高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）34 第四章 函数的连续性 s01函数连续的概念

数学分析第四章 函数的连续性 §1连续性概念 连续函数是数 一、函数在一点的连续性 学分析中着重讨论的 二、间断点的分类 一类函数. 三、区间上的连续函数 *点击以上标题可直接前往对应内容

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区间上的S1连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数第一讲函数连续的概念数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的S1连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数函数在一点的连续性定义1设函数f(x)在点x。的某邻域内有定义，且lim f(x)= f(xo),(1)x→xo则称f(x)在点x连续由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续性的，换句话说连续就是指,f(x)在点x,的极限不仅存在，而且其值恰为f(x)在点x,的函数值f(x)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的61连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数例如：f(x)= xsgnx在x=0处连续，这是因为limxsgnx =0=f(O)x-→0yy= xsgnxx0数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数又如：函数x±0x,f(x) :aox=0a,在x=0处不连续，这是因为limf(x)=0±f(0)yax0数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的61连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数函数f(x)=sgnx在点x=0处不连续，这是因为极限limsgnx不存在x-→0由极限的定义，定义1可以叙述为：对于任意正数ε，存在>0,当0<lx-xl<时,有(2)[f(x) - f(xo)/<8.注意到②)式在x=x,时恒成立，因此0<x-x<可改写为x-xo<，这样就得到函数f(x)在点xo连续的ε一8定义数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数定义2设f(x)在点x的某个邻域内有定义.如果对任意的ε>0,存在>0，当x-x|< 时f(x)- f(xo)/<8,则称f(x)在点x连续。下面是连续性的另外一种表达形式.请比较设Ax=×-0Ay = y- yo = f(x)- f(xo) = f(xo +△x)- f(xo)则函数在点x。连续的充要条件是：(3)lim Ay = 0.Ar→0这里我们称△x 是自变量(在x。处)的增量，Ay为相应的函数(在yo 处)的增量,数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的61连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数例1 证明f(x)=xD(x)在x =0 处连续,其中D(x)为狄利克雷函数证 因为f(0)=0,D(x)≤1, limx=0, 所以lim f(x) = lim xD(x) = 0 = f(0)x-0x-→0故f(x)在x=0处连续注意：上述极限式绝不能写成lim xD(x) = lim x lim D(x) = 0.x-→0x-0x-0数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的91连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数由上面的定义和例题应该可以看出：函数在点xo有极限与在点xo连续是有区别的.首先f(x)在点xo连续，那么它在点xo必须要有极限(这就是说极限存在是函数连续的一个必要条件），而且还要求这个极限值只能是函数在该点的函数值类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念。数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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区间上的51连续性概念函数在一点的连续性间断点的分类连续函数定义3设函数 f(x)在点x,的某个右邻域U.(x)(左邻域U_(x)有定义，若lim f(x)= f(xo) (lim f(x)= f(xo),x-→xox→>xo则称 f(x)在点x右(左)连续很明显，由左、右极限与极限的关系以及连续函数的定义可得：定理4.11函数f(x)在点x。连续的充要条件是：f在点xo既是左连续，又是右连续数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社

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