \ c c ݹ━ᴢ㓯Ⲵ⇿а⛩䜭ᆈ൘

S3参变量函数的导数例1求由参数方程x =acost,te(0, π)y= bsint,（这是上半椭圆方程）所确定的函数=f(x)的导数，并求此椭圆在t=元/4处的切线方程解由公式(2)得到bb/ dx(bsint)"dydydycott元dx dt / dt(acost)"dxaa1当 t = 元/4 时, x= a/2/2, y = b~2/2V2b故所求切线为20bV22a数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S3参变量函数的导数例2 若曲线C 由极坐标方程 p=p(O）给出，则可以把它转化成以极角为参数的参数方程Tx = p(0)cos0,Cy= p(0)sino.HdxdxdyMP且如果存在,±0,0dedede0'x则dy(p(0) sin0)'p(0) sin0+ p(0)cos 0dx(p(0)cos)p()cosθ- p(0)sin 0- p(0) tanθ+ p(0)(3)p'(0) - p(0) tan0数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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S3参变量函数的导数(3)式表示的是曲线 p=p()在点 M(p,の)处的切线MT与极轴Ox 的夹角 α 的正切 tanα.过M的射线OH（即点M的向径）与切线MT的夹角β的正切是tanα-tana(4)tanβ = tan(α-)1+ tanα tan0T将(3)式代入(4)式，化简后可得CHβp(0)tanβ =(5)Mpp'(0)0a0x数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

Ӣڲոݤج्лॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hԿՉଞӠݤجࣩݤ tanD ཀྵ䀂 EⲴ↓࠷ᱟ tanE ཀྵ䀂 D Ⲵ↓࠷ tan . D 䗷 M Ⲵሴ㓯 OH ( ণ⛩MⲴੁᖴ ) о࠷㓯 MT Ⲵ O x T T H Mx x C U (3) ᔿ㺘⽪Ⲵᱟᴢ㓯 U U(T ) 㓯 MT оᶱ䖤 Ox Ⲵ ൘⛩ M(,) U T ༴Ⲵ࠷ D E tan( ) D T tan tan . (4) 1 tan tan D T D T   d ( ) tan ( ) (3) d ( ) ( ) tan y x U T T U T U T U T T c  c  ሶ (3) ᔿԓޕ) 4) ᔿ, ॆㆰਾਟᗇ ( ) tan . (5) ( ) U T E U T c

S3参变量函数的导数例3证明对数螺线β=e/2上所有点处的切线与向径的夹角β是常数TH证因为对每一θ值，p=e/2βtan β = P(0)Mp'(0)e%2=2010/2x01e2所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于常数 arctan2.数学分析第五章导数和微分高等教育出版社

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